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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\textcolor{red}{Matrices}}
\date{}
\begin{document}


\maketitle
\tableofcontents

\subsection{\textcolor{blue}{Matrices et opérations }}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition (rappel)}}
Une matrice $M$ est un tableau de nombres réels à $n$ lignes et $p$ colonnes. On dit qu'elle est de dimension $(n~,~p)$.\\
On peut aussi noter la matrice $\left(a_{ij}\right)$ où $a_{ij}$ désigne le coefficient situé à la i-ème ligne et la j-ième colonne.
\end{bclogo}

On a : $M=\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1j}&\cdots&a_{1p}\\
\vdots&&\vdots&&\vdots\\
a_{i1}&\cdots&a_{ij}&\cdots&a_{ip}\\
\vdots&&\vdots&&\vdots\\
a_{n1}&\cdots&a_{ni}&\cdots&a_{np}
\end{pmatrix}$

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Vocabulaire}} 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Lorsque $n = p$. on dit que $M$ est une matrice carrée d'ordre $n$.

\item Lorsque $p = l$ , on dit que $M$ est une matrice  colonne.

\item Lorsque $n=l$, on dit que $M$ est une matrice ligne. 

\end{enumerate}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Dire que deux matrices sont égales signifie que : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item elles ont la même dimension ;

\item les nombres qui occupent la même position sont deux à deux égaux. 
\end{enumerate}
\end{bclogo}
 
\textbf{\textcolor{blue}{Addition, soustraction de deux matrices }}

$A$ et $B$ sont deux matrices de \textbf{même} dimension. La somme (respectivement la différence) des matrices $A$ et $B$, notée $A + B$ (respectivement ($A - B$), est la matrice obtenue en additionnant (respectivement en soustrayant) deux à deux les coefficients qui occupent la \textbf{même} position.

\bigskip
\textbf{\textcolor{blue}{Multiplication d'une matrice par un nombre réel }}

Le produit d'une matrice $A$ par un nombre réel $k$ est la matrice, notée $kA$, obtenue en multipliant chaque coefficient de $A$ par $k$. 

\subsection{\textcolor{blue}{Multiplication}}

\begin{enumerate}
\item \textbf{\textcolor{red}{Multiplication d'une matrice par une matrice colonne }:}
Le produit d'une matrice de dimension $(n~,~p)$ par une matrice colonne à $p$ lignes est une matrice colonne à $n$ lignes.\\
On multiplie chaque nombre de la ligne $i$ par chaque nombre de la matrice colonne et on en fait la somme pour obtenir la line $i$ de la matrice colonne.

\bigskip

Exemple : $\begin{pmatrix}2&4&5\\3&1&6\\7&2&9\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}10&4&9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\times 10+4\times 4+5\times 20\\3\times 10+1\times 4+6\times 20\\7\times 10+2\times 4+9\times 20\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}136\\154\\258\end{pmatrix}$

\item \textbf{\textcolor{red}{Multiplication de deux matrices}}
Le produit de deux matrices de dimensions respectives $(n~;~p)$ et $(p~;~q)$ est une matrice de dimensions $(n~;~q)$.\\
Le terme $a_{ij}$ de la matrice $A\times B$ s'obtient en multipliant la ligne $i$ de $A$ par la colonne $j$ de $B$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} : 
$\begin{pmatrix}2&4\\-3&1\\1&2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}5&3\\10&-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\times 5+4\times 10&2\times 3+4\times (-5)\\-3\times 5+1\times 10&-3\times 3+1\times (-5)\\1\times 5+2\times 10&1\times 3+2\times (-5)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}50&-14\\-5&-14\\25&-7\end{pmatrix}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : on peut calculer le produit de deux matrices à la calculatrice !

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : pour deux matrices $A$ et $B$, le produit $A\times B$ peut exister, mais pas le produit $B\times A$ et même si les deux produits existent, $A\times B$ et $B\times A$ ne sont pas toujours égaux.

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : Par analogie avec les nombres, si $A$ est une matrice, on note $A^2=A\times A$ et plus généralement, $A^n=\underbrace{A\times A\times \cdots\times A}_{n\text{ termes}}$

\subsection{\textcolor{blue}{Inverse d'une matrice} }
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $n$ un entier naturel avec $n\geqslant 2$.\\
On appelle matrice identité $I_n$ la matrice carrée d'ordre $n$ qui contient des 1 sur la diagonale et 0 ailleurs.
\end{bclogo}

\bigskip

Exemples : $I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ et $I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$

\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Pour toute matrice carrée $A$ d'ordre $n$, $A\times I_n=I_n\times A=A$.
\end{bclogo}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $n$.\\
Lorsqu'il existe une matrice carrée $A'$ d'ordre $n$ telle que $A'\times A=I_n$, on dit que $A'$ est la matrice inverse de $A$ et on écrit %A'=A^{-1}
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : si la matrice inverse $A^{-1}$ de $A$ esiste, celle-ci est unique et $A\times A^{-1}=A^{-1}\times A=I_n$.

\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $n$ telle que sa matrice inverse $A^{-1}$ existe.\\
Le système d'équations linéaires dont l'écriture matricielle est $A\times X=B$ a pour solution $B=A^{-1}\times B$.
\end{bclogo}
\label{fin}
\end{document}  