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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : devoir sur feuille \no 4}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}%d'après Antilles-Guyane juin 2012
On note $\mathbb{R}$ l'ensemble des nombres réels et on considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par 
\[f(x) = x\text{e}^{x - 1} + 1.\]
 
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.

\medskip
 
\textbf{Partie A : étude de la fonction}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.
 
Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ? 
\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
\item On admet que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, et on note $f^{\prime}$ sa fonction dérivée.
 
Montrer que, pour tout réel $x$ : \[f^{\prime}(x) = (x + 1)\text{e}^{x - 1}.\] 
\item Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ et dresser son tableau de variation sur $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : recherche d'une tangente particulière}

\medskip
 
Soit $a$ un réel strictement positif. Le but de cette partie est de rechercher s'il existe une tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $a$, qui passe par l'origine du repère.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On appelle T$_{a}$ la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $a$. Donner une équation de T$_{a}$. 
\item Démontrer qu'une tangente à $\mathcal{C}$ en un point d'abscisse $a$ strictement positive passe par l'origine du repère si et seulement si $a$ vérifie l'égalité :
\[1 - a^2\text{e}^{a-1} = 0.\]
 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
Démontrer que $1$ est l'unique solution sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ de l'équation 
\[1 - x^2\text{e}^{x-1} = 0.\]
 
\item Donner alors une équation de la tangente recherchée.
\end{enumerate}

\subsection{}% Antilles-Guyane juin 2012
Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ non nul par 
 \[\left\{\begin{array}{l c l}
u_{1}& =&\dfrac{1}{2}\\ \\
u_{n+1} &=& \dfrac{n+1}{2n}u_{n}
\end{array}\right.\]
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{2}, u_{3}$ et $u_{4}$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n}$ est strictement positif. 
		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante. 
		\item Que peut-on en déduire pour la suite $\left(u_{n}\right)$ ? 
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose 
\[v_{n} = \dfrac{u_{n}}{n}.\]
  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique. On précisera sa raison et son premier terme $v_{1}$. 
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, 
		 \[u_{n} = \dfrac{n}{2^n}.\]

	\end{enumerate}
\item  Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$ par $f(x) = \ln x - x \ln 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
		\item En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage
\subsection{}%Nouvelle-Calédonie novembre 2012
\emph{Dans cet exercice les deux parties peuvent être traitées indépendamment.}

\medskip
 
Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$, on appelle A le point d'affixe $1$ et $\mathcal{C}$ le cercle de centre A et de rayon $1$.
 
La figure sera réalisée sur une feuille de papier millimétré avec 4~cm pour unité graphique.

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère l'équation 

\[(E) :\quad  z^2 - 2z + 2 = 0,\]

 où $z$ est un nombre complexe. On appelle $z_{1}$ et $z_{2}$ les solutions de $(E)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $(E)$ dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$. 
\item On appelle $M_{1}$ et $M_{2}$ les points d'affixes respectives $z_{1}$ et $z_{2}$ dans le repère $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. Montrer que $M_{1}$ et $M_{2}$ appartiennent au cercle $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère l'application $f$ du plan complexe qui à tout point $M$ d'affixe $z$ distinct de A associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par 

\[z' = \frac{2z - 1 }{2z - 2}.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Placer le point A et tracer le cercle $\mathcal{C}$ sur une figure que l'on complètera au fur et à mesure. 
\item Montrer que pour tout complexe $z$ distinct de 1 on a 
\[\left(z' - 1\right)(z - 1) = \dfrac{1}{2}.\]
 
\item Montrer que pour tout point $M$ distinct de A on a :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\text{A}M \times \text{A}M' = \frac{1}{2}$ ;

\item $M' \neq \text{A}$ ;

\item $\left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{\text{A}M}\right) + \left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{\text{A}M'}\right) = 0 + 2k\pi,\: \\
\text{où }\: k\:\: \text{est un entier relatif}
$
\end{enumerate}
 \columnbreak
\item On considère le point P d'affixe $z_{\text{P}} = 1 + \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$. Construire le point P. 
\item En utilisant la question 3, expliquer comment construire le point P$'$, image de P par $f$, et réaliser cette construction. 
\item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Soit un point $M$ appartenant à la droite D d'équation $x = \frac{3}{4}$. Soit $M'$ son image par $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le point $M'$ appartient au cercle $\mathcal{C}'$ de centre O de rayon $1$. 
		\item Tout point de $\mathcal{C}'$ a-t-il un antécédent par $f$ ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\subsection{ }%\textcolor{blue}{\no 71 page 216 math'x}
Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par \[f(x)=x^{2}+x-\dfrac{1+\ln x}{x}\] et $\mathscr{C}$ sa courbe représentative.

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $h$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $h(x) = 2x^{3}+x^{2}+\ln x$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $h$ est strictement croissante sur $]0~;~+\infty[$
\item Étudier les limites de $h$ en $+\infty$ et 0. 

\item Montrer que l'équation $h(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ ; en donner un encadrement d'amplitude $10^{-3}$
\item En déduire le signe de $h(x)$ selon les valeurs de $x$. 
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Étudier les limites de $f$ en 0 et $+\infty$. \\
En déduire une asymptote à $\mathscr{C}$ . 
\item Justifier que $f'(x)$ a même signe que $h(x)$ sur $]0~;~+\infty[$. 
\item Dresser le tableau de variation de $f$.

\item Tracer alors la courbe représentative de $f$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}



\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  