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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents


\subsection*{\textcolor{blue}{Maladie}}

  Un individu vit dans un milieu où il est susceptible d'attraper une maladie par piqûre d'insecte. Il peut être dans l'un des trois états suivants : immunisé ($I$), malade ($M$), sain, c'est-à-dire non malade et non immunisé, ($S$). \\
D'un mois à l'autre, son état peut changer selon les règles suivantes :
\begin{itemize}
	\item étant immunisé, il peut le rester avec une probabilité 0,9 ou passer à l'état $S$ avec une probabilité 0,1 ;
	\item étant dans l'état $S$, il peut le rester avec une probabilité 0,5 ou passer à l'état $M$ avec une probabilité 0,5 ;
	\item étant malade, il peut le rester avec une probabilité 0,2 ou passer à l'état $I$ avec une probabilité 0,8.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
	\item %Tracer un graphe probabiliste pour décrire cette situation et écrire la matrice de transition.
Le graphe probabliste correspondant à la situation est :
\vspace{1cm}
	\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\begin{psmatrix}[mnode=circle]
 &  & i \\ 
m &  &  &  & s 
\end{psmatrix}
\psset{arrows=->,shortput=nab}
\nccircle[angleA=60]{1,3}{0.7cm}^{0,5}
\ncarc[arcangle=-15]{2,1}{1,3}^{0,8}
\ncarc[arcangle=-15]{1,3}{2,5}^{0,1}
\nccircle[angleA=0]{2,1}{0.7cm}^{0,2}
\ncarc{2,5}{2,1}^{0,5}
\nccircle[angleA=0]{2,5}{0.7cm}^{0,5}
\end{center}

\bigskip

La matrice de transition est alors $\boxed{\textcolor{red}{M=\begin{pmatrix}0,9&0&0,1\\0,8&0,2&0\\0&0,5&0,5\end{pmatrix}}}$

	\item Calculons l'état de probabilité de l'individu au bout de trois mois, de six mois, d'un an, de deux ans pour chacune des situations suivantes :
\begin{itemize}
	\item \textbf{\textcolor{blue}{au départ, il est immunisé}}\\

L'état initial est $P_0=\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}$.\\
Comme pour le premier exemple, on trouve $P_n=P\times M^n$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Au bout de trois mois, on a : $P_3\approx\begin{pmatrix}0,769&,08&0,151\end{pmatrix}$

\item Au bout de six mois, on a : $P_6\approx\begin{pmatrix}0,754&,948&0,1513\end{pmatrix}$

\item Au bout d'un an donc 12 mois, on a : $P_{12}\approx\begin{pmatrix}0,755&,0943,&0,1509\end{pmatrix}$

\item Au bout de deux ans donc 24 mois, on a : $P_{24}\approx\begin{pmatrix}0,755&,0943,&0,1509\end{pmatrix}$
\end{enumerate}

	\item \textbf{\textcolor{blue}{au départ, il est non malade et non immunisé}} : alors $P_0=\begin{pmatrix}0&0&1\end{pmatrix}$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Au bout de trois mois, on a : $P_3\approx\begin{pmatrix}0,64&0,195&0,165\end{pmatrix}$

\item Au bout de six mois, on a : $P_6\approx\begin{pmatrix}0,7584&0,0927&0,1488\end{pmatrix}$

\item Au bout d'un an donc 12 mois, on a : $P_{12}\approx\begin{pmatrix}0,7547&,0943,&0,1509\end{pmatrix}$

\item Au bout de deux donc 24 mois, on a : $P_{24}\approx\begin{pmatrix}0,755&,0943,&0,1509\end{pmatrix}$
\end{enumerate}

	\item \textbf{\textcolor{blue}{au départ, il est malade}}. Alors $P_0=\begin{pmatrix}0&1&0\end{pmatrix}$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Au bout de trois mois, on a : $P_3\approx\begin{pmatrix}0,824&0,048&0,128\end{pmatrix}$

\item Au bout de six mois, on a : $P_6\approx\begin{pmatrix}0,7584&0,0927&0,1488\end{pmatrix}$

\item Au bout d'un an donc 12 mois, on a : $P_{12}\approx\begin{pmatrix}0,7547&,0943,&0,151\end{pmatrix}$

\item Au bout de deux donc 24 mois, on a : $P_{24}\approx\begin{pmatrix}0,747&,09434,&0,1509\end{pmatrix}$
\end{enumerate}
	
\end{itemize}
\item On note $\begin{pmatrix} i & m & s \end{pmatrix}$ l'état stable du système.
\begin{enumerate}
 \item 
% Montrer que $i$, $m$, $s$ sont solutions du système :
% \[(S)=\left\{\begin{array}{rcl}
%               0,8m-0,1i&=&0\\
%               0,5s-0,8m&=&0\\
%               0,1i-0,5s&=&0\\
%               i+m+s&=&1
%              \end{array}\right.\]
Notons $P=\begin{pmatrix}i&m&s\end{pmatrix}$ l'état stable.\\
On a alors $P=PM\Leftrightarrow \begin{pmatrix}i&m&s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}I&m&s\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,9&0&0,1\\0,8&0,2&0\\0&0,5&0,5\end{pmatrix}\Leftrightarrow \systeme[][@]{i=0,9i+0,8m@m=0,2m+0,5s@s=0,1i+0,5s}\\
\Leftrightarrow \systeme[][@]{0,8m-0,1i=0@0,5s-0,8m=0@0,1i-0,5s=0@i+m+s=1}$.\\
En multipliant tout par 10, on obtint :\\
$\systeme[][@]{8m-i=0@-8m+5s=0@i-5s=0@i+m+s=1}\Leftrightarrow \systeme[][@]{i=8m@5s=8m@i=5s@i+m+s=1}$\\
On en déduit : $\systeme[][@]{i=8m@s=\dfrac{8}{5}m@i=5s@i+m+s=1}$.\\

On remplace dans la dernière équation : $i+m+s=1\Leftrightarrow 8m+m+\dfrac{8}{5}m=1\Leftrightarrow \left(8+1+\dfrac{8}{5}\right)m=1\Leftrightarrow \dfrac{53}{5}m=1\Leftrightarrow m=\dfrac{5}{53}$.\\
Alors : $i=8m=\dfrac{60}{53}$ et $s=\dfrac{8}{5}m=\dfrac{8}{\cancel{5}}\times \dfrac{\cancel{5}}{53}=\dfrac{8}{53}$.\\
On en déduit $\begin{pmatrix}I&m&s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{40}{53}&\dfrac{5}{53}&\dfrac{8}{53}\end{pmatrix}$.

\item %En déduire l'état stable.
On en déduit que l'état stable est $\boxed{\textcolor{red}{P=\begin{pmatrix}\dfrac{40}{53}&\dfrac{5}{53}&\dfrac{8}{53}\end{pmatrix}\approx \begin{pmatrix}0,7547&0,09434&0,15094\end{pmatrix}}}$.\\
L'état stable est la limite de la suite $\left(P_n\right)$ quand $n$ tend vers $+\infty$, ce qu'on a observé sur l'état du système au cours du temps selon ls états initiaux observés.

\end{enumerate}

\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  