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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices de bac-graphes probabilistes-feuille 2}}\end{center}



\subsection{}%\textcolor{blue}{Centres étrangers, juin 2005}

On a divisé une population en deux catégories : \og fumeurs \fg et \og non-fumeurs \fg.\\
 Une étude statistique a permis de constater que, d'une génération à l'autre,

\begin{itemize}
	\item 60\% des descendants de fumeurs sont des fumeurs,
	\item 10\% des descendants de non-fumeurs sont des fumeurs.
\end{itemize}

  On suppose que le taux de fécondité des fumeurs est le même que celui des non-fumeurs.

  On désigne par :

\begin{itemize}
	\item $f_{n}$ le pourcentage de fumeurs à la génération de rang $n$,
	\item $g_{n }= 1 - f_{n}$  le pourcentage de non-fumeurs à la génération de rang $n$,
où $n$ est un entier naturel.
\end{itemize}

  On considère qu'à la génération 0, il y a autant de fumeurs que de non-fumeurs.

  On a donc $f_{0} = g_{0 } = 0,5$.

\begin{enumerate}\item Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste.

\item Justifier l'égalité matricielle : $\begin{pmatrix}f_{n+1}& g_{n+1}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}f_{n}&  g_{n}\end{pmatrix} \times A$
où $A$ désigne la matrice : $\begin{pmatrix}
0,6& 0,4\\
0,1& 0,9\\
\end{pmatrix}$

\item Déterminer le pourcentage de fumeurs à la génération de rang 2.

\item Déterminer l'état probabiliste stable et l'interpréter.

\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $f_{n+1} =  0,5 f_{n} + 0,1$.

\item On pose, pour tout entier naturel $n$, $u_{n} = f_{n} - 0,2$.

\begin{enumerate}\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

\item Donner l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.

\item En déduire que, pour tout entier naturel $n,~ f_{n} = 0,3 \times 0,5^n + 0,2$.

\item Déterminer la limite de la suite $\left(f_{n}\right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ et l'interpréter.

\end{enumerate}

\end{enumerate}


\subsection{}%\textcolor{blue}{Amérique du nord -- 2013}

Léa est inscrite sur les réseaux sociaux et consulte régulièrement sa page.


 
On considère que :
 

\begin{itemize}
\item Si Léa s'est connectée un certain jour, la probabilité qu'elle se connecte le lendemain est égale à $0,9$. 
\item Si Léa ne s'est pas connectée un certain jour, la probabilité qu'elle se connecte le lendemain est égale à $0,8$.
\end{itemize}

 
Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $a_{n}$ la probabilité que Léa se connecte le $n$-ième jour et $b_{n}$ la probabilité qu'elle ne se connecte pas le $n$-ième jour.
 
On a donc : $a_{n} + b_{n} = 1$.

\medskip
 
Le 1\up{er} jour, Léa ne s'est pas connectée, on a donc $a_{1} = 0$. 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Traduire les données par un graphe probabiliste. 
		\item Préciser la matrice $M$ de transition associée à ce graphe. 
		\item Déterminer la probabilité que Léa se connecte le troisième jour.
	\end{enumerate} 
\item Démontrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$, on a : $a_{n+1} = 0,1a_{n} + 0,8$. 
\item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie, pour tout entier $n \geqslant  1$, par $u_{n} = a_{n} - \frac{8}{9}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique, préciser sa raison et son premier terme. 
		\item Exprimer $u_{n}$ puis $a_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer en justifiant la limite de $\left(a_{n}\right)$. 
		\item Interpréter ce résultat. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 


\subsection{}%{\textcolor{blue}{Nouvelle Calédonie -- 2013}

Dans la commune de Girouette, deux partis s'affrontent aux élections tous les ans. En 2010, le parti Hirondelle l'a emporté avec 70\% des voix contre 30\% au parti Phénix.\\
On admet qu'à partir de l'année 2010 :
\begin{itemize}
 \item 14\% des électeurs votant pour le parti Hirondelle à une élection votreont pour le parti Phénix à l'élection suivante ;
 \item 6\% des électeurs votant pour le parti Phénix à une élection voteront pour le parti Hirondelle à l'élection suivante ;
 \item Les autres ne changent pas d'avis.
\end{itemize}
On considère un électeur de Girouette choisi au hasard. On note $H$ l'état \og L'électeur vote pour le parti Hirondelle \fg{} et $P$ l'état \og L'électeur vote pour le parti Phénix \fg{}.
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Représenter le graphe probabiliste associé à cette situation.
        \item Déterminer la matrice de transition $M$ en considérant les états dans l'ordre alphabétique.
       \end{enumerate}
 \item On appelle $E_n=\begin{pmatrix}h_n &  p_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne de l'état probabiliste de l'année $2010+n$.\\
 On a donc $E_0=\begin{pmatrix}0,7 &  0,3\end{pmatrix}$.\\
 Déterminer $E_1$ et $E_4$. \emph{(On arrondira les coefficients de $E_4$ au centième).} Interpéter les résultats.
 \item \begin{enumerate}
        \item Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a $h_{n+1}=0,8h_n+0,06$.
        \item On définit la suite $(u_n)$ par : pour tout entier naturel $n$, $u_n=h_n-0,3$.\\
        Montrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique.
        \item Montrer que pour tout entier naturel $n$, $h_n=0,3+0,4\times 0,8^n$.
       \end{enumerate}
 \item à partir de combien d'années la probabilité qu'un électeur choisi au hasard vote pour le parti Hirondelle sera-t-elle strictement inférieure à 0,32 ?
\end{enumerate}


\subsection{}%\textcolor{blue}{France, septembre 2004}

On considère une grande population d'acheteurs de yaourts. \\
On suppose que l'effectif de cette population est stable.\\
Une entreprise commercialise des yaourts sous la marque Y. \\
$30\%$ des acheteurs de yaourts achètent la marque Y. \\
L'entreprise décide de faire une campagne publicitaire pour
améliorer ses ventes. \\
Au bout d'une semaine, une enquête indique que :

$\bullet~20\%$ des acheteurs de yaourts qui achetaient la semaine précédente
des yaourts des autres marques achètent maintenant des yaourts Y.

$\bullet~10\%$ des acheteurs de yaourts qui achetaient la semaine précédente
des yaourts Y achètent maintenant des yaourts des autres marques.

  L'entreprise continue sa campagne publicitaire. On fait l'hypothèse
que l'évolution des résultats obtenus à l'issue de la première semaine de campagne
publicitaire est la même les semaines suivantes.

\begin{enumerate} \item Dessiner le graphe probabiliste correspondant à cette situation.

\item Soit $X_0 = \begin{pmatrix}0,3 &  0,7\end{pmatrix}$ la matrice ligne décrivant l'état initial de
la population.

\begin{enumerate} \item Donner la matrice de transition (notée A) associée au graphe
précédent.

\item Déterminer la probabilité qu'un acheteur de yaourts choisi au
hasard après deux semaines de campagne publicitaire, achète des yaourts de la marque Y.

\end{enumerate}

\item \begin{enumerate}
       \item Vérifier que $A=N+0,7R$, où $N=\begin{pmatrix} \frac{2}{3}&\frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} &\frac{1}{3} \end{pmatrix}$ et $R=\begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ -\frac{2}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix}$
	\item Calculer $N^2$, $R^2$, $NR$ et $RN$ puis en déduire $A^n$, pour $n$ entier naturel.


\item L'entreprise peut-elle espérer atteindre
une part de marché de $70\%$ ? Justifier.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  