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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices sur les graphes probabilistes (état stable) : feuille \no 1}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Liban, juin 2003}}
Un thé\^atre propose deux types d'abonnements pour une année : un abonnement A donnant droit à six spectacles ou un abonnement B donnant droit à trois spectacles.\\
On considère un groupe de 2\:500 personnes qui s'abonnent tous les ans.
$n$ étant un entier naturel, on note :

$a_n$ la probabilité qu'une personne ait choisi un abonnement A l'année
$n$ ;

$b_n$ la probabilité qu'une personne ait choisi un abonnement B l'année
$n$ ;

$P_n$ la matrice $\begin{pmatrix}a_n &  b_n\end{pmatrix}$ traduisant l'état probabiliste à l'année $n$.

  Tous les ans 85\% des personnes qui ont choisi l'abonnement A et 55\% des personnes qui ont choisi l'abonnement B conservent ce type d'abonnement l'année suivante. Les autres personnes changent d'abonnement.

\begin{enumerate} \item On suppose que, l'année zéro, \nombre{1500} personnes ont choisi l'abonnement A et \nombre{1000} l'abonnement B.\\
 Déterminer l'état initial $P_0 =\begin{pmatrix}a_0 &  b_0\end{pmatrix}$.

\item \begin{enumerate} \item Tracer un graphe probabiliste traduisant les données de l'énoncé.

\item Déterminer la matrice de transition M de ce graphe.

\item En déduire le nombre d'abonnés pour chaque type d'abonnement
l'année un.

\end{enumerate}

\item Soit $P = \begin{pmatrix}x &  y\end{pmatrix}$ l'état stable, où $x$ et $y$ sont deux nombres réels
 positifs tels que $x +y = 1$.

  Justifier que $x$ et $y$ vérifient l'équation $x = 0,85 x + 0,45 y$.

  Déterminer $x$ et $y$.

  En déduire la limite de la suite $(a_n)$ quand $n$ tend vers plus l'infini.

  Interpréter le résultat précédent en terme de nombre d'abonnements
de type A.

\end{enumerate}



\subsubsection{\textcolor{blue}{Amérique du sud, novembre 2004}}

Au cours de la première semaine de l'année scolaire, un professeur propose aux élèves de
sa classe le choix entre deux sorties pédagogiques une sortie A et une sortie B.

  $20\%$ des élèves de la classe sont favorables à la sortie A et tous les autres
élèves sont favorables à la sortie B.

  Les arguments des uns et des autres font évoluer cette répartition en cours
d'année.

  Ainsi $30\%$ des élèves favorables à la sortie A et $20\%$ des élèves
favorables à la sortie B changent d'avis la semaine suivante.

  On note :

$a_n$ la probabilité qu'un élève soit favorable à la sortie A la semaine
$n$ ;

$b_n$ la probabilité qu'un élève soit favorable à la sortie B la semaine $n$ ;

$P_n$ la matrice $\begin{pmatrix}a_n &  b_n\end{pmatrix}$ traduisant l'état probabiliste la
semaine $n$.

\begin{enumerate}\item Déterminer l'état initial $P_1$.

\item Représenter la situation par un graphe probabiliste.

\item En déduire que $P_{n+1} = P_n \times \text{M}$ où M est la matrice $\begin{pmatrix} 0,7 & 0,3\\0,2 & 0,8 \end{pmatrix}$

\item Déterminer l'état probabiliste $P_3$ et en déduire la probabilité qu'un élève
soit favorable à la sortie A la troisième semaine.

\item Déterminer le réel $x$ tel que $\begin{pmatrix}x &  1-x\end{pmatrix}\times \text{M} =\begin{pmatrix}x &  1-x\end{pmatrix}$.

On admet que la suite $\left(a_n\right)$ est croissante. La sortie A finira-t-elle par
être préférée à la sortie B ?

\end{enumerate}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Antilles-Guyane, juin 2004}}

On s'intéresse aux performances réalisées par des étudiants courant
le 200 mètres dans les compétitions universitaires. Lors d'une
compétition, le \textbf{score} d'un(e) étudiant(e) est son meilleur
temps en secondes obtenu aux 200 m. Une enquête a permis d'établir le
comportement général suivant, qu'on supposera valable pour les filles
et les garçons dans toute la suite :

\begin{itemize}
	\item Lors de la première compétition, le score d'un(e) étudiant(e) est toujours
supérieur ou égal à 25 secondes.

	\item Si, lors de la $n$-ième compétition, l'étudiant(e) a réalisé un score
strictement inférieur à 25 secondes, la probabilité qu'il (elle)
réalise encore un score strictement inférieur à 25 secondes lors de
la $(n + 1)$-ième compétition est de $\frac{2}{5}$.

	\item Si, lors de la $n$-ième compétition, l'étudiant(e) a réalisé un score
supérieur ou égal  à 25 secondes, la probabilité qu'il (elle)
réalise encore un score strictement inférieur à 25 secondes  est
$\frac{1}{5}$.
\end{itemize}

  On représente les données précédentes par un graphe probabiliste G à
deux états.\\
On note A tout score strictement inférieur à 25 secondes et B tout
score supérieur ou égal à 25 secondes.\\
On note $a_{n}$ la probabilité d'obtenir un score A lors de la
compétition $n$ et $b_{n}$ la probabilité d'obtenir un score B lors
de la compétition $n$.\\
 L'état probabiliste lors de la compétition $n$ est donc représenté par
la matrice ligne $\begin{pmatrix}a_n &  b_n\end{pmatrix}$.

\begin{enumerate}\item Représenter G et donner sa matrice.

\item Jamalia, jeune étudiante, se présente à sa première compétition
universitaire.

\begin{enumerate}\item Calculer la probabilité qu'elle réalise un score strictement
inférieur à 25 secondes aux 200 mètres lors de cette compétition.

\item Calculer la probabilité qu'elle réalise un score strictement
inférieur à 25 secondes aux 200 mètres lors de sa troisième compétition.

\end{enumerate}

\item Déterminer l'état stable du graphe G.

\item Julien a déjà de nombreuses compétitions universitaires dans les
jambes.

  Montrer que, pour sa prochaine compétition, il a environ une chance
sur quatre de réaliser un score strictement inférieur à 25 secondes
aux 200 mètres.

\end{enumerate}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Polynésie, juin 2004}}

\emph{étude de l'évolution météorologique d'un jour à l'autre dans une
 localité.\\
Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions rationnelles.}

  \textbf{Partie A}

\begin{itemize}
	\item S'il fait sec aujourd'hui, alors il fera encore sec demain avec
 la probabilité $\frac{5}{6}$, donc il fera humide
demain avec la probabilité $\frac{1}{6}$.

	\item S'il fait humide aujourd'hui, alors il fera encore humide demain
 avec la probabilité $\frac{2}{3}$.
\end{itemize}

  Nous sommes dimanche et il fait sec. On s'intéresse à l'évolution
météorologique des jours suivants.

\begin{enumerate}\item Construire un arbre de probabilité représentant la situation de
dimanche à mercredi.

\item En déduire la probabilité des événements suivants :

J : \og il fera sec lundi, mardi et mercredi \fg{} ;

K : \og il fera sec mardi \fg{} ;

L : \og il fera humide mercredi \fg.

\end{enumerate}



  \textbf{Partie B}

\begin{enumerate}\item Soit $n$ un entier naturel, on note :

$s_n$ la probabilité pour que le jour $n$, il fasse sec ;

$h_n$ la probabilité pour que le jour $n$, il fasse humide ;

$P_n$ la matrice $(s_n \quad h_n)$ traduisant l'état probabiliste du temps
 le jour $n$. Déterminer une relation entre $s_n$ et $h_n$.

\item \begin{enumerate}\item Si le premier dimanche est le jour correspondant à $n = 0$, donner  la matrice associée à l'état initial du temps.

\item Décrire l'évolution de cet état à l'aide d'un graphe probabiliste.

\end{enumerate}

\item La matrice M de ce graphe est	$\begin{pmatrix}
\frac{5}{6}&\frac{1}{6}\\
\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\
\end{pmatrix}$

\begin{enumerate}\item Déterminer M$^2$ (utiliser la calculatrice).

\item Expliquer comment retrouver à l'aide de la matrice M, la situation
du mardi étudiée dans la partie A.

\end{enumerate}

\item \begin{enumerate}\item Déterminer l'état stable associé à l'évolution météorologique.

\item En déduire, qu'à long terme, la probabilité qu'il pleuve un certain
jour est $\frac{1}{3}$.

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsubsection{\textcolor{blue}{France métropolitaine - 2011}}

Chaque année, une association de cyclotourisme prépare de nouveaux circuits. Pour satisfaire ses nombreux membres, elle élabore des circuits de différents niveaux : \og niveau facile \fg, \og niveau moyen \fg{} et \og niveau difficile \fg.

Au premier janvier 2010, l'association a fait son bilan :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 20\% de ses adhérents ont choisi le niveau facile, noté A
\item[$\bullet~~$] 70\% de ses adhérents ont choisi le niveau moyen, noté B
\item[$\bullet~~$] 10\% de ses adhérents ont choisi le niveau difficile, noté C
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Pour répondre aux attentes des adhérents et les fidéliser sur le long terme, une enquête est effectuée.

Il s'avère que, d'une année à l'autre :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] parmi les adhérents ayant choisi le niveau A, 40\% restent à ce niveau et 60\% passent au niveau B,
\item[$\bullet~~$] parmi les adhérents ayant choisi le niveau B, 70\% restent à ce niveau et 20\% reviennent au niveau A et les autres passent passent au niveau C,
\item[$\bullet~~$] parmi les adhérents ayant choisi le niveau C, 85\% restent à ce niveau et les autres reviennent au niveau B.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

On note :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] A l'état \og l'adhérent a choisi le niveau A \fg,
\item[$\bullet~~$] B l'état \og l'adhérent a choisi le niveau B \fg,
\item[$\bullet~~$] C l'état \og l'adhérent a choisi le niveau C \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

Pour $n$ entier naturel positif ou nul, on note $P_{n} = \begin{pmatrix}a_n &  b_n & c_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne donnant l'état probabiliste de la répartition dans les différents niveaux (indiqués dans l'ordre donné dans l'énoncé), au premier janvier de l'année $2010 + n$. Ainsi $P_{0} = (0,2\quad 0,7 \quad 0,1)$.

\medskip

On se décide se baser uniquement sur ces résultats pour prévoir l'évolution de la répartition à partir du premier janvier 2010 (on néglige donc les nouveaux abonnés et les départs).



\begin{enumerate}
\item Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets A, B et C.
\item Reproduire et compléter la matrice de transition $M$ de ce graphe probabiliste, en respectant l'ordre alphabétique des sommets.

\[M = \begin{pmatrix}
\cdots&\cdots&0\\
0,2&\cdots&\cdots\\
\cdots&0,15&\cdots\\
\end{pmatrix}\]
\item Une seule des trois matrices $Q,R, T$ ci-dessous correspond à l'état probabiliste stable.

\[Q = \begin{pmatrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\
\end{pmatrix}\quad R =   \begin{pmatrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\end{pmatrix}  \quad T = \begin{pmatrix}\frac{1}{5}&\frac{4}{5}&0\\\end{pmatrix}\]

Le président de l'association affirme que 50\% des adhérents choisiront après un certain nombre d'années le niveau B. Cette affirmation est-elle correcte ?
\end{enumerate} 
  



%
%%\subsubsection{}
%%
%%Dans une île, les mouvements de population peuvent être modélisés ainsi : chaque année, 40\% des habitants de la capitale quittent celle-ci tandis que 20\% des habitants du reste de l'île viennent y habiter. On néglige les autres échanges.
%%
%%On pourra éventuellement représenter ces mouvements de population par un arbre pondéré ou par un graphe probabiliste $G$.
%%
%%\emph{On donnera les résultats en pourcentage, sous forme décimale arrondie à 0,01 près.}
%%\begin{enumerate}
%%	\item On suppose dans cette question qu'en 2002, 25\% de la population totale de l'île habite dans la capitale.
%%		\begin{enumerate}
%%			\item Quelle est la répartition prévisible de la population totale de l'île entre la capitale et le reste de l'île en 2003 ?
%%			\item Traduire le calcul effectué par la relation matricielle $E_1 = E_0\times M$, où :
%%\begin{itemize}
%%	\item $E_0$ est un vecteur-ligne de dimension 2 représentant la répartition de la population entre la capitale et le reste de l'île en 2002 ;
%%	\item $E_1$ est un vecteur-ligne de dimension 2 représentant la répartition prévisible de la population entre la capitale et le reste de l'île en 2003 ;
%%	\item $M$ est une matrice carrée de dimension 2 représentant les mouvements de population dans l'île d'une année sur l'autre.
%%\end{itemize}
%%		\item Quel est le lien entre la matrice $M$ et le graphe $G$ ?
%%		\item à l'aide d'un calcul matriciel, déterminer la répartition prévisible de la population totale de l'île en 2005.
%%		\end{enumerate}
%%
%%		\item On suppose dans cette question qu'en 2002, 75 \% de la population totale de l'île habite dans la capitale. à l'aide d'un calcul matriciel et en utilisant la fonction matrice de la calculatrice :
%%		\begin{enumerate}
%%			\item Déterminer la répartition prévisible de la population totale de l'île en 2005.
%%			\item Déterminer la répartition prévisible de la population totale de l'île en 2010.
%%		\end{enumerate}
%%		\item Reprendre la question précédente en supposant qu'en 2002, 10 \% de la population totale de l'île habite dans la capitale.
%%
%%		Que remarque-t-on ?
%%		\item On considère les matrices :
%%\vspace{-1em}\begin{multicols}{2}\begin{itemize}
%%	\item $N=\begin{pmatrix}\frac{1}{3} &\frac{2}{3} \\\frac{1}{3} &\frac{2}{3} \end{pmatrix}$
%%\columnbreak
%%
%%	 \item $R=\begin{pmatrix}\frac{2}{3} & -\frac{2}{3} \\ -\frac{1}{3} &\frac{1}{3} \end{pmatrix}$.
%%\end{itemize}\end{multicols}\vspace{-1em}
%%\begin{enumerate}
%%	\item Démontrer que $M = N + 0,4 R$.
%%	\item Calculer $N^2$, $R^2$, $NR$ et $RN$.
%%	\item En déduire que, pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, $M^n = N + 0,4^n R$.
%%	\item En déduire la valeur exacte de chaque coefficient de la matrice $M^n$.
%%	\item Déterminer la limite de chaque coefficient de la matrice $M^n$ quand $n$ tend vers l'infini.
%%\end{enumerate}
%%\item Dans cette question, on appelle $x$ la valeur décimale du pourcentage de la population totale de l'île qui habite dans la capitale en 2002 ($x$ est un réel de l'intervalle $]0 ; 1[$).
%%
%%Soit $n$ un entier naturel, la répartition prévisible de la population de l'île en l'année $2002 + n$ est un vecteur-ligne $E_n$.
%%\begin{enumerate}
%%	\item Déterminer $E_0$.
%%	\item Exprimer $E_n$ en fonction de $M$ et $E_0$.
%%	\item Calculer le vecteur-ligne $E = E_0\times N$.
%%
%%Vérifier que $E$ est indépendant de $x$.
%%\item Déterminer la limite de chaque coefficient du vecteur-ligne $E_n$ quand $n$ tend vers l'infini.
%%
%%Comparer cette limite au coefficient correspondant du vecteur-ligne $E$.
%%\item Démontrer que $EM = E$.
%%\end{enumerate}
%%\end{enumerate}
%
%
%
%%\subsubsection{}
%%
%%Trois sortes d'images sont réparties en proportions égales dans des boîtes de céréales. \\
%%Un inspecteur des fraudes, ayant observé ce qui se passait pour 1000 personnes achetant chaque semaine une boîte de céréales et voyant qu'au bout de 13 semaines, 15 personnes n'avaient que deux des trois sortes d'image, a déclaré mensongère la publicité : \og Les images sont également réparties dans les boîtes \fg. Que penser de ce qu'il affirme ?\\
%%On donnera les résultats numériques arrondis à 1 près.\\
%%
%%Considérons donc 1000 personnes qui, chaque semaine, achètent exactement une boîte de céréales.\\
%%
%%\medskip
%%
%%  \textbf{Partie A : étude du début du processus.}\\
%%	On pourra s'aider d'un arbre pour représenter la situation
%%			\begin{enumerate}
%%				\item Déterminer le nombre prévisible de personnes ayant exactement une sorte d'image la première semaine, la deuxième semaine, la cinquième semaine.
%%				\item Déterminer le nombre prévisible de personnes ayant exactement deux sortes d'image la première semaine, la deuxième semaine, la troisième semaine.
%%				\item Déterminer le nombre prévisible de personnes ayant exactement trois sortes d'image la troisième semaine.
%%			\end{enumerate}
%%
%%\medskip
%%
%%  \textbf{Partie B : Modélisation de la situation.}
%%
%%		\begin{enumerate}
%%			\item Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 1. On appelle :
%%\begin{itemize}
%%	\item $a_n$ le nombre prévisible de personnes possédant exactement une sorte d'image la semaine $n$ ;
%%	\item $b_n$ le nombre prévisible de personnes possédant exactement deux sortes d'image la semaine $n$ ;
%%	\item $c_n$ le nombre prévisible de personnes possédant exactement trois sortes d'image la semaine $n$.
%%\end{itemize}
%%Préciser $a_1$ ; $b_1$ ; $c_1$ ; $a_2$ ; $b_2$ ; $c_2$.
%%
%%		\item On choisit une personne au hasard parmi les 1000.
%%
%%Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 1. On considère les événements :
%%\begin{itemize}
%%	\item $A_n$ : \og La personne considérée possède exactement une sorte d'image la semaine $n$ \fg ;
%%	\item $B_n$ : \og La personne considérée possède exactement deux sortes d'image la semaine $n$ \fg ;
%%	\item $C_n$ : \og La personne considérée possède exactement trois sortes d'image la semaine $n$ \fg.
%%\end{itemize}
%%\begin{enumerate}
%%	\item Exprimer $p(A_n)$ en fonction de $a_n$, $p(B_n)$ en fonction de $b_n$ et $p(C_n)$ en fonction de $c_n$.
%%	\item Représenter par un arbre pondéré l'évolution de la situation de la semaine $n$ à la semaine $n+1$.
%%	\item En utilisant la formule des probabilités totales, exprimer $p(A_{n+1})$, $p(B_{n+1})$ et $p(C_{n+1})$ en fonction $p(A_n)$, $p(B_n)$ et $p(C_n)$.
%%	\item En déduire que pour tout entier naturel $n\geq1$ :
%%
%%	$\begin{array}{lc}
%%a_{n+1} = \frac{2}{3} a_n	&	(1)\\
%%b_{n+1} = \frac{1}{3} a_n + \frac{2}{3} b_n	 & (2)\\
%%c_{n+1} = \frac{1}{3} b_n + c_n	&	 (3)
%%	\end{array}$
%%
%%\end{enumerate}
%%	\item L'état $E_n$ du système la $n$-ième semaine est le vecteur-ligne $E_n = \begin{pmatrix}a_n &  b_n & c_n\end{pmatrix}$
%%\begin{enumerate}
%%	\item Traduire le système formé par les trois équations (1), (2) et (3) par une seule équation matricielle de la forme $E_{n+1} = E_n\times M$.
%%	\item Représenter le graphe $G$, orienté et pondéré, associé à la matrice $M$.
%%	\item Exprimer $E_{n+1}$ en fonction de $E_1$, $M$ et $n$.
%%	\item En utilisant la calculatrice pour faire les calculs, déterminer $E_{13}$ et $E_{22}$.
%%
%%Commenter l'accusation de l'inspecteur des fraudes.
%%\end{enumerate}
%%		\end{enumerate}

\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  