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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\textbf{\textcolor{red}{Suites arithmétiques et géométriques}}}
\date{}
\author{}

\begin{document}

\maketitle

\tableofcontents


\subsection*{\textcolor{blue}{Activité 1}}
\textbf{\textcolor{red}{Partie 1}}
\begin{enumerate}
\item $u_{0}=\nombre{38400}$ ; $u_{1}=u_{0}-400=\nombre{38000}$ ; $u_{2}=u_{1}-400=\nombre{37600}$ ; $u_{3}=u_{2}-400=\nombre{37200}$.\\
Plus généralement : $u_{n+1}=u_{n}-400$.\\
On a une suite arithmétique, de raison $r=-400$ et de premier terme $u_{0}=\nombre{38400}$.

\item Pour tout $n$, $u_{n}=\nombre{38400}-400n$.

\item $u_{6}=\nombre{38400}-6\times 400=\nombre{36000}$.\\
La production après 6 mois est de \nombre{36000} unités. (production du mois de juillet 2006).

\item $u_{n}=\nombre{19200}$ s'écrit : $\nombre{38400}-400n=\nombre{19200}$.\\
On trouve $n=48$.\\
Ce sera la production quatre ans après, donc en janvier 2010.
\end{enumerate}
\textbf{\textcolor{red}{Partie 2}}\\
\begin{center}
$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Mois}&\text{Production mensuelle en unités}&\text{Cumul à partir de juillet 2006}\\
\hline
\text{Juillet 2006}&u_{6}=\nombre{36000}&u_{6}=\nombre{36000}\\
\hline
\text{Août 2006}&u_{7}=\nombre{35600}&u_{6}+u_{7}=\nombre{71600}\\
\hline
\text{Septembre 2006}&u_{8}=\nombre{35200}&u_{6}+u_{7}+u_{8}=\nombre{106800}\\
\hline
\text{octobre 2006}&u_{9}=\nombre{34800}&u_{6}+u_{7}+u_{8}+u_{9}=\nombre{141600}\\
\hline
\text{Novembre 2006}&u_{10}=\nombre{34400}&u_{6}+u_{7}+u_{8}+u_{9}+u_{10}=\nombre{176000}\\
\hline
\text{Décembre 2006}&u_{11}=\nombre{34000}&u_{6}+u_{7}+u_{8}+u_{9}+u_{10}+u_{11}=\nombre{200000}\\
\hline
\end{array}$
\end{center}

\textbf{\textcolor{red}{Partie 3}}\\

\begin{enumerate}
\item Mars 2007 correspond à $n=14$.\\
$u_{14}=\nombre{38400}-14\times 400=\nombre{32800}$ unités.

\item $u_{n}=0$ donne $\nombre{38400}-400n=0$ soit $n=\dfrac{\nombre{38400}}{400}=96$.\\
La production aura cessé dans 8 ans, soit en janvier 2014.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{red}{Suites}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition et notation}}
Une suite (numérique) est une suite illimitée de termes.\\
Si la suite s'appelle $u$, les termes se notent $u(0)$, $u(1)$, \dots, $u(n)$, etc. ou encore, avec une notation indicielle $u_{0}$, $u_{1}$, $u_{2}$, etc.\\
Le terme général est alors $u_n$ et l'ensemble des termes de la suite se note $\left(u_n\right)$.
\end{bclogo}

\subsection{\textcolor{red}{Suites arithmétiques}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une suite $\left(u_{n}\right)$ est arithmétique s'il existe un nombre $r$, appelé raison de la suite, tel que, pour tout $n$, $u_{n+1}=u_{n}+r$.\\
La différence entre deux termes consécutifs est constante.
\end{bclogo} 

\textcolor{blue}{Exemples} : la suite des entiers naturels, la suite des entiers naturels pairs, la hauteur gravie en montant un escalier.\\

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Remarque :}} on a :\\
$u_{1}=u_{0}+r$\\
$u_{2}=u_{1}+r=\left(u_{0}+r\right)+r=u_{0}+2r$\\
$u_{3}=u_{2}+r=\left(u_{0}+2r\right)+r=u_{0}+3r$.\\
On en déduit la propriété suivante :
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Pour tout $n$, $u_{n}=u_{0}+nr$ ou $u_{n}=u_{p}+(n-p)r$ pour $p\geqslant n$
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique}}\\
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite arithmétique.\\
Soit $S$ la somme de termes consécutifs ; alors : $S=\text{nombre de termes}\times \dfrac{\text{Premier terme de $S$+dernier terme de $S$}}{2}$.\\
Alors:$S_n=u_0=u_1+\cdots+u_n=\dfrac{(n+1)\left(u_0+u_n\right)}{2}$ (il y a n+1 termes)\\

\noindent Si $S_n=u_{p}+u_{p+1}+\cdots+u_{n}$, $S=(n-p+1)\times \dfrac{u_{p}+u_{n}}{2}$
\end{bclogo}

\noindent \textcolor{blue}{Explication :}\\
On écrit $S$ de deux façons différentes, une fois en commençant par le premier terme, uns fois en commençant par le dernier terme.
$S=u_{p}+\left(u_{p}+r\right)+\left(u_{p}+2r\right)+\cdots+\left(u_{p}+(n-p-1)r\right)+\left(u_{p}+(n-p)r\right)$.\\
$S=u_{n}+\left(u_{n}-r\right)+\left(u\right)+\left(u_{n}+2r\right)+\cdots+\left(u_{n}-(n+p-1)r\right)+\left(u_{n}-(n+p)r\right)$.\\
En additionnant terme à terme, on voit qu'on obtient toujours la même somme : $u_{p}+u_{n}$.\\
Par conséquent : $2S=\text{nombre de termes}\times \left(u_{p}+u_{n}\right)$ donc $S=(n-p+1)\times \dfrac{u_{p}+u_{n}}{2}$.\\

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exemples :}}\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $S=1+2+3+\cdots+n$ ; c'est la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique, de raison $r=1$. On obtient $S=n\times \dfrac{1+n}{2}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{S=\dfrac{n(n+1)}{2}}}$.

\item Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite arithmétique de raison $r=0,2$ et de premier terme $u_{0}=3$.\\
Soit $S=u_{3}+u_{4}+\cdots+u_{15}$.\\
Alors : $S=13\dfrac{u_{3}+u_{15}}{2}$ avec $u_{3}=u_{0}+3r=3+3\times 0,2=3,6$ et $u_{15}=u_{0}+15r=3+15\times 0,2$=6.\\

Par conséquent : $S=13\times \dfrac{3,6+6}{2}=\dfrac{13\times 9,6}{2}=62,4$.\\

\end{enumerate}
\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exercices page 43}}

\subsection*{\textcolor{red}{Activité 2 page 31 (suites géométriques)}}
\textbf{\textcolor{blue}{Partie 1 :}}
 Les taux sont de 20~\%.
\textbf{\textcolor{blue}{Partie 2 :}}
\begin{enumerate}
\item  On pose $v_{1}=150$.\\
On obtient : $v_{2}=180$ ; $v_{3}=216$ ; $v_{4}=259,2$.\\
Pour tout $n\geqslant 1$, $v_{n+1}=1,2v_{n}$.\\
Le premier terme est $v_{1}=150$ et la raison $b=1,2$.

\item On a $v_{n}=v_{1}\times b^{n-1}$ donc $v_{n}=150\times 1,2^{n-1}$.

\item $v_{6}=150\times 1,2^6\approx 373$.\\
Le nombre de livres vendus la sixième semaine sera environ de 373.
\end{enumerate}
\textbf{\textcolor{blue}{Partie 3 :}}
\begin{center}
$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Semaine}&\text{Nombre de livres vendus}&\text{Cumul}\\
\hline
\text{Semaine 1}&v_{1}=150&v_{1}=150\\
\hline
\text{Semaine 2}&v_{2}=180&v_{1}+v_{2}=330\\
\hline
\text{Semaine 3}&v_{3}=216&v_{1}+v_{2}+v_{3}=546\\
\hline
\text{Semaine 4}&v_{4}=259,2&v_{1}+v_{2}+v_{3}+v_{4}=805,2\\
\hline
\text{Semaine 5}&v_{5}=311,04&v_{1}+v_{2}+v_{3}+v_{4}+v_{5}=1116,24\\
\hline
\text{Semaine 6}&v_{6}=373,248&v_{1}+v_{2}+v_{3}+v_{4}+v_{5}+v_{6}=1489,488\\
\hline
\end{array}$
\end{center}
$v_{1}\times \dfrac{b^3-1}{b-1}=150\times \dfrac{1,2^3-1}{1,2-1}=546$ donc $v_{1}\times \dfrac{b^3-1}{b-1}=v_{1}+v_{2}+v_{3}$.\\
De même, $v_{1}+\cdots+v_{6}=v_{1}\dfrac{b^6-1}{b-1}$\\

\textbf{\textcolor{blue}{Partie 4 :}}
\begin{enumerate}
\item La 15\ieme semaine correspond à $n=15$. $v_{15}=v_{1}\times b^{n-1}=150\times 1,2^{14}\approx 1926$.

\item $v_{n+1}-v_{n}=150\times 1,2^n-150\times 1,2^{n-1}=150\times 1,2^{n-1}(1,2-1)>0$ donc la suite $\left(v_{n}\right)$ est croissante.

\item $v_{17}\approx 2773,263883$ ; $v_{18}\approx 3327,91666$.\\
Comme la suite est croissante, c'est à partir de la dix-huitième semaine que la vente dépasse 3000 exemplaires hebdomadaires vendus.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{red}{Suites géométriques}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une suite $\left(u_{n}\right)$ est géométrique s'il existe un nombre $q$, appelé raison de la suite, tel que, pour tout $n$, $u_{n+1}=q\times u_{n}$.
Chaque terme est obtenu à partir du précédent en multipliant toujours par le même nombre.
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}} \\
Monsieur Durand place une somme de \nombre{1000}~\euro{} à un taux d'intérêts composés de 4~\%.\\
On note $C_{0}$ le capital initial et $C_{n}$ le capital au bout de $n$ années.\\
Pour tout $n$, on a : $C_{n+1}=C_{n}\times \left(1+\dfrac{4}{100}\right)=1,04C_{n}$ donc $\left(C_{n}\right)$ est une suite géométrique, de premier terme $C_{0}=\nombre{1000}$ et de raison $q=1,04$.\\

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété : Terme général}}
Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite géométrique de raison $q$.\\
$u_{n}=u_{0}\times q^n$ ou $u_n=u_pq^{n-p}$ pour tout $p$.
\end{bclogo}

Justification : \\
On a : \\
$u_{1}=u_{0}\times q$\\
$u_{2}=u_{1}\times q=\left(u_{0}\times q\right)\times q=u_{0}\times q^2$\\
$u_{3}=u_{2}\times q=\left(u_{0}\times q^2\right)\times q=u_{0}\times q^3$
$u_{4}=u_{3}\times q=\left(u_{0}\times q^3\right)\times q=u_{0}\times q^4$\\
\dots\\
$u_{n}=u_{0}\times q^{n}$.\\

$u_{n}=u_{0}q^{n}$ et $u_{p}=u_{0}q^{p}$ ; par division, on trouve $\dfrac{u_{n}}{u_{p}}\dfrac{u_{0}q^{n}}{u_{0}q^{p}}=q^{n-p}$ d'où $u_{n}=u_{p}q^{n-p}$

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exercices}}\\



\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété : Somme de termes consécutifs}}
Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite géométrique de raison $q$.\\
Soit $S=u_{p}+u_{p+1}+\cdots+u_{n}$.\\
Alors : $S=\text{Premier terme de la somme}\times \dfrac{q^{\text{nombre de termes de la somme}}-1}{q-1}$.\\
Autrement dit : $S=u_{p}\times \dfrac{q^{n-p+1}-1}{q-1}$ qu'on peut aussi écrire $S=u_{p}\times \dfrac{1-q^{n-p+1}}{1-q}$
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples :}}\\
$S=u_{5}+u_{6}+\cdots+u_{23}=u_{5}\times \dfrac{q^{19}-1}{q-1}$ car la somme comprend 19 termes.\\

\textbf{\textcolor{red}{Exercices :}}

\label{fin}
\end{document}
