\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 25.5cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction des exercices I et II de bac-graphes probabilistes-feuille 2}}\end{center}



\subsection{\textcolor{blue}{Centres étrangers, juin 2005}}
%On a divisé une population en deux catégories : \og fumeurs \fg{} et \og non-fumeurs \fg.
%
%Une étude statistique a permis de constater que, d'une génération à l'autre,
%
%$\bullet~$ 60\,\% des descendants de fumeurs sont des fumeurs,
%
%$\bullet~$ 10\,\% des descendants de non-fumeurs sont des fumeurs.
%
%On suppose que le taux de fécondité des fumeurs est le même que celui des non-fumeurs.
%
%On désigne par :
%
%$\bullet~f_{n}$ le pourcentage de fumeurs à la génération de rang $n$,
%
%$\bullet~g_{n}= 1 - f_{n}$  le pourcentage de non-fumeurs à la génération de rang $n$, où $n$ est un entier naturel.
%
%On considère qu'à la génération $0$, il y a autant de fumeurs que de non-fumeurs.
%
%On a donc $f_{0} = g_{0 } = 0,5$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,2.1)
\cnodeput(1,1){A}{$F$}
\cnodeput(6,1){B}{$\overline{F}$}
\nccircle[angleA=90]{->}{A}{0.4cm}\Bput{0,6}
\nccircle[angleA=-90]{->}{B}{0.4cm}\Bput{0,9}
\ncarc[arcangle=20]{->}{A}{B}\Aput{0,4}
\ncarc[arcangle=20]{->}{B}{A}\Aput{0,1}
\end{pspicture}
\end{center}
\item %Justifier l'égalité matricielle :

%\[\left(f_{n+1}\quad  g_{n+1}\right) = \left(f_{n}\quad  g_{n}\right) \times~ \text{A où A désigne la matrice :}~\begin{pmatrix}
%0,6& 0,4\\
%0,1& 0,9\\
%\end{pmatrix}\]
Au rang $n + 1$, les fumeurs viennent des 60\,\% de fumeurs de l'année $n$ et de 10\,\% des non-fumeurs de l'année $n$, soit :

$f_{n+1} = 0,6f_n + 0,1g_n$.

De même  les non-fumeurs viennent des 40\,\% de fumeurs de l'année $n$ et de 90\,\% des non-fumeurs de l'année $n$, soit :

$g_{n+1} = 0,4f_n + 0,9g_n$. Ce qui se traduit matriciellement par :

$\left(f_{n+1}\quad  g_{n+1}\right) = \left(f_{n}\quad  g_{n}\right) \times \begin{pmatrix}
0,6& 0,4\\
0,1& 0,9\\
\end{pmatrix}\Leftrightarrow \begin{pmatrix}f_{n+1}& g_{n+1}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}f_{n}&  g_{n}\end{pmatrix} \times A$ où $\boxed{\textcolor{red}{A=\begin{pmatrix}
0,6& 0,4\\
0,1& 0,9\\
\end{pmatrix}}}$

\item Notons $P_n=\begin{pmatrix}f_n&g_n\end{pmatrix}$.\\
%Déterminer le pourcentage de fumeurs à la génération de rang 2.
On a  $P_2=P_0M^2=\begin{pmatrix}0,5&0,5\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
0,6& 0,4\\
0,1& 0,9\\
\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}0,275&0,725\end{pmatrix}$.
On en déduit $\boxed{\textcolor{red}{f_2=0,275}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{g_2=0,725}}$.\\
À la génération de rang 2, le pourcentage de fumeurs est 27,5\:\%

\item %Déterminer l'état probabiliste stable et l'interpréter.
La matrice de transition étant non nulle, il existe donc un état stable 

$P = \begin{pmatrix} x&y\end{pmatrix}$ (avec $x + y = 1$) tel que :

$P = P \times M \iff \begin{pmatrix}
x&y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x&y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0,6& 0,4\\
0,1& 0,9\\
\end{pmatrix} \iff $

$\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&0,6x + 0,1y\\
y&=&0,4x + 0,9y
\end{array}\right.$.

On a donc $\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&0,6x + 0,1y\\
x + y&=&1
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c r}
x&=&0,6x + 0,1y\\
y&=&1 - x
\end{array}\right. \iff$

$\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&0,6x + 0,1(1 - x)\\
y&=&1 - x
\end{array}\right.  \iff \left\{\begin{array}{l c r}
x&=&0,6x + 0,1 - 0,1x\\
y&=&1 - x
\end{array}\right. \iff  \left\{\begin{array}{l c r}
0,5x&=& 0,1\\
y&=&1 - x
\end{array}\right. \iff$

$ \left\{\begin{array}{l c r}
x&=& 0,2\\
y&=&1 - x
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c r}
x&=& 0,2\\
y&=&0,8
\end{array}\right.$ Donc $\boxed{\textcolor{red}{P = \begin{pmatrix} 0,2&0,8\end{pmatrix}}}$.

À terme il y aura donc 20\,\% de fumeurs.
\item %Montrer que : pour tout entier naturel $n,\:f_{n+1} =  0,5f_{n} + 0,1$.
On a pour tout entier naturel $n,\, f_{n+1} =  0,6f_{n} + 0,1g_n$ ; or $g_n = 1 -f_n$, donc :

$f_{n+1} =  0,6f_{n} + 0,1\left(1 - f_n \right) = 0,6f_{n}   + 0,1 - 0,1f_n =\boxed{\textcolor{red}{ 0,5f_{n} + 0,1}}$.
\item %On pose, pour tout entier naturel $n,~u_{n} = f_{n} - 0,2$.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
On a pour tout entier naturel $n$,\, $u_{n+1} = f_{n+1} - 0,2 = 0,5f_{n} + 0,1 - 0,2 = 0,5f_{n} - 0,1 = 0,5\left(f_n - 0,2\right) =\boxed{\textcolor{red}{ 0,5u_n}}$.

L'égalité vraie pour tout entier naturel $n$,\, $u_{n+1} = 0,5u_n$ montre que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite \textbf{\textcolor{red}{géométrique}} de raison $q = 0,5$ et de premier terme $u_0 = f_0 - 0,2 = 0,5 - 0,2 = 0,3$.

		\item %Donner l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.
On sait que pour tout entier naturel $n,\, u_n = u_0\times q^n = 0,3 \times 0,5^n$.
		\item %En déduire que, pour tout entier naturel $n,~f_{n} = 0,3 \times 0,5^n + 0,2$.
On a $u_{n} = f_{n} - 0,2 \iff f_n = u_n + 0,2  = \boxed{\textcolor{red}{0,3 \times 0,5^n + 0,2}}$.

		\item %Déterminer la limite de la suite $\left(f_{n}\right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ et l'interpréter.
Comme $0 < 0,5 < 1$, on sait que $\lim_{n \to + \infty} 0,5^n = 0$, donc $\lim_{n \to + \infty} 0,3 \times 0,5^n = 0$ et enfin 

$\lim_{n \to + \infty} f_n = \boxed{\textcolor{red}{0,2}}$.

On retrouve le fait qu'à terme le nombre de fumeurs va tendre vers les 20\,\%.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du nord -- 2013}}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Appelons $A$ l'état probabiliste \og Léa s'est connectée \fg{}, \:$B$ l'état probabiliste \og Léa ne s'est pas connectée \fg. On considère que :
		
Si Léa s'est connectée un certain jour, la probabilité qu'elle se connecte le lendemain est égale à $0,9$ d'où $p_{A_n}\left(A_{n+1}\right) = 0,9$ et $p_{A_n}\left(B_{n+1}\right) = 0,1$.

Si Léa ne s'est pas connectée un certain jour, la probabilité qu'elle se connecte le lendemain est égale à $0,8$ soit  $p_{B_n}\left(A_{n+1}\right) = 0,8$ et $p_{B_n}\left(B_{n+1}\right) = 0,2$.

On en déduit  le graphe probabiliste correspondant à cette situation :

\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-1)(8,1)
%\psgrid[subgriddiv=2](0,0)(-2,-6)(8,1)
\psnode(0,0){A}{\bf A}
\psnode(6,0){B}{\bf B}
\psset{nodesep=3pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}
\ncarc{->}{A}{B} \Aput{0,1} 
\ncarc{->}{B}{A} \Aput{0,8}
\nccircle[angleA=60]{->}{A}{.5cm} \Bput{0,9}
\nccircle[angleA=-60]{->}{B}{.5cm} \Bput{0,2}
\end{pspicture}
\end{center}

		\item La matrice de transition $M$ de ce graphe vérifiant  $\left(a_{n+1}\:\:b_{n+1}\right) = \left(a_n \:\: b_n\right) \times M$ est :  $\boxed{\textcolor{red}{M = \begin{pmatrix}0,90&0,1
		\\0,80&0,20\end{pmatrix}}}$.
		
		\item Le 1\up{er} jour, Léa ne s'est pas connectée donc l'état initial est $P_1= (0\:\:1)$. 
		
L'état $P_3$ au  jour 3  est :

$P_3 = P_1 \times M^2 = (0\:\:1)\times \begin{pmatrix}0,90&0,1\\0,80&0,2\end{pmatrix}^2  =\boxed{\textcolor{red}{ \begin{pmatrix}0,88&0,12\end{pmatrix}}}$.

La probabilité que Léa se connecte le troisième jour est égale à $\boxed{\textcolor{red}{0,88}}$.
	\end{enumerate}
	
\item Pour tout entier $n\geqslant 1$,

$P_{n+1} = P_n \times M \iff \begin{pmatrix}a_{n+1}&b_{n+1}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}a_{n}&b_{n}\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,9&0,1\\0,8&0,2\end{pmatrix} \iff \begin{pmatrix}a_{n+1}&b_{n+1}\end{pmatrix} = \boxed{\textcolor{red}{\begin{pmatrix}0,9a_n+0,8b_n&0,1a_n+0,2b_n\end{pmatrix}}}$.

D'où  $a_{n+1} = 0,9a_n + 0,8b_n$ avec pour tout entier $n\geqslant 1$,\: $a_n + b_n = 1$. D'où
$a_{n+1} = 0,9a_n+0,8\times \left(1 - a_n\right) \\
=0,1a_n + 0,8$.

Ainsi, pour tout entier $n\geqslant 1$,\: $a_{n+1} =\boxed{\textcolor{red}{ 0,1a_n + 0,8}}$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout entier $n\geqslant 1$,
		
$u_{n+1} =a_{n+1} - \dfrac{8}{9} \iff u_{n+1} =0,1a_n + 0,8 - \dfrac{8}{9}u_{n+1} = 0,1a_n -\dfrac{4}{45} \iff u_{n+1} = 0,1 \times \left(a_n - \dfrac{8}{9}\right)u_{n+1} = \boxed{\textcolor{red}{0,1u_n}}$.

Donc, pour tout entier $n\geqslant 1$, $u_{n+1} = 0,1u_n$ donc $\left(u_n\right)$ est une suite \textbf{\textcolor{red}{géométrique}} de raison $0,1$. Mais  

$u_1 = a_1 - \dfrac{8}{9}$, soit $u_1= - \dfrac{8}{9}$.

$\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,1$ et de premier terme $u_1 = - \dfrac{8}{9}$.

		\item $\left(u_n\right)$  est une suite géométrique de raison $q = 0,1$ et de premier terme $u_1 = - \dfrac{8}{9}$ alors, pour tout entier $n\geqslant 1$,
$\boxed{\textcolor{red}{u_n = u_1 \times q^{n-1}}}$,  soit $\boxed{\textcolor{red}{u_n = - \dfrac{8}{9} \times 0,1^{n - 1}}}$.\\
\emph{attention, on commence à $u_1$ !}

Or pour tout entier $n\geqslant 1$,\:$u_n = a_n - \dfrac{8}{9} \iff a_n = u_n+ \dfrac{8}{9}\iff a_n = -\dfrac{8}{9}\times 0,1^{n-1} + \dfrac{8}{9}\\
\iff a_n = - \dfrac{8}{9}\times 0,1^n + \dfrac{8}{9}$. Ainsi pour tout entier $n\geqslant 1$,\: $\boxed{\textcolor{red}{a_n = - \dfrac{80}{9} \times 0,1^n + \dfrac{8}{9}}}$.
	\end{enumerate}
	
\item
	\begin{enumerate}
		\item Comme $0 < 0,1 < 1$, on a  $\lim_{n\rightarrow +\infty}  0,1^n = 0$ d'où $\lim_{n\rightarrow +\infty}  -\dfrac{80}{9}\times 0,1^n =0$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty} -\dfrac{80}{9}\times 0,1^n + \dfrac{8}{9} = \dfrac{8}{9}$. Soit $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty} a_n = \dfrac{8}{9}}}$.

\textbf{\textcolor{blue}{Conclusion}} : la suite $\left(a_n\right)$ converge vers $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{8}{9}}}$.

		\item La suite $\left(a_n\right)$ convergeant vers $\dfrac{8}{9}$, à partir d'un certain nombre de jours, la probabilité que Léa se connecte chaque jour est égale à $\dfrac{8}{9}$.
	\end{enumerate}

\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  