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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/2}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS :  Devoir sur feuille \no  6}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}%Antilles-Guyane septembre 2013
\begin{center}  \emph{Les deux parties sont indépendantes}\end{center} 

Le robot Tom doit emprunter un pont sans garde-corps de 10 pas de long et de 2 pas de large. Sa démarche est très particulière :

\medskip
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Soit il avance d'un pas tout droit ; 
\item[$\bullet~~$] Soit il se déplace en diagonale vers la gauche (déplacement équivalent à  un pas vers la gauche et un pas tout droit) ; 
\item[$\bullet~~$] Soit il se déplace en diagonale vers la droite (déplacement équivalent à  un pas vers la droite et un pas tout droit).
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On suppose que ces trois types de déplacement sont aléatoires et équiprobables.

\medskip
 
L'objectif de cet exercice est d'estimer la probabilité $p$ de l'évènement $S$ \og Tom traverse le pont\fg{} c'est-à -dire \og Tom n'est pas tombé dans l'eau et se trouve encore sur le pont au bout de 10 déplacements \fg.

\medskip
 
\textbf{Partie A} : modélisation et simulation

\medskip
 
On schématise le pont par un rectangle dans le plan muni d'un repère orthonormé (O , I, J) comme l'indique la figure ci-dessous. On suppose que Tom se trouve au point de coordonnées (0~;~0) au début de la traversée. On note $(x~;~y)$ les coordonnées de la position de Tom après $x$ déplacements. 

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-1.1,-2.2)(10.5,2.3)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,-1)(10,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,griddots=5]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1.1,-2.2)(10.5,2.3)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,-1)
\rput(-0.5,0.4){départ}
\uput[ul](0,0){O}\uput[ur](1,0){I}\uput[ur](0,1){J}
\end{pspicture*} 
\end{center}

\index{algorithme}

On a écrit l'algorithme suivant qui simule la position de Tom au bout de $x$ déplacements :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline 
$x, y, n$ sont des entiers\\
Affecter à  $x$ la valeur 0\\
Affecter à  $y$ la valeur 0\\ 
Tant que $y \geqslant - 1$ et $y \leqslant 1$ et $x \leqslant 9$\\ 
\hspace{1.5cm}\begin{minipage}{7cm}
Affecter à  $n$ une valeur choisie au hasard entre $- 1,\: 0$ et $1$
\end{minipage}\\
\hspace{1.5cm}Affecter à  $y$ la valeur $y + n$\\ 
\hspace{1.5cm}Affecter à  $x$ la valeur $x + 1$ \\
Fin tant que\\ 
Afficher \og la position de Tom est \fg{} $(x~;~y)$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 
 
\begin{enumerate}
\item On donne les couples suivants : $(-1~;~1)$ ; (10~;~0); (2~;~4) ; (10~;~2).
 
Lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme ? Justifier la réponse. 
\item Modifier cet algorithme pour qu'à  la place de \og la position de Tom est $(x~;~y)$ \fg, il affiche finalement \og Tom a réussi la traversée\fg{} ou \og Tom est tombé \fg.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Pour tout $n$ entier naturel compris entre 0 et 10, on note : 

$A_{n}$ l'évènement \og après $n$ déplacements, Tom se trouve sur un point d'ordonnée $- 1$ \fg.

$B_{n}$ l'évènement \og après $n$ déplacements, Tom se trouve sur un point d'ordonnée 0 \fg.

$C_{n}$ l'évènement \og après $n$ déplacements, Tom se trouve sur un point d'ordonnée 1 \fg.
 
On note $a_{n}, b_{n}, c_{n}$ les probabilités respectives des évènements $A_{n}, B_{n}, C_{n}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que $a_{0} = 0, b_{0} = 1, c_{0} = 0$. 
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ compris entre $0$ et $9$, on a 
 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
a_{n+1} &=& \dfrac{a_{n} + b_{n}}{3}\\ 
b_{n+1} &=& \dfrac{a_{n} + b_{n} + c_{n}}{3}
\end{array}\right.\]

\index{probabilité}

On pourra s'aider d'un arbre pondéré. 
\item Calculer les probabilités $p\left(A_{1}\right),\: p\left(B_{1}\right)$ et $p\left(C_{1}\right)$. 
\item Calculer la probabilité que Tom se trouve sur le pont au bout de deux déplacements. 

\item À l'aide d'un tableur, on a obtenu la feuille de calcul ci-dessous qui donne des valeurs approchées de $a_{n},\: b_{n},\: c_{n}$ pour $n$ compris entre 0 et 10.
 
Donner une valeur approchée à  $0,001$ près de la probabilité que Tom traverse le pont (on pourra s'aider du tableau ci-dessous).\begin{center}
{\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$ &$a_{n}$ &$b_{n}$ &$c_{n}$ \\ \hline
0	&0				&1				&0\\ \hline
1	&\numprint{0,333333} 	&\numprint{0,333333} 	&\numprint{0,333333}\\ \hline 
2 	&\numprint{0,222222} 	&\numprint{0,333333} 	&\numprint{0,222222}\\ \hline 
3 	&\numprint{0,185185} 	&\numprint{0,259259} 	&\numprint{0,185185}\\ \hline 
4 	&\numprint{0,148148} 	&\numprint{0,209877} 	&\numprint{0,148148}\\ \hline
5 	&\numprint{0,119342} 	&\numprint{0,168724} 	&\numprint{0,119342}\\ \hline
6 	&\numprint{0,096022} 	&\numprint{0,135802} 	&\numprint{0,096022}\\ \hline
7 	&\numprint{0,077275} 	&\numprint{0,109282} 	&\numprint{0,077275}\\ \hline 
8 	&\numprint{0,062186} 	&\numprint{0,087944} 	&\numprint{0,062186}\\ \hline 
9 	&\numprint{0,050043} 	&\numprint{0,070772} 	&\numprint{0,050043}\\ \hline 
10 	&\numprint{0,040272} 	&\numprint{0,056953} 	&\numprint{0,040272}\\ \hline 
\end{tabularx}}

\end{center}\end{enumerate}



\subsection{}
ANNULÉ (donné au DM5)

\subsection{}%Métropole  septembre 2011

\medskip

Un magasin vend des moteurs électriques tous identiques. Une étude statistique du service après-vente a permis d'établir que la probabilité qu'un moteur tombe en panne pendant la première année d'utilisation est égale à $0,12$.
 
Tous les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ 

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie A} \end{center}
 
Une entreprise achète 20 moteurs électriques dans ce magasin.
 
On admet que le nombre de moteurs vendus dans ce magasin est suffisamment important pour que l'achat de 20 moteurs soit assimilé à 20 tirages indépendants avec remise.
 
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que deux moteurs exactement tombent en panne durant la première année d'utilisation ? 
\item Quelle est la probabilité qu'au moins un des moteurs tombe en panne au cours de la première année d'utilisation ? 
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie B} \end{center}

On admet que la durée de vie sans panne, exprimée en années, de chaque moteur est une variable aléatoire $Y$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ où $\lambda$, est un réel strictement positif.
 
On rappelle que pour tout réel positif $t,\:\: p(Y \leqslant t) = \displaystyle\int_{0}^t~ \lambda\text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$.

\medskip
 
Dans les questions 1, 2, 3, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Exprimer $p(Y \leqslant 1)$ en fonction de $\lambda$. En déduire la valeur de $\lambda$.
 
Pour la suite de l'exercice, on prendra $\lambda = 0,128$ .

\item Quelle est la probabilité qu'un moteur dure plus de 3 ans ? 
\item Quelle est la probabilité qu'un moteur dure plus de 4 ans sachant qu'il a duré plus d'un an ? 
\item Calculer la durée moyenne $d_{m}$ d'un moteur. On arrondira à $10^{-1}$.
	\end{enumerate}

\subsection{}%Nouvelle Calédonie mars 2007
Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie sur $\mathbb{N}^*$ par
\[u_{n} = \displaystyle\sum_{k=n}^{2n} \dfrac{1}{k} = \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n+1} + \cdots + \dfrac{1}{2n}.\]

\vspace{0,25cm}

\textbf{PARTIE A}
\begin{enumerate}
\item  Montrer que pour tout $n$ de $\mathbb{N}^*$
\[u_{n+1} - u_{n} = \dfrac{-3n - 2}{n(2n+2)(2n+1)}\]
\item  En déduire le sens de variation de la suite 
$\left(u_{n}\right)$.
\item  Établir alors que $\left(u_{n}\right)$ est une suite 
convergente.
\end{enumerate}
\medskip

L'objectif de la partie B est de déterminer la valeur de 
la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.

\vspace{0,25cm}

\textbf{PARTIE B}

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par :
	\[f(x) = \dfrac{1}{x} + \ln \left(\dfrac{x}{x+1}\right)\]

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier pour tout entier naturel $n$ non nul l'encadrement :

\[\dfrac{1}{n+1}\leqslant 
\displaystyle\int_{n}^{n+1}\dfrac{1}{x}\:\text{d}x \leqslant 
\dfrac{1}{n}\]

		\item  Vérifier que
\[\displaystyle\int_{n}^{n+1}\dfrac{1}{x}\:\text{d}x = \dfrac{1}{n} - f(n)\]

		\item  En déduire que pour tout entier naturel $n$ non nul, \[0 \leqslant f(n) \leqslant  \dfrac{1}{n(n+1)}\]
	\end{enumerate}
\item  On considère la suite $\left(S_{n}\right)$ définie sur 
$\mathbb{N}^*$ par

\[S_{n} = \displaystyle\sum_{k=n}^{2n} \dfrac{1}{k(k+1)} = 
\dfrac{1}{n(n+1)} + \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} + \cdots + 
\dfrac{1}{2n(2n+1)}\]
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul,

\[0 \leqslant f(n) + f(n+1) + \cdots +f(2n) \leqslant S_{n}\]

		\item   Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que pour tout réel 
$x$ distinct de $-1$ et de $0$, on ait
\[\dfrac{1}{x(x+1)} = \dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{x+1}\]
		\item   En déduire l'égalité
\[S_{n} = \dfrac{n+1}{n(2n+1)}\]

		\item   En utilisant les questions précédentes, déterminer 
alors la limite quand $n$ tend vers $+\infty$ de

\[\displaystyle\sum_{k=n}^{2n} f(k)  = f(n) + f(n+ 1) +  \cdots+ 
f(2n)\]
		\item   Vérifier que pour tout entier $n\geqslant  1$,
\[f(n) + f(n+1) + \cdots + f(2n) = u_{n} - 
\ln\left(2+\dfrac{1}{n}\right)\]
		\item   Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{multicols}\label{fin}
\end{document}  