\documentclass[10pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint,systeme}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{red}{\Alph{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction des exercices sur les graphes probabilistes (état stable) : feuille \no 1}}\end{center}



\subsubsection{\textcolor{blue}{Liban, juin 2003}}
Un théâtre propose deux types d'abonnements pour une année : un abonnement A donnant droit à six spectacles ou un abonnement B donnant droit à trois spectacles.\\
On considère un groupe de 2\:500 personnes qui s'abonnent tous les ans.
$n$ étant un entier naturel, on note :

$a_n$ la probabilité qu'une personne ait choisi un abonnement A l'année
$n$ ;

$b_n$ la probabilité qu'une personne ait choisi un abonnement B l'année
$n$ ;

$P_n$ la matrice $\begin{pmatrix}a_n &  b_n\end{pmatrix}$ traduisant l'état probabiliste à l'année $n$.

  Tous les ans 85\% des personnes qui ont choisi l'abonnement A et 55\% des personnes qui ont choisi l'abonnement B conservent ce type d'abonnement l'année suivante. Les autres personnes changent d'abonnement.

\begin{enumerate} \item On suppose que, l'année zéro, \nombre{1500} personnes ont choisi l'abonnement A et \nombre{1000} l'abonnement B.\\
% Déterminer l'état initial $P_0 =\begin{pmatrix}a_0 &  b_0\end{pmatrix}$.
On a : $a_0=\dfrac{\numprint{1500}}{\numprint{2500}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{5}=0,6}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{b_0=1-a_0=\dfrac{2}{5}=0,4}}$.\\
L(état initial est $\boxed{\textcolor{red}{P_0=\begin{pmatrix}0,6&0,4\end{pmatrix}}}$.

\item 
\begin{enumerate} 
\item %Tracer un graphe probabiliste traduisant les données de l'énoncé.
Voilà un graphe probabiliste traduisant les données de l'énoncé :

\bigskip

\begin{center}
\begin{psmatrix}[mnode=circle]
A &  &  & B 
\end{psmatrix}
\psset{arrows=->,shortput=nab}
\nccircle[angleA=90]{1,1}{0.7cm}^{0,85}
\ncarc[arcangle=15]{1,1}{1,4}^{0,15}
\nccircle[angleA=-90]{1,4}{0.7cm}^{0,45}
\ncarc[arcangle=15]{1,4}{1,1}^{0,45}
\end{center}

\bigskip

\item %Déterminer la matrice de transition M de ce graphe.
La matrice de transition M de ce graphe est $\boxed{\textcolor{red}{M=\begin{pmatrix}0,85&0,15\\0,45&0,55\end{pmatrix}}}$ .

\item %En déduire le nombre d'abonnés pour chaque type d'abonnement l'année un.
On a $P_1=P_0M=\begin{pmatrix}0,6&0,4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,85&0,15\\0,45&0,55\end{pmatrix}=\boxed{\textcolor{red}{\begin{pmatrix}0,69&0,31\end{pmatrix}}}$.\\
À l'année un, il y a $\numprint{2500}*0,69=\numprint{1725}$ adhérents avec l'abonnent A et donc 775 pour l'abonnement B.

\end{enumerate}

\item Soit $P = \begin{pmatrix}x &  y\end{pmatrix}$ l'état stable, où $x$ et $y$ sont deux nombres réels
 positifs tels que $x +y = 1$.

%  Justifier que $x$ et $y$ vérifient l'équation $x = 0,85 x + 0,45 y$.
Si $P=\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}$ est état stable,  on a $P=PM$ donc :\\
$\systeme[][@]{x=0,85x+0,45y,@y=0,15x+0,55y}$.\\
Ces deux équations étant équivalentes, $x$ et $y$ vérifient bien la relation $\boxed{\textcolor{red}{x=0,85x+0,45y}}$.\\
%
%  Déterminer $x$ et $y$.\\
D'autre part, on a $x+y=1$.\\
$x$et $y$ sont donc solutions du système :\\
\systeme[][@]{x=0,85x+0,45y@x+y=1}\\

\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Résolvons ce système}} :

$\systeme[][@]{x=0,85x+0,45y@x+y=1}\Leftrightarrow \systeme[][@]{0,15x=0,45y@x+y=1}\Leftrightarrow \systeme[][@]{x=\dfrac{0,45}{0,15}y@x+y=1}\Leftrightarrow \systeme[][@]{x=3y@x+y=1}$\\
$\Leftrightarrow \systeme[][@]{x+3y@4y=1}\Leftrightarrow \systeme[][@]{y=0,25@x=3y=0,75}$

\bigskip

L'état stable est $P\boxed{\textcolor{red}{=\begin{pmatrix}0,75&0,25\end{pmatrix}}}$

\bigskip

%  En déduire la limite de la suite $(a_n)$ quand $n$ tend vers plus l'infini.
La matrice de transition n'a aucun élément nul.\\
La limite de l'état $P_n$  est donc l'état stable $P=\begin{pmatrix}0,75&0,25\end{pmatrix}$.

\bigskip
%  Interpréter le résultat précédent en terme de nombre d'abonnements
%de type A.
Le nombre d'abonnement de type A tend  donc vers $0,75\times 2500=\numprint{1875}$.
\end{enumerate}



\subsubsection{\textcolor{blue}{Amérique du sud, novembre 2004}}

Au cours de la première semaine de l'année scolaire, un professeur propose aux élèves de
sa classe le choix entre deux sorties pédagogiques une sortie A et une sortie B.

  $20\%$ des élèves de la classe sont favorables à la sortie A et tous les autres
élèves sont favorables à la sortie B.

  Les arguments des uns et des autres font évoluer cette répartition en cours
d'année.

  Ainsi $30\%$ des élèves favorables à la sortie A et $20\%$ des élèves
favorables à la sortie B changent d'avis la semaine suivante.

  On note :

$a_n$ la probabilité qu'un élève soit favorable à la sortie A la semaine
$n$ ;

$b_n$ la probabilité qu'un élève soit favorable à la sortie B la semaine $n$ ;

$P_n$ la matrice $\begin{pmatrix}a_n &  b_n\end{pmatrix}$ traduisant l'état probabiliste la
semaine $n$.

\begin{enumerate}
\item %Déterminer l'état initial $P_1$.
L'état initial $P_1$ est $P_1=\begin{pmatrix}0,2&0,8\end{pmatrix}$.

\item %Représenter la situation par un graphe probabiliste.
Représentons la situation par un graphe probabiliste :

\bigskip

\begin{center}
\begin{psmatrix}[mnode=circle]
A &  &  & B 
\end{psmatrix}
\psset{arrows=->,shortput=nab}
\nccircle[angleA=90]{1,1}{0.7cm}^{0,7}
\ncarc[arcangle=15]{1,1}{1,4}^{0,3}
\nccircle[angleA=-90]{1,4}{0.7cm}^{0,8}
\ncarc[arcangle=15]{1,4}{1,1}^{0,2}
\end{center}


\bigskip

\item %En déduire que $P_{n+1} = P_n \times \text{M}$ où M est la matrice $\begin{pmatrix} 0,7 & 0,3\\0,2 & 0,8 \end{pmatrix}$
La matrice de transition est donc $M=\begin{pmatrix} 0,7 & 0,3\\0,2 & 0,8 \end{pmatrix}$.\\
Alors, pour tout $n$, $P_{n+1} = P_n \times \text{M}$.

\item %Déterminer l'état probabiliste $P_3$ et en déduire la probabilité qu'un élève soit favorable à la sortie A la troisième semaine.
$P_3=P_1\times M^2$.\\
À la calculatrice, on trouve $P_3=\begin{pmatrix} 0.35 & 0.65\end{pmatrix}$.\\
La probabilité qu'un élève soit favorable à la sortie A la troisième semaine est 0,35.

\item %Déterminer le réel $x$ tel que $\begin{pmatrix}x &  1-x\end{pmatrix}\times \text{M} =\begin{pmatrix}x &  1-x\end{pmatrix}$.
Soit $x$tel que $\begin{pmatrix}x &  1-x\end{pmatrix}\times \text{M} =\begin{pmatrix}x &  1-x\end{pmatrix}$.\\
On en déduit : $\begin{pmatrix}x &  1-x\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 0,7 & 0,3\\0,2 & 0,8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x &  1-x\end{pmatrix}$, d'où $0,7x+0,,2(1-x)=x$.\\
$0,7x+0,,2(1-x)=x\Leftrightarrow 0,7x-0,2x-x=-0,2\Leftrightarrow -0,5x=-0,2\Leftrightarrow x=\dfrac{-0,2}{-0,5}=\dfrac{2}{5}0,4$.\\
La matrice cherchée correspond à l'état stable et vaut $P=\begin{pmatrix}0,4&0,6\end{pmatrix}$

%On admet que la suite $\left(a_n\right)$ est croissante. La sortie A finira-t-elle par être préférée à la sortie B ?
La matrice $P_n$ converge vers l'état stable $P$ ; la suite des probabilités $\left(a_n\right)$ de choisir la sortie A à la semaine $n$ est croissante et tend vers 0,4, donc est toujours inférieure à la probabilité de choisir la sortie B.\\
La sortie A n'est jamais préférée à la sortie B.
\end{enumerate}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Antilles-Guyane, juin 2004}}

On s'intéresse aux performances réalisées par des étudiants courant
le 200 mètres dans les compétitions universitaires. Lors d'une
compétition, le \textbf{score} d'un(e) étudiant(e) est son meilleur
temps en secondes obtenu aux 200 m. Une enquête a permis d'établir le
comportement général suivant, qu'on supposera valable pour les filles
et les garçons dans toute la suite :

\begin{itemize}
	\item Lors de la première compétition, le score d'un(e) étudiant(e) est toujours
supérieur ou égal à 25 secondes.

	\item Si, lors de la $n$-ième compétition, l'étudiant(e) a réalisé un score
strictement inférieur à 25 secondes, la probabilité qu'il (elle)
réalise encore un score strictement inférieur à 25 secondes lors de
la $(n + 1)$-ième compétition est de $\frac{2}{5}$.

	\item Si, lors de la $n$-ième compétition, l'étudiant(e) a réalisé un score
supérieur ou égal  à 25 secondes, la probabilité qu'il (elle)
réalise encore un score strictement inférieur à 25 secondes  est
$\frac{1}{5}$.
\end{itemize}

  On représente les données précédentes par un graphe probabiliste G à
deux états.\\
On note A tout score strictement inférieur à 25 secondes et B tout
score supérieur ou égal à 25 secondes.\\
On note $a_{n}$ la probabilité d'obtenir un score A lors de la
compétition $n$ et $b_{n}$ la probabilité d'obtenir un score B lors
de la compétition $n$.\\
 L'état probabiliste lors de la compétition $n$ est donc représenté par
la matrice ligne $\begin{pmatrix}a_n &  b_n\end{pmatrix}$.

\begin{enumerate}\item %Représenter G et donner sa matrice.\\
Graphe probabiliste :

\bigskip
\begin{center}
\begin{psmatrix}[mnode=circle]
A &  &  & B 
\end{psmatrix}
\psset{arrows=->,shortput=nab}
\nccircle[angleA=90]{1,1}{0.7cm}^{0,4}
\ncarc[arcangle=15]{1,1}{1,4}^{0,6}
\nccircle[angleA=-90]{1,4}{0.7cm}^{0,8}
\ncarc[arcangle=15]{1,4}{1,1}^{0,2}
\end{center}


\bigskip

La matrice de transition est $M=\begin{pmatrix}0,4&0,6\\0,2&0,8\end{pmatrix}$

\item Jamalia, jeune étudiante, se présente à sa première compétition
universitaire.

\begin{enumerate}\item %Calculer la probabilité qu'elle réalise un score strictement inférieur à 25 secondes aux 200 mètres lors de cette compétition.
D'après l'énoncé, une étudiante qui se présente à la première compétition réalise toujours un temps supérieur à 25 secondes. La matrice rempruntant l'état initial est donc $P_1=\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}$.

\item %Calculer la probabilité qu'elle réalise un score strictement inférieur à 25 secondes aux 200 mètres lors de sa troisième compétition.
L'état probabiliste correspondant à la troisième compétition est $P_3$.\\
Or $P_3=P_1\times M^2=\begin{pmatrix}0,24&0,76\end{pmatrix}$.\\
La probabilité qu'elle réalise un score strictement inférieur à 25 secondes aux 200 mètres lors de sa troisième compétition est 0,24.

\end{enumerate}

\item %Déterminer l'état stable du graphe G.
Déterminons l'état stable du graphe G.\\
Notons $P=\begin{pmatrix}x&1,x\end{pmatrix}$ l'état sable.\\
On doit donc avoir $P=PM$, c'est-à-dire $\begin{pmatrix}x&1-x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x&1-x\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}0,4&0,6\\0,2&0,8\end{pmatrix}$.\\
On en déduit $x=0,4x+0,2(1-x)\Leftrightarrow 0,8x=0,2\Leftrightarrow x=\dfrac{0,2}{0.8}=\dfrac{1}{4}=0,25$.\\
L'état stable est $P=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{4}&\dfrac{3}{4}\end{pmatrix}$.

\item Julien a déjà de nombreuses compétitions universitaires dans les jambes.

  %Montrer que, pour sa prochaine compétition, il a environ une chance sur quatre de réaliser un score strictement inférieur à 25 secondes aux 200 mètres..\\
On vient de trouver l'état stable du graphe G, on en déduit que la probabilité an que Julien réalise un score strictement inférieur à 25 secondes est : $\lim_{n\rightarrow +\infty}a_n=\dfrac{1}{4}$, donc si n est assez grand, la probabilité an que Julien réalise un score strictement inférieur à 25 secondes est voisine de $\dfrac{1}{4}$. 
\end{enumerate}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Polynésie, juin 2004}}

\emph{étude de l'évolution météorologique d'un jour à l'autre dans une
 localité.\\
Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions rationnelles.}

  \textbf{Partie A}

\begin{itemize}
	\item S'il fait sec aujourd'hui, alors il fera encore sec demain avec
 la probabilité $\frac{5}{6}$, donc il fera humide
demain avec la probabilité $\frac{1}{6}$.

	\item S'il fait humide aujourd'hui, alors il fera encore humide demain
 avec la probabilité $\frac{2}{3}$.
\end{itemize}

Notons $S_n$ l'événement \og{}il fera sec le n\ieme{ jour}\fg{} et l'événement \og{}il fera humide le n\ieme{ jour est donc $\overline{S_n}$}\fg{}.

\bigskip

  Nous sommes dimanche et il fait sec. On s'intéresse à l'évolution
météorologique des jours suivants.

\begin{enumerate}
\item Construisons un arbre de probabilité représentant la situation de dimanche à mercredi.

\bigskip

\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$S_1$}\taput{ $\frac56$}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$S_2$}\taput{ $\frac56$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S_3$}\taput{ $\frac56$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S_3}$}\tbput{ $\dfrac16$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{S_2}$}\tbput{ $\frac16$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S_3$}\taput{ $\frac13$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S_3}$}\tbput{ $\frac23$}
}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{S_1}$}\tbput{ $\frac16$}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$S_2$}\taput{ $\frac13$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S_3$}\taput{ $\frac56$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S_3}$}\tbput{ $\frac16$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{S_2}$}\tbput{ $\frac23$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S_3$}\taput{ $\frac13$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S_3}$}\tbput{ $\frac23$}
}
}
}

\end{center}

\item %En déduire la probabilité des événements suivants :

Soit $J$ : \og il fera sec lundi, mardi et mercredi \fg{} ; $p(J)=\left(\dfrac{5}{6}\right)^3$

$K$ : \og il fera sec mardi \fg{} ; $K$ st la réunion de $S_1 \cap S_1$ et de $S_2 \cap \overline{S_1}$ donc \\
$p\left(S_2\right)=\left(\dfrac{5}{6}\right)^2+\dfrac{1}{6}\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{25}{36}6+\dfrac{1}{18}=\dfrac{27}{36}=\dfrac{3}{4}$

$L$ : \og il fera humide mercredi \fg. \\
$p\left(\overline{S_3}\right)=\left(\dfrac{5}{6}\right)^2\times \dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{6}\times \dfrac{1}{6}\times \dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{6}\times \dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{7}{24}=\dfrac{37}{72}$

\end{enumerate}



  \textbf{Partie B}

\begin{enumerate}\item Soit $n$ un entier naturel, on note :

$s_n$ la probabilité pour que le jour $n$, il fasse sec ;

$h_n$ la probabilité pour que le jour $n$, il fasse humide ;

$P_n$ la matrice $(s_n \quad h_n)$ traduisant l'état probabiliste du temps
 le jour $n$. %Déterminer une relation entre $s_n$ et $h_n$.
 On a $h_n+1-s_n$.

\item \begin{enumerate}\item Si le premier dimanche est le jour correspondant à $n = 0$,  la matrice associée à l'état initial du temps est $P_0=\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}$ puisque d'après l'énoncé, nous sommes dimanche et il fait sec.

\item %Décrire l'évolution de cet état à l'aide d'un graphe probabiliste.
Graphe probabiliste :
\begin{center}

\end{center}\begin{center}
\begin{psmatrix}[mnode=circle]
A &  &  & B 
\end{psmatrix}
\psset{arrows=->,shortput=nab}
\nccircle[angleA=90]{1,1}{0.7cm}^{$\dfrac{5}{6}$}
\ncarc[arcangle=15]{1,1}{1,4}^{$\dfrac{1}{6}$}
\nccircle[angleA=-90]{1,4}{0.7cm}^{$\dfrac{2}{3}$}
\ncarc[arcangle=15]{1,4}{1,1}^{$\dfrac{1}{3}$}
\end{center}


\end{enumerate}

\bigskip

\item La matrice M de ce graphe est	$\begin{pmatrix}
\frac{5}{6}&\frac{1}{6}\\
\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\
\end{pmatrix}$

\begin{enumerate}
\item %Déterminer M$^2$ (utiliser la calculatrice).
À la calculatrice, on trouve M$^2=\begin{pmatrix}\dfrac{3}{4}&\dfrac{1}{4}\\\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}$

\item %Expliquer comment retrouver à l'aide de la matrice M, la situation du mardi étudiée dans la partie A.
La situation mardi est donnée par la matrice $P_2$. Or $P_2=P_0\times M^2=\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}\dfrac{3}{4}&\dfrac{1}{4}\\\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{3}{4}&\dfrac{1}{4}\end{pmatrix}$.\\
On trouve $s_2=\dfrac{3}{4}$.

\end{enumerate}

\item \begin{enumerate}
\item %Déterminer l'état stable associé à l'évolution météorologique.
Cherchons l'état stable associé à l'évolution météorologique. Il est donné par la matrice $P=\begin{pmatrix}x&1-x\end{pmatrix}$.\\
On doit avoir $P=PM$ donc $\begin{pmatrix}x&1-x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x&1-x\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}\dfrac{3}{4}&\dfrac{1}{4}\\\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}\end{pmatrix} $.\\
On doit avoir $\begin{cases}\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{2}x=x\\\\\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}(1-x)=1-x\end{cases}$.\\
Ces deux équations sont équivalentes.\\
$\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{2}(1-x)=x\Leftrightarrow \dfrac{3}{4}x-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{4}x=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow -\dfrac{3}{4}x=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{\frac12}{\frac34}=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{4}{3}=\dfrac{2}{3}$.\\
L'état stable est donc $P=\begin{pmatrix}\dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$.

\item %En déduire, qu'à long terme, la probabilité qu'il pleuve un certain jour est $\frac{1}{3}$.
On en déduit que $\lim_{n\rightarrow +\infty}h_n=\dfrac{1}{3}$ (deuxième terme de l'état stable) donc  la probabilité qu'il pleuve un certain jour est $\frac{1}{3}$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsubsection{\textcolor{blue}{France métropolitaine - 2011}}

Chaque année, une association de cyclotourisme prépare de nouveaux circuits. Pour satisfaire ses nombreux membres, elle élabore des circuits de différents niveaux : \og niveau facile \fg, \og niveau moyen \fg{} et \og niveau difficile \fg.

Au premier janvier 2010, l'association a fait son bilan :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 20\% de ses adhérents ont choisi le niveau facile, noté A
\item[$\bullet~~$] 70\% de ses adhérents ont choisi le niveau moyen, noté B
\item[$\bullet~~$] 10\% de ses adhérents ont choisi le niveau difficile, noté C
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Pour répondre aux attentes des adhérents et les fidéliser sur le long terme, une enquête est effectuée.

Il s'avère que, d'une année à l'autre :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] parmi les adhérents ayant choisi le niveau A, 40\% restent à ce niveau et 60\% passent au niveau B,
\item[$\bullet~~$] parmi les adhérents ayant choisi le niveau B, 70\% restent à ce niveau et 20\% reviennent au niveau A et les autres passent passent au niveau C,
\item[$\bullet~~$] parmi les adhérents ayant choisi le niveau C, 85\% restent à ce niveau et les autres reviennent au niveau B.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

On note :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] A l'état \og l'adhérent a choisi le niveau A \fg,
\item[$\bullet~~$] B l'état \og l'adhérent a choisi le niveau B \fg,
\item[$\bullet~~$] C l'état \og l'adhérent a choisi le niveau C \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

Pour $n$ entier naturel positif ou nul, on note $P_{n} = \begin{pmatrix}a_n &  b_n & c_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne donnant l'état probabiliste de la répartition dans les différents niveaux (indiqués dans l'ordre donné dans l'énoncé), au premier janvier de l'année $2010 + n$. Ainsi $P_{0} = (0,2\quad 0,7 \quad 0,1)$.

\medskip

On se décide se baser uniquement sur ces résultats pour prévoir l'évolution de la répartition à partir du premier janvier 2010 (on néglige donc les nouveaux abonnés et les départs).



\begin{enumerate}
\item On a le graphe probabiliste suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 4}
\begin{pspicture}(10,2)
%\psgrid
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{radius=.3cm,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu}
\cnodeput(0.5,1){A}{\small{\textsf{\bleu{A}}}}\cnodeput(4.5,1){B}{\small{\textsf{\bleu{B}}}}
\cnodeput(8.5,1){C}{\small{\textsf{\bleu{C}}}}
\rput{90}{\nccircle{->}{A}{0.5}}\nccircle{->}{B}{0.35}\rput{-90}{\nccircle{->}{C}{0.5}}
\ncarc[arcangle=40]{->}{A}{B} 
\ncarc[arcangle=40]{->}{B}{A}
\ncarc[arcangle=40]{->}{B}{C} 
\ncarc[arcangle=40]{->}{C}{B}
\rput(-0.8,1){0,4}\rput(2.5,2){0,6}
\rput(6.5,2){0,1} \rput(2.5,0){0,2}
\rput(6.5,0){0,15}
\rput(9.9,1){0,85} \rput(4.5,2){0,7}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\item En respectant l'ordre alphabétique des sommets, on a $M = \begin{pmatrix}0,4&0,6&0\\0,2&0,7&0,1\\0&0,15&0,85\end{pmatrix}$.
\item Il suffit de  vérifier que la matrice $R$ correspond à l'état stable :

$\begin{pmatrix}\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{3}\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,4&0,6&0\\0,2&0,7&0,1\\0&0,15&0,85\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$. Le président a raison.

On pourrait également calculer la matrice $P = \begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}$, avec $a + b + c  = 1$ qui correspond à l'état stable et qui doit vérifier l'équation : $P = P \times M$.

On est ramené à résoudre un système de trois équations à trois inconnues qui donne bien $a = \dfrac{1}{6}, b = \dfrac{1}{2}$ et $c = \dfrac{1}{6}$.
\end{enumerate}
  


\label{fin}
\end{document}  