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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents


\subsection*{Exercice pour les élèves suivant l'enseignement de spécialité}

La partie C est indépendante des partes A et B/
\bigskip

La coopérative LAFRUITIERE collecte le lait de 7 exploitations de montagne. La situation
géographique est représentée par le graphe ci-dessous, noté $G_L$. La coopérative est située au
sommet A, les autres sommets B, C, D, E, F, G et H représentent les différentes exploitations ;
les arêtes représentent le réseau routier reliant ces exploitations.\index{graphe}

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(12,8)
\rput(0.75,7.5){\ovalnode{A}{A}} \rput(7.2,7.5){\ovalnode{B}{B}} \rput(11.3,5.5){\ovalnode{C}{C}} 
\rput(10.3,2){\ovalnode{D}{D}} 
\rput(3.3,6.4){\ovalnode{E}{E}} \rput(0.3,2.7){\ovalnode{F}{F}} \rput(5.7,0.3){\ovalnode{G}{G}} \rput(6.7,4.3){\ovalnode{H}{H}} 
\ncline{A}{B} \ncline{A}{E} \ncline{A}{F} 
\ncline{B}{C} \ncline{B}{D} \ncline{B}{E} 
\ncline{B}{H} \ncline{C}{D} \ncline{D}{F} 
\ncline{D}{G} \ncline{D}{H} \ncline{E}{F} 
\ncline{E}{H} \ncline{F}{G} \ncline{F}{H} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le graphe $G_L$ est-il complet ? Justifier.\index{graphe complet}
		\item Le graphe $G_L$ est-il connexe ? Justifier.\index{graphe connexe}
	\end{enumerate}
\item Est-il possible d'organiser une tournée de toutes les exploitations en partant de A et en
terminant en A et en passant au moins une fois par chaque client, tout en empruntant
une fois et une seule chaque route ? Justifier la réponse.
\item On appelle $M$ la matrice d'adjacence associée au graphe $G_L$ (les sommets étant pris
dans l'ordre alphabétique).
	
On donne la matrice $M^3 = \begin{pmatrix}
4 	&11 &3 &7 	&8 	&11 &3 &6\\
11 &8 	&7 &13 	&12 &8 	&6 &13\\
3 	&7 	&2 &7 	&5 	&6 	&2 &4\\
7	&13 &7 &8 	&8 	&13 &7 &12\\
8	&12 &5 &8 	&8 	&12 &5 &11\\
11 	&8 	&6 &13 	&12 &8 	&7 &13\\
3 	&6 	&2 &7 	&5 	&7 	&2 &4\\
6 	&13 &4 &12 	&11 &13 &4 &8
\end{pmatrix}$\index{matrice}

Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant A à H.

Indiquer ces chemins.
\end{enumerate}


\newpage


\textbf{Partie B}

\medskip

Les arêtes sont pondérées par les distances entre les exploitations, exprimées en kilomètres. La coopérative doit collecter du lait provenant de l'exploitation D ; quel est le plus court parcours pour se rendre de A à D ? Justifier.\index{algorithme de Dijskra}

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(12,8)
\cnodeput(0.75,7.5){A}{A} \cnodeput(7.2,7.5){B}{B} \cnodeput(11.3,5.5){C}{C} 
\cnodeput(10.3,2){D}{D} \cnodeput(3.3,6.4){E}{E} \cnodeput(0.3,2.7){F}{F} 
\cnodeput(5.7,0.3){G}{G} \cnodeput(6.7,4.3){H}{H} 
\ncline{A}{B}\ncput*{19} \ncline{A}{E}\ncput*{6}  \ncline{A}{F}\ncput*{10} 
\ncline{B}{C}\ncput*{13} \ncline{B}{D}\ncput*{20} \ncline{B}{E}\ncput*{7} 
\ncline{B}{H}\ncput*{7}  \ncline{C}{D}\ncput*{6}  \ncline{D}{F}\ncput*{25} 
\ncline{D}{G}\ncput*{15} \ncline{D}{H}\ncput*{13} \ncline{E}{F}\ncput*{5} 
\ncline{E}{H}\ncput*{14} \ncline{F}{G}\ncput*{12} \ncline{F}{H}\ncput*{8} 
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Partie C :}

$a$, $b$, $c$ désignent des réels.
\begin{enumerate}
\item Résoudre matriciellement le système suivant : S : \systeme{a+b+c=-2,-4a+b=0,9a+3b+c=0}

\item Soit $f$ une fonction du second degré définie sur $\mathbb{R}$.\\
Soit $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère donné.\\
Déterminer $f$ telle que $\mathscr{C}$ passe par le point A(1~;~-2), $\mathscr{C}$ coupe l’axe des abscisses en 3 et telle que
la tangente $T$ à $\mathscr{C}$ au point d’abscisse -2 soit parallèle à l’axe des abscisses.

\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}  