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\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TES spécialité : devoir sur feuille \no 2}}\end{center}




\subsection{\textcolor{blue}{Métropole-Réunion juin 2015}}

\textcolor{red}{\textbf{Partie A}}


\begin{center}
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(7.5,5)
\psdots(2.5,4.5)(4.5,4.5)(2.7,2.5)(1,2.1)(3,0.7)(4.3,2.7)(6.8,3)(6.6,1)%ABCDEFGH
\psline(2.5,4.5)(4.5,4.5)(4.3,2.7)(2.7,2.5)(3,0.7)(1,2.1)(2.5,4.5)%ABFCED
\uput[ul](2.5,4.5){A}
\uput[u](4.5,4.5){B}
\uput[l](2.7,2.5){C}
\uput[l](1,2.1){D}
\uput[d](3,0.7){E}
\uput[ur](4.3,2.7){F}
\uput[r](6.8,3){G}
\uput[dr](6.6,1){H}
\pspolygon(4.5,4.5)(6.8,3)(6.6,1)%BGH
\pspolygon(4.3,2.7)(6.6,1)(3,0.7)%FHE
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
	\item %1
		\begin{enumerate}
			\item %a	
Ce graphe $\Gamma$ possède 8 sommets et c'est un graphe connexe, la chaîne A-B-G-H-F-C-E-D passe par tous les sommets, deux sommets quelconques seront toujours reliés par une chaîne.				
			\item %b
Tableau des sommets degrés

\begin{center}
\begin{tabular}{|*{18}{c|}} \hline
Sommets	&A	&B	&C	&D	&E	&F	&G	&H\\ \hline
Degrés	&2	&4	&2	&2	&4	&4	&2	&4\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
                    
Le graphe a tous ses sommets de degré pair, étant connexe, il admet un cycle Eulérien d'après le théorème d'Euler, donc à fortiori une chaîne eulérienne.
                    		
             \end{enumerate}
	\item %2	
		Le nombre de chemin de longueur 3 reliant E à B est donné par $M_{25}^{(3)}=5$, il y 5 chemins de longueur 3 reliant E à B.
\end{enumerate}

\medskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie B}}

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(7.5,5)
\psdots(2.5,4.5)(4.5,4.5)(2.7,2.5)(1,2.1)(3,0.7)(4.3,2.7)(6.8,3)(6.6,1)%ABCDEFGH
\pnode(2.5,4.5){A}\uput[ul](2.5,4.5){A}
\pnode(4.5,4.5){B}\uput[u](4.5,4.5){B}
\pnode(2.7,2.5){C}\uput[l](2.7,2.5){C}
\pnode(1,2.1){D}  \uput[l](1,2.1){D}
\pnode(3,0.7){E}  \uput[d](3,0.7){E}
\pnode(4.3,2.7){F}\uput[ur](4.3,2.7){F}
\pnode(6.8,3){G}  \uput[r](6.8,3){G}
\pnode(6.6,1){H}  \uput[dr](6.6,1){H}
\ncarc{A}{B}\ncput*{12}
\ncarc{A}{D}\ncput*{14}
\ncarc{B}{G}\ncput*{16}
\ncarc{G}{H}\ncput*{11}
\ncarc{B}{H}\ncput*{21}
\ncarc{B}{F}\ncput*{9}
\ncarc{F}{H}\ncput*{11}
\ncarc{F}{E}\ncput*{16}
\ncarc{E}{H}\ncput*{10}
\ncarc{F}{C}\ncput*{10}
\ncarc{C}{E}\ncput*{13}
\ncarc{D}{E}\ncput*{10}
%\psline(2.5,4.5)(4.5,4.5)(4.3,2.7)(2.7,2.5)(3,0.7)(1,2.1)(2.5,4.5)%ABFCED
%\pspolygon(4.5,4.5)(6.8,3)(6.6,1)%BGH
%\pspolygon(4.3,2.7)(6.6,1)(3,0.7)%FHE
%\ncline{A}{D}\naput{14}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item %1
		\begin{enumerate}
			\item %a
Nous avons déjà répondu à la question dans la partie A 1. b.
				
Voici un exemple de cycle : A-B-F-C-E-F-H-B-G-H-E-D-A .(nous avons utilisé ici l'algorithme d'Euler).
			\item %b
Nous cherchons ici tous les chemins de longueurs 3 reliant le refuge E au refuge B. Il y en a 5 (d'après la question 2. b. de la partie A).

Voici les chemins possibles :
				E-C-F-B $~~~$ E-H-F-B $~~~$ E-D-A-B ~~~ E-H-G-B $~~~$ E-F-H-B.
		\end{enumerate}
	\item %2
		Pour déterminer la distance la plus courte entre A et H, nous utiliserons l'algorithme de Dijkstra :
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
A	&B	&C	&D	&E	&F	&G	&H&	sommet choisi&poids\\ \hline
 0	&$\infty$	&$\infty$	&$\infty$	&$\infty$	&$\infty$	&$\infty$	&$\infty$&	A&0\\ \hline
                       | 	&12 (A)	& $\infty$ 	&14 (A)	& $\infty$ 	& $\infty$ 	& $\infty$ 	& $\infty$ 	&B&12\\ \hline
                       | 	& | 	& $\infty$ 	&14 (A)	& $\infty$ 	&21 (B)	&28 (B)	&33 (B)	&D&14\\ \hline
                       | 	& | 	& $\infty$ 	& | 	&24 (D)	&21 (B)	&28 (B)	&33 (B)	&F&21\\ \hline
                       | 	& | 	&31 (F)	& | 	&24 (D)	& | 	&28 (B)	&32 (F)	&E&24\\ \hline
                       | 	& | 	&31 (F)	& | 	& | 	& | 	&28 (B)	&32 (F)	&G&28\\ \hline
                       | 	& | 	&31 (F)	& | 	& | 	& | 	& | 	&32 (F)	&C&31\\ \hline
                       | 	& | 	& | 	& | 	& | 	& | 	& | 	&32 (F)	&&32\\ \hline
\end{tabularx}                        \end{center}
                                                
La distance la plus courte vaut : 32
                        
La chaîne qui la réalise vaut : A-B-F-H.
                        
L'itinéraire le plus court reliant A à H fait donc 32 km et passe par les sommets suivants : A-B-F-H.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Métropole-Réunion septembre 2016}}
Un parc de loisirs décide d'ouvrir une nouvelle attraction pour les jeunes enfants : un parcours pédestre où chaque enfant doit recueillir, sur différents lieux, des indices pour résoudre une énigme. Le parcours est représenté par le graphe ci-dessous. Les sommets représentent des lieux où sont placés les indices ; les arêtes représentent des chemins pédestres qui les relient. 
\begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(14,9)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{linecolor=bleu,linewidth=1pt}
%\small
\rput(2,5){\cnode*{2pt}{A}{\uput[u](0,0){\sf{\bleu A}}}}
\rput(6,6){\cnode*{2pt}{B}{\uput[u](0,0){\sf{\bleu B}}}}
\rput(10,5){\cnode*{2pt}{C}{\uput[r](0,0){\sf{\bleu C}}}} 
\rput(5,3){\cnode*{2pt}{D}{\uput[d](0,0){\sf{\bleu D}}}} 
\rput(0,1){\cnode*{2pt}{E}{\uput[d](0,0){\sf{\bleu E}}}} 
\rput(11,8){\cnode*{2pt}{F}{\uput[u](0,0){\sf{\bleu F}}}} 
\rput(14,4){\cnode*{2pt}{G}{\uput[r](0,0){\sf{\bleu G}}}}  
\rput(12,0){\cnode*{2pt}{H}{\uput[d](0,0){\sf{\bleu H}}}}
\ncline{A}{E}       \ncline{E}{D}        \ncline{D}{A}
\ncline{A}{B}       \ncline{B}{D}        \ncline{D}{C} 
\ncline{C}{B}       \ncline{B}{F}        \ncline{F}{C} 
\ncline{C}{H}       \ncline{H}{G}        \ncline{G}{F}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\subsubsection*{\textcolor{red}{Partie A}}

%\medskip 
  
\begin{enumerate}
\item Un enfant peut parcourir chaque chemin pédestre du circuit une fois et une seule si le graphe possède 0 ou 2 sommets de degré impair (théorème d'Euler).% Si oui, indiquer un circuit possible et sinon expliquer pourquoi.

On cherche les degrés des sommets:

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|*8{c|}}
\hline
Sommet & A & B & C & D & E & F & G & H \\
\hline
Degré  & 3 & 4 & 4 & 4 & 2 & 3 & 2 & 2\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Il y a deux sommets de degrés impairs, donc il existe un trajet empruntant chaque chemin pédestre une fois et une seule (un chemin eulérien du graphe) partant d'un de ces sommets et arrivant à l'autre; par exemple:

\hfill{}AE -- ED -- DA -- AB -- BD -- DC -- CB -- BF -- FC -- CH -- HG -- GF\hfill{} 

\item On note $M$ la matrice d'adjacence associée à ce graphe (les sommets sont pris dans l'ordre alphabétique).
 
On donne la matrice $M^4=
\begin{pmatrix}
20 	& 18 & 20 	& 21 	& 11 	& 13 	& 5 	& 5\\
18 	& 32 & 25 	& 25 	& 17 	& 16 	& 10 	& 10\\
20 	& 25 & 31 	& 19 	& 13 	& 13 	& 14 	& 5\\
21 	& 25 & 19 	& 31 	& 13 	& 21 	& 4 	& 12\\
11 	& 17 & 13 	& 13 	& 11 	& 6 	& 4 	& 3 \\
13 	& 16 & 13 	& 21 	& 6 	& 20 	& 3 	& 13\\
5 	& 10 & 14 	& 4 	& 4 	& 3 	& 9 	& 1\\
5 	& 10 & 5 	& 12 	& 3 	& 13 	& 1 	& 10
\end{pmatrix}$.
 
Le nombre de parcours allant de E (sommet \no{}5) à H (sommet \no{}8) en 4 chemins pédestres est le nombre de la matrice $M^4$ situé à la ligne 5 et la colonne 8: il y a donc trois chemins de longueur 4 reliant E à H:

\hfill{}
EA -- AD -- DC -- CH; 
ED -- DB -- BC -- CH;
EA -- AB -- BC -- CH\hfill{}

\end{enumerate}

\medskip

\subsubsection*{\textcolor{red}{Partie B}}

%\medskip 
 
Afin d'améliorer la qualité de ses services, une étude statistique a relevé la durée moyenne d'attente en minutes à la billetterie du parc en fonction de l'heure. Ce relevé a eu lieu chaque heure de 9 h à 16 h. On obtient le relevé suivant: 
%
%\begin{center}
%\psset{unit=.6cm,algebraic=true}
%\begin{pspicture}(-1,-1)(19,12)
%\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
%\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
%\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
%\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(0,0)(19,12)
%\psset{xunit=.6cm,yunit=.3cm}
%\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(19,24)
%\uput[dl](19,0){$x$} \uput[dl](0,24){$y$}
%\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
%\psdots[linewidth=1pt,linecolor=bleu](9,9)(10,14)(11,20)(12,22)(13,21)(14,20)(15,12)(16,2)
%\end{pspicture}
%\end{center}

Ainsi, à 10 h, il y avait 14 minutes d'attente à la billetterie.
 
On souhaite modéliser cette durée d'attente par une fonction qui à l'heure associe la durée d'attente en minutes. Ainsi, il sera possible d'avoir une estimation de la durée d'attente. 

On choisit de modéliser cette situation à l'aide de la fonction $f$ définie par 
$f(x)=ax^2 + bx + c$,
avec $a$, $b$, $c$ des réels et $a$ non nul telle que les trois points $(9~;~9)$, $(11~;~20)$ et $(16~;~2)$ appartiennent à la représentation graphique de $f$. 

\medskip
 
\begin{enumerate}

\item% Calculer les trois réels $a$, $b$ et  $c$.
On appelle $\mathscr C_f$ la représentation graphique de $f$.

\begin{tabular}{@{} l !{$\iff$} l !{$\iff$} l}
Le point de coordonnées $(9~;~9)$ appartient à $\mathscr C_f$ &
$f(9)=9$ & $81a+9b+c=9$\\
Le point de coordonnées $(11~;~20)$ appartient à $\mathscr C_f$ &
$f(11)=20$ & $121a+11b+c=20$\\
Le point de coordonnées $(16~;~2)$ appartient à $\mathscr C_f$ &
$f(16)=2$ & $256a+16b+c=2$
\end{tabular}

Il faut donc résoudre le système de 3 équations à 3 inconnues:
$\left\lbrace 
\begin{array}{r !{+} r !{+} r !{=} r}
81a  & 9b  & c & 9\\
121a & 11b & c & 20\\
256a & 16b & c & 2
\end{array}
\right. $

Le système est équivalent à l'équation matricielle:
$\begin{pmatrix}
81   &  9  &  1\\
121  & 11  &  1\\
256  & 16  &  1
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
a \\ b \\ c
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
9 \\ 20 \\ 2
\end{pmatrix}$

On trouve à la calculatrice que
$\begin{pmatrix}
81   &  9  &  1\\
121  & 11  &  1\\
256  & 16  &  1
\end{pmatrix}^{-1}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{14}   & -\dfrac{1}{10} & \dfrac{1}{35}\\[8pt]
-\dfrac{27}{14} & \dfrac{5}{2}   & -\dfrac{4}{7}\\[8pt]
\dfrac{88}{7}   & -\dfrac{72}{5} & \dfrac{99}{35}
\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}
81   &  9  &  1\\
121  & 11  &  1\\
256  & 16  &  1
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
a \\ b \\ c
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
9 \\ 20 \\ 2
\end{pmatrix}
\iff
\begin{pmatrix}
a \\ b \\ c
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
81   &  9  &  1\\
121  & 11  &  1\\
256  & 16  &  1
\end{pmatrix}^{-1}
\times
\begin{pmatrix}
9 \\ 20 \\ 2
\end{pmatrix}\\
\phantom{
\begin{pmatrix}
81   &  9  &  1\\
121  & 11  &  1\\
256  & 16  &  1
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
a \\ b \\ c
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
9 \\ 20 \\ 2
\end{pmatrix}
}
\iff
\begin{pmatrix}
a \\ b \\ c
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{14}   & -\dfrac{1}{10} & \dfrac{1}{35}\\[8pt]
-\dfrac{27}{14} & \dfrac{5}{2}   & -\dfrac{4}{7}\\[8pt]
\dfrac{88}{7}   & -\dfrac{72}{5} & \dfrac{99}{35}
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
9 \\ 20 \\ 2
\end{pmatrix}
\iff
\begin{pmatrix}
a \\ b \\ c
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-\dfrac{13}{10}\\[8pt]
\dfrac{63}{2}\\[8pt]
-\dfrac{846}{5}
\end{pmatrix}$

\smallskip

Donc $a=-\dfrac{13}{10}=-1,3$, $b=\dfrac{63}{2}=31,5$ et $c=-\dfrac{846}{5}=-169,2$ et on peut dire que

\hfill $f(x)= -1,3 x^2 +31,5 x - 169,2$.\hfill{}

\item En utilisant ce modèle, on détermine sur quelle(s) plage(s) horaire(s) l'attente peut être inférieure à dix minutes. 

\begin{center}
\psset{unit=.6cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(19,12)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(0,0)(19,12)
\psset{xunit=.6cm,yunit=.3cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(19,24)
\uput[dl](19,0){$x$} \uput[dl](0,24){$y$}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psdots[linewidth=1pt,linecolor=bleu](9,9)(10,14)(11,20)(12,22)(13,21)(14,20)(15,12)(16,2)
\def\f{x -1.3 x mul 31.5 add mul 169.2 sub}
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=bleu]{9}{16}{\f}
\psline[linecolor=red](0,10)(17,10)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](9.13,0)(9.13,10)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](15.1,0)(15.1,10)
\end{pspicture}
\end{center}

Il faut donc résoudre l'inéquation $f(x) < 10$:

$f(x)<10 \iff -1,3 x^2 +31,5 x - 169,2 < 10 
		 \iff -1,3 x^2 +31,5 x - 179,2 < 0$

$\Delta = 31,5^2 - 4 \times (-1,3) \times (-179,2) = 60,41 >0$

Les solutions de l'équation $f(x) = 10$ sont
$\dfrac{-31,5 - \sqrt{60,41}}{2\times (-1,3)} \approx 15,1$ et
$\dfrac{-31,5 + \sqrt{60,41}}{2\times (-1,3)} \approx 9,1$

$f(x)$ est du signe de $- 1,3$ donc négatif à l'extérieur des racines donc pour $x < 9,1$ et $x > 15,1$.

$9,1 = 9 + \dfrac{1}{10} = 9 + \dfrac{6}{60} = 9~\text{h }6~\text{min}$;
de même $15,1 = 15~\text{h }6~\text{min}$.

L'attente peut être inférieure à dix minutes entre 9 heures et 9 heures 6 minutes puis entre 15 heures~6~minutes et 16 heures. 

\end{enumerate} 


\subsection{\textcolor{blue}{Polynésie juin 2013}}
\textcolor{red}{ \textbf{Partie A}}

\begin{enumerate}
\item Graphe probabiliste représentant la situation :

\medskip

  \begin{center}
  
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-0.8)(4,1.1)
\Rnode{A}{A} \hskip 4cm \Rnode{B}{B}% définition des sommets
\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%différents paramètres
\ncarc{->}{A}{B} \Aput{0,15}%       premier vers second
\ncarc{->}{B}{A} \Aput{0,1}%        second vers premier
\nccircle[angleA=90]{->}{A}{4mm}   \Bput{0,85}%   premier sommet
\nccircle[angleA=-90]{->}{B}{.4cm} \Bput{0,9}%  second sommet
\end{pspicture}

% \includegraphics{BacES-Polynesie-2013-cor-graphe}
%\begin{asy}
%size(200);
%real marge=1mm;
%pair z1=(-3,0);
%pair z2=(3,0);
%
%object etat_1=draw("$A$",ellipse,z1,marge,filltype=NoFill,black);
%object etat_2=draw("$B$",ellipse,z2,marge,filltype=NoFill,black);
%
%add(new void(picture pic, transform t) {
%   draw(pic,Label("$0,85$"),point(etat_1,NW,t){NW} ..{NE}point(etat_1,SW,t),Arrow);
%   draw(pic,Label("$0,15$"),point(etat_1,SE,t){SE} ..{NE}point(etat_2,SW,t),Arrow);
%   draw(pic,Label("$0,1$"),point(etat_2,NW,t){NW} ..{SW}point(etat_1,NE,t),Arrow);
%   draw(pic,Label("$0,9$"),point(etat_2,SE,t){SE} ..{SW}point(etat_2,NE,t),Arrow);
%});
%\end{asy}
  \end{center}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Matrice de transition : $M =
\begin{pmatrix}
0,85 & 0,15 \\ 0,1 & 0,9
\end{pmatrix}$
		\item En 2013, $n=3$ et $P_3 = P_0 \times M^3 =
\begin{pmatrix}
0,61 & 0,39
\end{pmatrix}$.
		\item On sait que $P=P\times M$ d'où $
\begin{cases}
a=0,1b+0,85a \\ b=0,9b+0,15a
\end{cases}$. Ces deux égalités amènent à l'équation $0,15a- 0,1b = 0$. On sait de plus que $a+b=1$ donc on a le système
$\begin{cases}
a+b=1 \\ 0,15a-0,1b=0
\end{cases}$ d'où :

$\begin{cases}
a=1-b \\ 0,15-0,15b-0,1b=0
\end{cases} \iff
\begin{cases}
a=1-b \\ b=\frac{0,15}{0,25} = 0,6
\end{cases} \iff
\begin{cases}
a=0,4 \\ b=0,6
\end{cases}$

Ainsi, le système se stabilise autour de l'état stable $P=
\begin{pmatrix}
0,4 & 0,6
\end{pmatrix}$ ce qui signifie qu'à \emph{long terme}, le fournisseur d'accès B possédera 60~\% du marché.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie B}}

\begin{enumerate}
\item Cela revient à résoudre le système 
$\begin{cases}
s+c=550 \quad \text{(nombre total d'objets)} \\
0,8s+1,2c=540 \quad \text{(coût total)}
\end{cases}$.

\item Soit $R =
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\ 0,8 & 1,2
\end{pmatrix}$ la matrice des coefficients, $X =
\begin{pmatrix}
s \\ c
\end{pmatrix}$ la matrice colonne représentant les deux inconnues et $T =
\begin{pmatrix}
550 \\ 540
\end{pmatrix}$ la matrice colonne représentant le second membre.

On a alors $R \times X = T \iff \begin{cases}
s+c=550 \quad \text{nombre total d'objets} \\
0,8s+1,2c=540 \quad \text{coût total}
\end{cases}$.
\item $X = R^{-1}\times T =
\begin{pmatrix}
300 \\ 250
\end{pmatrix}$.

L'entreprise B a distribuée 300 stylos et 250 porte-clés.
\end{enumerate}





\label{fin}
\end{document}  