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\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : devoir sur feuille \no 1}}\end{center}
\emph{La vie n'est bonne qu'à étudier et à enseigner les mathématiques. \fg{} (Blaise Pascal)}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}

Résoudre l'inéquation : $\dfrac{2x+3}{x+5}\geqslant \dfrac{-5x-2}{x-1}$.

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item Démontrer qu'une suite $\left(u_n\right)$ est arithmétique si, et seulement si, il existe $a$ et $b$ réels tels que $u_n=an+b$ pour tout $n$.

\item Démontrer qu'une suite $\left(u_n\right)$ est géométrique si, et seulement si, il existe $a$ et $q$ réels tels que $u_n=aq^n$ pour tout $n$.
\end{enumerate}
\emph{Pour démontrer une équivalence, il faut démontrer les deux implications (directe et réciproque)}

\subsection{}
\textbf{\textcolor{blue}{Rappel :}} un nombre $q$ est rationnel si, et seulement si, il existe deux entiers relatifs $a$ et $b$ ($b\neq 0$) tels que $q=\dfrac{a}{b}$.\\
Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $\left\{\begin{array}{l}u_{0}=\dfrac{3}{2}\\u_{n+1}=\dfrac{1}{1+u_{n}}\end{array}\right.$.\\
Démontrer par récurrence , que pour tout $n$, $u_{n}$ est un nombre rationnel.

\subsection{}
La suite de Fibonacci est la suite $\left(F_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $F_{1}=F_{2}=1$ et, pour tout entier naturel $n$ non nul, \[F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}.\]
Démontrer par récurrence sur $n$ que, pour tout entier naturel $n$ non nul : \[F_{1}^2+F_{2}^2+\cdots+F_{n}^2=F_{n}\times F_{n+1}.\]

\columnbreak
\subsection{}
Héléne a acheté une voiture d'occasion à \numprint{3500} \euro{} le 1\ier{} janvier 2006.\\
Une étude statistique montre que si $u_{n}$ et $u_{n+1}$ sont les valeurs de cette automobile le 1\ier{} janvier respectivement de la $n$-iéme année et de la $(n+1)$-iéme qui suivent l'achat, alors : \[u_{n+1}=0,7u_{n}+210.\]
On pose $u_{0}=\numprint{3500}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$.

\item Pour tout entier $n$, on pose : $v_{n}=u_{n}-\alpha$, où $\alpha$ est solution de l'équation $x=0,7x+210$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique. On précisera son premier terme et sa raison.

\item En déduire les expressions de $v_{n}$ puis de $u_{n}$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}

\item Déterminer par approximations à l'aide de la calculatrice à partir de quelle date la voiture vaudra moins de \numprint{1000} \euro.
\end{enumerate}




\subsection{\textcolor{blue}{D'après bac}}%S Pondichéry 2008
On note $u_n$ le nombre de foyers, exprimés en millions, possédant un téléviseur à écran plat l'année $n$.\\
On pose $n=0$ en 2005, $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{10}u_n\left(20-u_n\right)$.
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~20]$ par $f(x)=\dfrac{1}{10}x(20-x)$.
\begin{enumerate}
\item Étudier ores variations de $f$.

\item En déduire que, pour tout $x$ de [0~;~10], $f(x)\in[0~;~10]$.
\end{enumerate}

\item Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 10$.\\
\emph{penser à utiliser les résultats des questions précédentes 1. (a) et 1. (b)}

\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente et déterminer sa limite $\ell$  (on admettra que $\ell$ est solution de l'équation $x=f(x)$).


\end{enumerate}

\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  