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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TES spécialité : devoir sur feuille \no 2}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}%\textcolor{blue}{Métropole-Réunion juin 2015}
\textbf{PARTIE A}

\medskip

On considère le graphe $\mathcal{G}$ ci-dessous :\index{graphe}

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(7.5,5)
%\psframe(7.5,5)
\psdots(2.5,4.5)(4.5,4.5)(2.7,2.5)(1,2.1)(3,0.7)(4.3,2.7)(6.8,3)(6.6,1)%ABCDEFGH
\psline(2.5,4.5)(4.5,4.5)(4.3,2.7)(2.7,2.5)(3,0.7)(1,2.1)(2.5,4.5)%ABFCED
\uput[ul](2.5,4.5){A}
\uput[u](4.5,4.5){B}
\uput[l](2.7,2.5){C}
\uput[l](1,2.1){D}
\uput[d](3,0.7){E}
\uput[ur](4.3,2.7){F}
\uput[r](6.8,3){G}
\uput[dr](6.6,1){H}
\pspolygon(4.5,4.5)(6.8,3)(6.6,1)%BGH
\pspolygon(4.3,2.7)(6.6,1)(3,0.7)%FHE
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer en justifiant si ce graphe:
	\begin{enumerate}
		\item est connexe;\index{graphe connexe}
		\item admet une chaîne eulérienne.\index{chaîne eulérienne}
	\end{enumerate}
\item On note $M$ la matrice d'adjacence associée à ce graphe en prenant les sommets
dans l'ordre alphabétique.\index{matrice}
On donne :

\[M^3 = \begin{pmatrix}
0 	&5 	&2 	&3 	&2 	&2 	&1 	&3\\
5	&4	&3	&2	&5	&9	&6	&8\\
2	&3	&2	&1	&6	&6	&3	&3\\
3	&2	&1	&0	&5	&3	&2	&2\\
2	&5	&6	&5	&4	&8	&3	&9\\
2 	&9 	&6 	&3 	&8 	&6 	&3 	&9\\
1	&6	&3 	&2 	&3 	&3 	&2 	&6\\
3	&8	&3 	&2	&9	&9 	&6 	&6\\
\end{pmatrix}
\]

Donner, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant E à B.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

Un club alpin souhaite proposer à ses membres des randonnées de plusieurs jours dans
les Alpes. À cet effet, huit refuges notés A, B, C, D, E, F, G et H ont été sélectionnés.

Le graphe $\mathcal{G}$ de la partie A permet de visualiser les différents itinéraires possibles, les
sommets représentant les refuges et les arêtes schématisant tous les sentiers de
randonnée balisés les reliant.

\medskip

\begin{enumerate}
\item D'après l'étude effectuée dans la partie A, le club alpin est-il en mesure de
proposer:
	\begin{enumerate}
		\item un itinéraire au départ du refuge A qui passerait par tous les refuges en
empruntant une fois et une seule fois chacun des sentiers? Si oui,
proposer un tel itinéraire;
		\item des itinéraires de trois jours (un jour correspondant à une liaison entre
deux refuges) reliant le refuge E au refuge B ? Si oui, combien peut-il en
proposer?
	\end{enumerate}
\item Le graphe $\mathcal{G}$ est complété ci-dessous par la longueur en kilomètres de chacun des
sentiers.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(7.5,5)
%\psframe(7.5,5)
\psdots(2.5,4.5)(4.5,4.5)(2.7,2.5)(1,2.1)(3,0.7)(4.3,2.7)(6.8,3)(6.6,1)%ABCDEFGH
\pnode(2.5,4.5){A}\uput[ul](2.5,4.5){A}
\pnode(4.5,4.5){B}\uput[u](4.5,4.5){B}
\pnode(2.7,2.5){C}\uput[l](2.7,2.5){C}
\pnode(1,2.1){D}  \uput[l](1,2.1){D}
\pnode(3,0.7){E}  \uput[d](3,0.7){E}
\pnode(4.3,2.7){F}\uput[ur](4.3,2.7){F}
\pnode(6.8,3){G}  \uput[r](6.8,3){G}
\pnode(6.6,1){H}  \uput[dr](6.6,1){H}
\ncarc{A}{B}\ncput*{12}
\ncarc{A}{D}\ncput*{14}
\ncarc{B}{G}\ncput*{16}
\ncarc{G}{H}\ncput*{11}
\ncarc{B}{H}\ncput*{21}
\ncarc{B}{F}\ncput*{9}
\ncarc{F}{H}\ncput*{11}
\ncarc{F}{E}\ncput*{16}
\ncarc{E}{H}\ncput*{10}
\ncarc{F}{C}\ncput*{10}
\ncarc{C}{E}\ncput*{13}
\ncarc{D}{E}\ncput*{10}
%\psline(2.5,4.5)(4.5,4.5)(4.3,2.7)(2.7,2.5)(3,0.7)(1,2.1)(2.5,4.5)%ABFCED
%\pspolygon(4.5,4.5)(6.8,3)(6.6,1)%BGH
%\pspolygon(4.3,2.7)(6.6,1)(3,0.7)%FHE
%\ncline{A}{D}\naput{14}
\end{pspicture}
\end{center}

Le club alpin désire aussi proposer à ses membres l'itinéraire le plus court
reliant A à H.

Déterminer cet itinéraire et en préciser la longueur en kilomètres.\index{algorithme de Dijskra}
\end{enumerate}

\subsection{}%Métropole-Réunion septembre 2016
Un parc de loisirs décide d'ouvrir une nouvelle attraction pour les jeunes enfants : un parcours pédestre où chaque enfant doit recueillir, sur différents lieux, des indices pour résoudre une énigme. Le parcours est représenté par le graphe ci-dessous. Les sommets représentent des lieux où sont placés les indices ; les arêtes représentent des chemins pédestres qui les relient.\index{graphe} 

\begin{center}
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(14,8)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{linecolor=bleu,linewidth=1pt}
\begin{footnotesize}
\rput(2,5){\cnode*{2pt}{A}{\uput[u](0,0){\sf{\bleu A}}}}\rput(6,6){\cnode*{2pt}{B}{\uput[u](0,0){\sf{\bleu B}}}}\rput(10,5){\cnode*{2pt}{C}{\uput[r](0,0){\sf{\bleu C}}}} \rput(5,3){\cnode*{2pt}{D}{\uput[d](0,0){\sf{\bleu D}}}} \rput(0,1){\cnode*{2pt}{E}{\uput[d](0,0){\sf{\bleu E}}}} \rput(11,8){\cnode*{2pt}{F}{\uput[u](0,0){\sf{\bleu F}}}} \rput(14,4){\cnode*{2pt}{G}{\uput[r](0,0){\sf{\bleu G}}}}  \rput(12,0){\cnode*{2pt}{H}{\uput[d](0,0){\sf{\bleu H}}}}
\ncline{A}{E} \ncline{E}{D} \ncline{D}{A}\ncline{A}{B} \ncline{B}{D} \ncline{D}{C} \ncline{C}{B} \ncline{B}{F} \ncline{F}{C} \ncline{C}{H} \ncline{H}{G} \ncline{G}{F}
\end{footnotesize}
\end{pspicture}
\end{center}

\subsubsection*{\textcolor{blue}{Partie A}}
 
\begin{enumerate}
\item Un enfant pourra-t-il parcourir chaque chemin pédestre du circuit une fois et une seule ? Si oui, indiquer un circuit possible et sinon expliquer pourquoi.
\item On note $M$ la matrice d'adjacence associée à ce graphe (les sommets sont pris dans l'ordre alphabétique).\index{matrice}
 
On donne la matrice \[M^4=
\begin{pmatrix}
20 	& 18 & 20 	& 21 	& 11 	& 13 	& 5 	& 5\\
18 	& 32 & 25 	& 25 	& 17 	& 16 	& 10 	& 10\\
20 	& 25 & 31 	& 19 	& 13 	& 13 	& 14 	& 5\\
21 	& 25 & 19 	& 31 	& 13 	& 21 	& 4 	& 12\\
11 	& 17 & 13 	& 13 	& 11 	& 6 	& 4 	& 3 \\
13 	& 16 & 13 	& 21 	& 6 	& 20 	& 3 	& 13\\
5 	& 10 & 14 	& 4 	& 4 	& 3 	& 9 	& 1\\
5 	& 10 & 5 	& 12 	& 3 	& 13 	& 1 	& 10
\end{pmatrix}.\]
 
Déterminer le nombre de parcours allant de E à H en 4 chemins pédestres. Les citer tous. 
\end{enumerate}

\subsubsection*{\textcolor{blue}{Partie B}}
 
Afin d'améliorer la qualité de ses services, une étude statistique a relevé la durée moyenne d'attente en minutes à la billetterie du parc en fonction de l'heure. Ce relevé a eu lieu chaque heure de 9 h à 16 h. On obtient le relevé suivant : 

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(19,12)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(0,0)(17,12)
\psset{xunit=.45cm,yunit=.25cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(17,24)
\uput[dl](19,0){$x$} \uput[dl](0,24){$y$}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psdots[linewidth=1pt, linecolor=bleu](9,9)(10,14)(11,20)(12,22)(13,21)(14,20)(15,12)(16,2)
\end{pspicture}
\end{center}

Ainsi, à 10 h, il y avait 14 minutes d'attente à la billetterie.
 
On souhaite modéliser cette durée d'attente par une fonction qui à l'heure associe la durée d'attente en minutes. Ainsi, il sera possible d'avoir une estimation de la durée d'attente. 

On choisit de modéliser cette situation à l'aide de la fonction $f$ définie par 

\[f(x) = ax^2 + bx + c\] 

avec $a$, $b$, $c$ des réels et $a$ non nul telle que les trois points $(9~;~9)$, $(11~;~20)$ et $(16~;~2)$ appartiennent à la représentation graphique de $f$. 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer les trois réels $a$, $b$ et  $c$.
\item En utilisant ce modèle, déterminer sur quelle(s) plage(s) horaire(s) l'attente peut être inférieure à dix minutes.\end{enumerate} 

\subsection{}%Polynésie juin 2013
 \begin{center}
 \emph{Les parties  A et B sont indépendantes}
 \end{center}
 
Alors  qu'une  entreprise A possédait le monopole de l'accès à internet des particuliers, une entreprise concurrente  B est autorisée à s'implanter.

Lors de l'ouverture au public  en 2010 des services du fournisseur d'accès B, l'entreprise  A possède  90\,\% du marché  et l'entreprise B possède  le reste du marché.

Dans cet exercice,  on suppose  que chaque  année, chaque internaute  est client d'une seule entreprise A ou B.

On observe  à partir de 2010 que chaque année,  15\,\% des clients de l'entreprise A deviennent des clients de l'entreprise  B, et 10\,\% 
des clients de l'entreprise  B deviennent  des clients de l'entreprise  A.

Pour tout entier naturel  $n$, on note $a_n$ la probabilité qu'un internaute de ce pays, choisi au hasard, ait son accès à internet fourni par l'entreprise  A pour l'année  $2010 + n$, et $b_n$, la probabilité  pour que son fournisseur d'accès  en $2010 + n$ soit l'entreprise  B.


On note  $P_n =\begin{pmatrix} a_n & b_n \end{pmatrix}$ la matrice correspondant  à l'état probabiliste  de l'année $2010 + n$ et on a ainsi $a_0 = 0,9$ et $b_0 = 0,1$.

\medskip
 
\textbf{\textsc{partie a}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter  cette situation par un graphe  probabiliste.
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer la matrice de transition $M$ de ce graphe.
\item Montrer qu'en 2013,  l'état probabiliste  est environ $\begin{pmatrix} 0,61 & 0,39 \end{pmatrix}$.
\item Déterminer  l'état stable $P =\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}$ de la répartition  des clients des entreprises  A et B. Interpréter le résultat.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{\textsc{partie b}}

\medskip

Lors d'une campagne de marketing l'entreprise  B distribue  un stylo ou un porte-clés  ; il en coûte à l'entreprise  0,80 \euro{} par stylo et 1,20 \euro{} par porte-clés distribué.

À la fin de la journée l'entreprise  a distribué  550 objets  et cela lui a coûté 540 \euro.

On cherche le nombre  $s$ de stylos  et le nombre $c$ de porte-clés  distribués.

\begin{enumerate}
\item Écrire un système  traduisant  cette situation.
\item Montrer que le système précédent est équivalent à $R \times X = T$ où $R =\begin{pmatrix}
 1 & 1 \\
0,8 & 1,2 \end{pmatrix}$ et $X$ et $T$ sont des matrices  que l'on précisera.
\item Résoudre  le système à l'aide  de la calculatrice.  Interpréter le résultat.
\end{enumerate}




\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  