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% pour le pied de page central
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\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : devoir sur feuille \no 5}}\end{center}






\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
On souhaite déterminer le nombre de chiffres de l'écriture décimale du nombre $A=2^{12345}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Calculer à la calculatrice une valeur approchée de $\log(A)$ (logarithme décimal).

\item En déduire un entier naturel $N$ tel que $N\leqslant \log(A)<N+1$.

\item En déduire un encadrement de $A$ entre deux puissances de 10.

\item En déduire alors le nombre de chiffres de l'écriture décimale de $A$.
\end{enumerate}

\subsection{}%Bac S Métropole juin 2011
\emph{Les deux parties A et B peuvent Ítre traitées indépendamment.}

\medskip

Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à $10^{-4}$.

Dans un pays, il y a 2\,\% de la population contaminée par un virus.

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

On dispose d'un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item La probabilité qu'une personne contaminée ait un test positif est de $0,99$ (sensibilité du test).
\item La probabilité qu'une personne non contaminée ait un test négatif est de $0,97$ (spécificité du test).
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population.

On note $V$ l'événement \og la personne est contaminée par le virus\fg{} et $T$ l'événement \og le test est positif \fg.

$\overline{V}$ et $\overline{T}$ désignent respectivement les événements contraires de $V$ et $T$.

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Préciser les valeurs des probabilités $P(V),\, P_{V}(T),\, P_{\overline{V}}(\overline{T})$.
		
Traduire la situation à l'aide d'un arbre de probabilités.
		\item En déduire la probabilité de l'événement $V \cap T$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que la probabilité que le test soit positif est \numprint{0,0492}.

\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier par un calcul la phrase :
		
\og Si le test est positif, il n'y a qu'environ 40\,\% de \og chances \fg{} que la personne soit contaminée \fg.
		\item Déterminer la probabilité qu'une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

On choisit successivement 10 personnes de la population au hasard, on considère que les tirages sont indépendants.

On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces 10 personnes.
\begin{enumerate}
\item Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramétres.
\item Calculer la probabilité qu'il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10.
\end{enumerate}

\subsection{}%Pondichéry avril 2011
Un jeu consiste à lancer des fléchettes sur une cible. La cible est partagée en quatre secteurs, comme indiqué sur la figure ci-dessous.

\medskip

\psset{unit=0.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
\SpecialCoor
\pscircle(0;0){3}
\psline(0;0)(3;-30)\psline(0;0)(3;60)\psline(0;0)(3;120)\psline(0;0)(3;210)
\rput(1.75;0){0 point}\rput(1.75;90){5 points}\rput(1.75;180){0 point}\rput(1.75;-90){3 points}
\end{pspicture}
\end{center} 
 
On suppose que les lancers sont indépendants et que le joueur touche la cible à tous les coups.
 
\begin{enumerate}
\item Le joueur lance une fléchette.
 
On note $p_{0}$ la probabilité d'obtenir 0 point.

On note $p_{3}$ la probabilité d'obtenir 3 points.

On note $p_{5}$ la probabilité d'obtenir 5 points.
 
On a donc $p_{0} + p_{3} + p_{5} = 1$. Sachant que $p_{5} = \dfrac{1}{2}p_{3}$ et que $p_{5} = \dfrac{1}{3}p_{0}$ déterminer les valeurs de $p_{0}, p_{3}$ et $p_{5}$

 
\item Une partie de ce jeu consiste à lancer trois fléchettes au maximum. Le joueur gagne la partie s'il obtient un total (pour les 3 lancers) supérieur ou égal à 8 points. Si au bout de 2 lancers, il a un total supérieur ou égal à 8 points, il ne lance pas la troisiéme fléchette.
 
On note $G_{2}$ l'événement : \og le joueur gagne la partie en 2 lancers \fg. 
 
On note $G_{3}$ l'événement: \og le joueur gagne la partie en 3 lancers \fg.

On note $P$ l'événement: \og le joueur perd la partie \fg.
 
On note $p(A)$ la probabilité d'un événement $A$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer, en utilisant un arbre pondéré, que $p\left(G_{2}\right) = \dfrac{5}{36}$.
		
On admettra dans la suite que $p\left(G_{3}\right) = \dfrac{7}{36}$
		\item En déduire $p(P)$. 
	\end{enumerate} 
\item Un joueur joue six parties avec les régles données à la question 2.
 
Quelle est la probabilité qu'il gagne au moins une partie ? 
\item Pour une partie, la mise est fixée à 2~\euro.
 
Si le joueur gagne en deux lancers, il reÁoit 5~\euro. S'il gagne en trois lancers, il reÁoit 3~\euro. S'il perd, il ne reÁoit rien.
 
On note $X$ la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur pour une partie. Les valeurs possibles pour $X$ sont donc: $-2$, 1 et 3. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la loi de probabilité de $X$. 
		\item Déterminer l'espérance mathématique de $X$. Le jeu est-il favorable au joueur ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}%Liban mai 2013
Étant donné un nombre réel $k$, on considère la fonction $f_{k}$ définie sur $\mathbb{R}$ par 

\[f_{k}(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{- kx}}.\]
 
Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip

Dans cette partie on choisit $k = 1$. On a donc, pour tout réel $x,f_{1}(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{- x}}$.
 
La représentation graphique $\mathcal{C}_{1}$ de la fonction $f_{1}$ dans le repère $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$ est donnée en ANNEXE, à  rendre avec la copie.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f_{1}(x)$ en $+ \infty$ et en $- \infty$ et interpréter graphiquement les résultats obtenus. 
\item Démontrer que, pour tout réel $x, f_{1}(x) = \dfrac{\text{e}^{x}}{1 +  \text{e}^{x}}$. 
\item On appelle $f'_{1}$ la fonction dérivée de $f_{1}$ sur $\mathbb{R}$. Calculer, pour tout réel $x,\: f'_{1}(x)$. 

En déduire les variations de la fonction $f_{1}$ sur $\mathbb{R}$. 
\item On définit le nombre $I = \displaystyle\int_{0}^1  f_{1}(x)\:\text{d}x$. 

Montrer que $I = \ln \left(\dfrac{1 + \text{e}}{2}\right)$. Donner une interprétation graphique de $I$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Dans cette partie, on choisit $k = - 1$ et on souhaite tracer la courbe $\mathcal{C}_{- 1}$ représentant la fonction $f_{- 1}$. 

Pour tout réel $x$, on appelle $P$ le point de $\mathcal{C}_{1}$ d'abscisse $x$ et $M $ le point de $\mathcal{C}_{- 1}$ d'abscisse $x$.
 
On note $K$ le milieu du segment $[MP]$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $x,\: f_{1}(x) + f_{- 1}(x) = 1$. 
\item En déduire que le point $K$ appartient à  la droite d'équation $y = \dfrac{1}{2}$. 
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}_{- 1}$ sur le graphique ci-dessous. 
\item En déduire l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par les courbes $\mathcal{C}_{1}$, $\mathcal{C}_{- 1}$ l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
Dans cette partie, on ne privilégie pas de valeur particulière du paramètre $k$.
 
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quelle que soit la valeur du nombre réel $k$, la représentation graphique de la fonction $f_{k}$ est strictement comprise entre les droites d'équations $y = 0$ et $y = 1$. 
\item Quelle que soit la valeur du réel $k$, la fonction $f_{k}$ est strictement croissante. 
\item Pour tout réel $k \geqslant 10,\: f_{k}\left(\dfrac{1}{2}\right) \geqslant  0,99$. 
\end{enumerate} 

Représentation graphique $\mathcal{C}_{1}$ de la fonction $f_{1}$


\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-3.5,-2)(3.5,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3.5,-2)(3.5,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-4,-2)(4,2)
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.5}{3.5}{2.71828 x exp 2.71828 x exp 1 add div}
\rput(-1.5,0.35){$\mathcal{C}_{1}$}
\end{pspicture*} 
\end{center}

\subsection{}%Nouvelle Calédonie mars 2012
Soit $f$ la fonction définie sur [0~;~1] par $f(x) = x\text{e}^x$.
 
On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.
 
Soit $a$ un nombre réel appartenant à l'intervalle [0~;~1].
 
Sur la courbe $\mathcal{C}$, tracée ci-dessous, on a placé les points A et B d'abscisses respectives $a$ et $1$. On a tracé les segments [OA] et [AB]. On a hachuré la partie du plan délimitée par les segments [OA] et [AB] et la courbe $\mathcal{C}$. On a placé les points A$'(a~;~0)$ et B$'(1~;~0)$. 

\begin{center}
\psset{xunit=7cm,yunit=1.7cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.25)(1.15,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.2,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.1,-0.25)(1.15,3)
\multido{\n=0.0+0.2}{6}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,3)}
\multido{\n=0.0+0.5}{7}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(1.15,\n)}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{0}{1}{2.71828 x exp x mul}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{0}{0.5}{2.71828 x exp x mul}
\psline(0.5,0.824361)(0,0)}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{0.5}{1}{2.71828 x exp x mul}
\psline(1,2.71828)(0.5,0.824361)}
\uput[dr](0.5,0.8244){A}\uput[r](1,2.71828){B}\uput[dr](0,0){O}\uput[d](0.7,1.35){$\mathcal{C}$}
\uput[d](0.5,0){A$'$}\uput[dl](1,0){B$'$}
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](0.5,0)(0.5,0.824361)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](1,0)(1,2.71828)
\uput[d](1.1,0){$x$}\uput[l](0,2.9){$y$}
\end{pspicture}

\end{center}
Le but de l'exercice est de déterminer la valeur du nombre réel $a$ pour laquelle l'aire de la partie du plan hachurée en annexe est minimale. 

\medskip

\textbf{PARTIE A :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\displaystyle\int_{0}^1  x\text{e}^x\:\text{d}x = 1$ (on montrera que $F:x\mapsto (x-1)\mathrm{e}^{x}$ est une primitive de $f$.

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'aire du triangle OAA$'$ et montrer que l'aire du trapèze ABB$'$A$'$ est égale à $\dfrac{1}{2}\left(- a^2 \text{e}^a + a\text{e}^a - a\text{e} + \text{e}\right)$.
	 
		\item En déduire que l' aire de la partie du plan hachurée est égale à $\dfrac{1}{2}\left(a \text{e}^a - a\text{e} + \text{e} - 2\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B :}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~ +\infty[$ par 

\[g(x) = x\left(\text{e}^x - \text{e}\right) + \text{e} - 2.\]
 
\begin{enumerate}
\item Soit $g^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $g$. Calculer $g^{\prime}(x)$ pour tout réel $x$ de $[0~;~+ \infty[$. 

Vérifier que la fonction dérivée seconde $g^{\prime\prime}$ est définie sur $[0~;~+ \infty[$ par

$g^{\prime\prime}(x) = (2 + x) \text{e}^x$. 
\item En déduire les variations de la fonction $g^{\prime}$ sur $[0~;~+\infty[$. 
\item Établir que l'équation $g^{\prime}(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
 
Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-1}$ près. 
\item En déduire les variations de la fonction $g$ sur $[0~;~+\infty[$. 
\item En utilisant les réponses aux questions des parties A et B, montrer qu'il existe une valeur de $a$ pour laquelle l'aire de la partie du plan hachurée est minimale. Donner cette valeur de $a$. 
\end{enumerate}


\end{multicols}



\label{fin}
\end{document}  