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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\subsection*{\textcolor{blue}{Liban, juin 2003}}
Un théâtre propose deux types d'abonnements pour une année : un abonnement A donnant droit à six spectacles ou un abonnement B donnant droit à trois spectacles.\\
On considère un groupe de 2\:500 personnes qui s'abonnent tous les ans.
$n$ étant un entier naturel, on note :

$a_n$ la probabilité qu'une personne ait choisi un abonnement A l'année
$n$ ;

$b_n$ la probabilité qu'une personne ait choisi un abonnement B l'année
$n$ ;

$P_n$ la matrice $\begin{pmatrix}a_n &  b_n\end{pmatrix}$ traduisant l'état probabiliste à l'année $n$.

  Tous les ans 85\% des personnes qui ont choisi l'abonnement A et 55\% des personnes qui ont choisi l'abonnement B conservent ce type d'abonnement l'année suivante. Les autres personnes changent d'abonnement.

\begin{enumerate} \item On suppose que, l'année zéro, \nombre{1500} personnes ont choisi l'abonnement A et \nombre{1000} l'abonnement B.\\
% Déterminer l'état initial $P_0 =\begin{pmatrix}a_0 &  b_0\end{pmatrix}$.
On a : $a_0=\dfrac{\numprint{1500}}{\numprint{2500}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{5}=0,6}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{b_0=1-a_0=\dfrac{2}{5}=0,4}}$.\\
L(état initial est $\boxed{\textcolor{red}{P_0=\begin{pmatrix}0,6&0,4\end{pmatrix}}}$.

\item 
\begin{enumerate} 
\item %Tracer un graphe probabiliste traduisant les données de l'énoncé.
Voilà un graphe probabiliste traduisant les données de l'énoncé :

\bigskip

\begin{center}
\begin{psmatrix}[mnode=circle]
A &  &  & B 
\end{psmatrix}
\psset{arrows=->,shortput=nab}
\nccircle[angleA=90]{1,1}{0.7cm}^{0,85}
\ncarc[arcangle=15]{1,1}{1,4}^{0,15}
\nccircle[angleA=-90]{1,4}{0.7cm}^{0,45}
\ncarc[arcangle=15]{1,4}{1,1}^{0,45}
\end{center}

\bigskip

\item %Déterminer la matrice de transition M de ce graphe.
La matrice de transition M de ce graphe est $\boxed{\textcolor{red}{M=\begin{pmatrix}0,85&0,15\\0,45&0,55\end{pmatrix}}}$ .

\item %En déduire le nombre d'abonnés pour chaque type d'abonnement l'année un.
On a $P_1=P_0M=\begin{pmatrix}0,6&0,4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,85&0,15\\0,45&0,55\end{pmatrix}=\boxed{\textcolor{red}{\begin{pmatrix}0,69&0,31\end{pmatrix}}}$.\\
À l'année un, il y a $\numprint{2500}*0,69=\numprint{1725}$ adhérents avec l'abonnent A et donc 775 pour l'abonnement B.

\end{enumerate}

\item Soit $P = \begin{pmatrix}x &  y\end{pmatrix}$ l'état stable, où $x$ et $y$ sont deux nombres réels
 positifs tels que $x +y = 1$.

%  Justifier que $x$ et $y$ vérifient l'équation $x = 0,85 x + 0,45 y$.
Si $P=\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}$ est état stable,  on a $P=PM$ donc :\\
$\systeme[][@]{x=0,85x+0,45y,@y=0,15x+0,55y}$.\\
Ces deux équations étant équivalentes, $x$ et $y$ vérifient bien la relation $\boxed{\textcolor{red}{x=0,85x+0,45y}}$.\\
%
%  Déterminer $x$ et $y$.\\
D'autre part, on a $x+y=1$.\\
$x$et $y$ sont donc solutions du système :\\
\systeme[][@]{x=0,85x+0,45y@x+y=1}\\

\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Résolvons ce système}} :

$\systeme[][@]{x=0,85x+0,45y@x+y=1}\Leftrightarrow \systeme[][@]{0,15x=0,45y@x+y=1}\Leftrightarrow \systeme[][@]{x=\dfrac{0,45}{0,15}y@x+y=1}\Leftrightarrow \systeme[][@]{x=3y@x+y=1}$\\
$\Leftrightarrow \systeme[][@]{x+3y@4y=1}\Leftrightarrow \systeme[][@]{y=0,25@x=3y=0,75}$

\bigskip

L'état stable est $P\boxed{\textcolor{red}{=\begin{pmatrix}0,75&0,25\end{pmatrix}}}$

\bigskip

%  En déduire la limite de la suite $(a_n)$ quand $n$ tend vers plus l'infini.
La matrice de transition n'a aucun élément nul.\\
La limite de l'état $P_n$  est donc l'état stable $P=\begin{pmatrix}0,75&0,25\end{pmatrix}$.

\bigskip
%  Interpréter le résultat précédent en terme de nombre d'abonnements
%de type A.
Le nombre d'abonnement de type A tend  donc vers $0,75\times 2500=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{1875}}}$.
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  