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\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : devoir sur feuille \no 2}}\end{center}
\emph{ Si l'esprit d'un homme s'égare, faites-lui étudier les mathématiques car dans les démonstrations, pour peu qu'il s'écarte, il sera obligé de recommencer. (Francis Bacon) }



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Non convergence de la suite  $\boldmath{\sin(n)}$} }
\begin{enumerate}
\item  Donner une valeur approchée de $\cos 1$ et $\sin 1$.

\item 
\begin{enumerate}
\item Justifier que pour tout $n\in\mathbb{N}$  : \[\sin(n+1)=\cos(1)\sin(n)+\cos(n)\sin(1).\]

\item Justifier que pour tout $n\in\mathbb{N}$ : \[\sin(n+1)-\sin(n-1)=2\sin(1)\cos(n).\]
\end{enumerate}

\item On pose pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n}=\sin(n)$ et \\
$v_{n}=\cos(n)$.\\

On effectue un raisonnement par l'absurde en supposant désormais que $\left(u_{n}\right)$ a une limite \textbf{finie} $\ell$.

\begin{enumerate}
\item En déduire de la relation établie en 2b) que $\left(v_{n}\right)$ converge et préciser sa limite.

\item Déduire alors de la relation établie en 2a) que $\ell=0$.


\item En considérant $u_{n}^{2}+v_{n}^{2}$, montrer que \[\ell^{2}=1.\]
Qu'en déduit-on ?

\item En déduire que la suite $(\sin n)$ n'a pas de limite (finie ou non). 

\end{enumerate}

\end{enumerate}
\subsection{}%\textcolor{blue}{Polynésie juin 2012}
On considère l'algorithme suivant :

Les variables sont le réel $U$ et les entiers naturels $k$ et $N$.\\
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{7cm}
\textbf{Entrée}

Saisir le nombre entier naturel non nul $N$.\\

\noindent \textbf{Traitement}\\
Affecter à $U$ la valeur 0\\
Pour $k$ allant de 0 à $N -1$\\

\noindent Affecter à $U$ la valeur $3U - 2k + 3$\\
Fin pour\\

\noindent \textbf{Sortie}\\
\noindent Afficher $U$
\end{minipage}}
\end{center}
\medskip

Quel est l'affichage en sortie lorsque $N = 3$ ?

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=3u_n-2n+3$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant n$.
		\item En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
\item Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - n +1$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.

		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, \\
		$u_n = 3^n + n -1$.
	\end{enumerate}
\item Soit $p$ un entier naturel non nul.
	\begin{enumerate}
		\item Pourquoi peut-on affirmer qu'il existe au moins un entier $n_0$ tel que, pour tout \\
		$n\geqslant n_0$, $u_n\geqslant 10^p$ ?
		
On s'intéresse maintenant au plus petit entier $n_0$.
		\item Justifier que $n_0\leqslant 3p$.
		\item Déterminer à l'aide de la calculatrice cet entier $n_0$ pour la valeur $p = 3$.
		\item Proposer un algorithme qui, pour une valeur de $p$ donnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geqslant n_0$ , on ait 
		$u_n\geqslant 10^p$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\subsection{}%\textcolor{blue}{Asie juin 2012}
\begin{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant :

\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
&Saisir un réel strictement positif non nul $a$\\ 
\textbf{Entrée}& Saisir un réel strictemenl positif non nul $b\: (b > a)$\\ 
&Saisir un entier naturel non nul $N$\\ \hline 
&Affecter à $u$ la valeur $a$\\ 
\textbf{Initialisation}& Affecter à $v$ la valeur $b$\\ 
&Affecter à $n$ la valeur $0$\\\hline 
&TANTQUE $n < N$\\ 
&\hspace{1cm}Affecter à $n$ la valeur $n + 1$\\ 
&\hspace{1cm}Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{a + b}{2}$\\ 
\textbf{Traitement}&\hspace{1cm} Affecter à $v$ la valeur $\sqrt{\dfrac{a^2 + b^2}{2}}$\\ 
&\hspace{1cm}Affecter à $a$ la valeur $u$\\ 
&\hspace{1cm}Affecter à $b$ la valeur $v$\\ \hline 
\textbf{Sortie}& Afficher $u$,  afficher $v$\\ \hline
\end{tabularx} 

\medskip

Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour \\
$a = 4,\: b = 9$ et $N = 2$. Les valeurs successives de $u$ et $v$ seront arrondies au millième.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$n$& $a$&$b$ &$u$&$v$\\ \hline  
0 &4 &9&&\\ \hline 
1&&&&\\ \hline 
2&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

Dans la suite, $a$ et $b$ sont deux réels tels que $0 < a < b$.
 
On considère les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies par : 

$u_{~0} = a, v_{0} = b$ et, pour tout entier naturel $n$ : 
 
\[u_{n+1} = \dfrac{u_{n}+ v_{n}}{2}\quad \text{et}\quad v_{n+1} = \sqrt{\dfrac{u_{n}^2 + v_{n}^2}{2}}\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} > 0$ et $v_{n} > 0$. 
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ : \\
		$v^2_{n+1} - u^2_{n+1} = \left(\dfrac{u_{n} - v_{n}}{2}\right)^2$.
		
En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a  $u_{n} \leqslant  v_{n}$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante. 
		\item Comparer $v^2_{n+1}$ et $v^2_{n}$. En déduire le sens de variation de la suite $\left(v_{n}\right)$.
	\end{enumerate} 
\item Démontrer que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont convergentes. 
\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{Approximation de $\sqrt{3}$ : Suite dé Héron d'Alexandrie}}
Soit la suite $u$ définie par \\
$u_0=5$ et $u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_n+\frac{3}{u_n}\right)=f(u_n)$ avec \\
$f(x)=\frac{1}{2}\left(x+\frac{3}{x}\right)$, définie sur $]0~;~+\infty[$.\\


\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.

\item Montrer par récurrence sur $n$ que, pour tout $n$, $u_n>\sqrt{3}$.

\item Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.

\item En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

\item En déduire la limite $\ell$ de cette suite.

\item Que se passe-t-il si l'on choisit comme valeur pour $u_0$ un autre nombre de $]\sqrt{3}~;~+\infty[$

\item Que se passe-t-il pour $u_0=\sqrt{3}$ ?

\item Que se passe-t-il pour $u_0\in]0~;~\sqrt{3}[$ ?

\item Proposer un algorithme qui demande à l'utilisateur une valeur de $u_0>\sqrt{3}$, un nombre $p$ et qui donne le premier rang à partir duquel le terme $u_n$ est une approximation de $\sqrt{3}$ à $10^{-p}$ près.
\end{enumerate}



\end{multicols}



\label{fin}
\end{document}  