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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/2}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : Devoir sur feuille \no 3}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite convergeant vers 2.\\
Montrer que tous les termes de la suite sont positifs à partir d'un certain rang.

\subsection{}
On rappelle que pour une fonction $u$ dérivable sur un intervalle $I$, on a $\left(u^n\right)'=nu'u^{n-1}$ et que si $v$ est dérivable et ne s'annule pas sur $I$, $\left(\dfrac{1}{v}\right)'=-\dfrac{v'}{v^2}$.\\
Soit $u$ une fonction qui ne s'annule pas sur un intervalle $I$ et dérivable sur $I$ ; soit $n$ un entier naturel.\\

\begin{enumerate}
\item Démontrer, à l'aide des deux formules rappelées ci-dessus, que $\left(\dfrac{1}{u^n}\right)'=-\dfrac{nu'}{u^{n+1}}$.

\item Calculer la dérivée de $f:x\mapsto \dfrac{1}{\left(3x^2+5x+3\right)^7}$.

\end{enumerate}

\subsection{}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On note $0!=1$ et pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on pose $n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots\times 2\times 1$ (produit des entiers naturels de 1 à $n$).\\
Ainsi a-t-on $1!=1$, $2!=2\times 1=2$, $3!=3\times 2\times 1=6\cdots$
\end{bclogo}

\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $(n+1)!$ en fonction de $n!$

\item \textbf{\textcolor{blue}{Rappel}} : on note $f^{(n)}$ la dérivée n\up{ième} de $f$, donc \\
$f^{(n+1)}=\left(f^{(n)}\right)'$.\\
On considère la fonction $f:x\mapsto \dfrac{1}{x}$ définie sur $\mathbb{R}^*$.
\begin{enumerate}
\item On admet que $f$ est dérivable à n'importe quel ordre sur $\mathbb{R}^*$.\\
Calculer $f'(x),$, $f''(x)$, $f^{(3)}(x)$, $f^{(4)}(x)$ et $f^{(5)}(x)$.

\item Émettre une conjecture sur la forme générale de $f^{(n)}(x)$.

\item Démontrer cette conjecture.
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\columnbreak

\subsection{}
On considère la fonction $f$ définie par : \[f(x)=\dfrac{2x^2+x-2}{(x+2)^3}.\]
\begin{enumerate}
\item Quel est son ensemble définition $\mathscr{D}_{f}$?

\item Pourquoi $f$ est-elle dérivable sur $\mathscr{D}_{f}$ ?

\item Calculer $f'(x)$ ; montrer que l'on a \[f'(x)=\dfrac{2(x+1)(4-x)}{(x+2)^4}.\]

\item Étudier le signe de $f'(x)$ ; en déduire les variations de $f$. (attention, le tableau de variations n'est demandé qu'à la question 6. !)

\item Étudier les limites de $f(x)$ aux bornes de l'ensemble de définition $\mathscr{D}_{f}$ .\\
Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathscr{C}_{f}$ représentative de $f$ ?

\item En déduire le tableau de variations de $f$.

\item Tracer la courbe $\mathscr{C}_{f}$.
\end{enumerate}

\subsection{}%Bac Nouvelle Calédonie mars 2012
\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}\\

\noindent On considère le polynôme $P$ défini sur $\mathbb{C}$ par 
\[P(z) = z^3 - \left(2 + \text{i}\sqrt{2}\right)z^2 + 2\left(1 + \text{i}\sqrt{2}\right)z - 2\text{i}\sqrt{2}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que le nombre complexe $z_{0} = \text{i}\sqrt{2}$ est solution de l'équation $P(z) = 0$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que \[P(z ) = \left( z - \text{i}\sqrt{2}\right) \left(z^2 + az + b\right).\] 
		\item En déduire les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation $P(z) = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	
	 
\medskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B :}}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. On prendra 2~cm pour unité graphique.
 
On considère les points A, B, J et K d'affixes respectives : 
\[z_{\text{A}}  = 1 + \text{i},\quad z_{\text{B}} = 1 - \text{i},\quad  z_{\text{J}} = \text{i}\sqrt{2}\quad \text{et}\:\: z_{\text{K}} =\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)+\mathrm{i}\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right).\] 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B, J, K sur une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l'exercice. 

\item Soit L le symétrique du point J par rapport au point K. Montrer que l'affixe de L est égale à $- \sqrt{2}$. 

\item Montrer que les points A, B,  J et L appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. 

\item Définition : $M'$ est l'image de $M$ par la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\theta$ si, et seulement si, $\Omega M=\Omega M'$ et $\left(\overrightarrow{\Omega M}~;~\overrightarrow{\Omega M'}\right)=\theta$.\\

\noindent Soit D le point d'affixe $z_{\text{D}} = - 1 + \text{i}$. On considère !a rotation $r$ de centre O qui transforme J en D. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une mesure de l'angle de la rotation $r$. 
		\item Soit C l'image du point L par la rotation $r$.  Déterminer la longueur OC, puis un argument de $z_C$. Déterminer alors l'affixe du point C. 
	\end{enumerate} 
	
\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}

\subsection{}%Antilles-Guyane juin 2013
On considère la suite $\left(z_n\right)$ à  termes complexes définie par $z_0 = 1 + \text{i}$ et, pour tout entier naturel $n$, par

\[z_{n+1} = \dfrac{z_n + \left|z_n\right|}{3}.\]

Pour tout entier naturel $n$, on pose: $z_n = a_n + \text{i}b_n$, où $a_n$ est la partie réelle de $z_n$ et $b_n$ est la partie imaginaire de $z_n$.

Le but de cet exercice est d'étudier la convergence des suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$.

\smallskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Donner $a_0$ et $b_0$.
\item Calculer $z_1$, puis en déduire que $a_1=\dfrac{1 + \sqrt{2}}{3}$ et \\
$b_1 = \dfrac13$.
\item On considère l'algorithme\index{algorithme} suivant:
\begin{center}
\fbox{
\begin{minipage}{6cm}
Variables: $A$ et $B$ des nombres réels\\
\phantom{Variables:} $K$ et $N$ des nombres entiers\\
Initialisation: Affecter à  $A$ la valeur 1\\
\phantom{Initialisation:} Affecter à  $B$ la valeur 1\\
Traitement:\\
Entrer la valeur de N\\
Pour $K$ variant de 1 à  $N$\\
\phantom{xxxx} Affecter à  $A$ la valeur $\dfrac{A+\sqrt{A^2+B^2}}{3}$\\
\phantom{xxxx} Affecter à  $B$ la valeur $\dfrac{B}{3}$\\
FinPour\\
Afficher A
\end{minipage}
}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item On exécute cet algorithme en saisissant \\$N=2$.\\
Recopier et compléter le tableau ci-dessous contenant l'état des variables au cours de l'exécution de l'algorithme (on arrondira les valeurs calculées à  $10^{-4}$ près).
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
$K$ & $A$ & $B$ \\\hline
1& & \\\hline
2& & \\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item Pour un nombre $N$ donné, à  quoi correspond la valeur affichée par l'algorithme  par rapport à  la situation étudiée dans cet exercice~?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item
Pour tout entier naturel $n$, exprimer $z_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.\\
En déduire l'expression de $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$, et l'expression de $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.
\item Quelle est la nature de la suite $\left(b_n \right)$~? En déduire l'expression de $b_n$ en fonction de $n$, et déterminer  la limite de $\left(b_n \right)$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item
On rappelle que pour tous nombres complexes $z$ et $z'$:
\[
\left|z + z'\right|\leqslant |z| + \left|z'\right|\qquad\text{(inégalité triangulaire)}.
\]
Montrer que pour tout entier naturel $n$,
\[
\left|z_{n+1}\right|\leqslant\dfrac{2\left|z_n\right|}{3}.
\]

		\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n= \left|z_n\right|$.\\
Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,
\[
u_n\leqslant \left(\frac23\right)^n\sqrt{2}.
\]
En déduire que la suite\index{suite} $\left(u_n \right)$ converge vers une limite que l'on déterminera.
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, \\
		$\left|a_n\right|\leqslant u_n$. En déduire que la suite $\left(a_n \right)$ converge vers une limite que l'on déterminera.
	\end{enumerate}

\item Question facultative : \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item pour ceux qui le souhaitent, télécharger le logiciel Algobox sur votre ordinateur (sur http://www.xm1math.net/algobox ) 
ou cliquer \href{http://www.xm1math.net/algobox/}{ici} ; 

\item Faire alors l'algorithme de cet exercice sur Algobox et m'envoyer le fichier par Internet.
\end{enumerate}
\end{enumerate}



\end{multicols}



\label{fin}
\end{document}  