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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Graphes probabilistes : correction de l'exemple introductif}}\end{center}

\subsection*{\textcolor{blue}{Une évolution de population}}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

Deux villes $X$ et $Y$ totalisent à elles deux une population d'un million d'habitants. \\
La ville $X$ est plus agréable, mais la ville $Y$ offre de meilleurs salaires. \\
20\,\% des habitants de $Y$ partent chaque année habiter $X$ pour avoir un meilleur cadre de vie, et 5\,\% des habitants de $X$ partent chaque année habiter $Y$ pour augmenter leur niveau de vie.\\
À l'année 0, un quart des habitants sont en $X$.\\

%On se pose les questions suivantes :
%
%\begin{itemize}
%	\item Que se serait-il passé au bout de 1, 2, 5, 10, 30, 40 ans si 99\,\% des habitants avaient été initialement en $X$ (ou en $Y$) ?
%	\item Que se serait-il passé au bout de 1, 2, 5, 10, 30, 40 ans si la population avait été également répartie entre les deux villes en l'année zéro ?
%	\item Comment sera répartie la population, entre les villes $X$ et $Y$ au bout de 1, 2, 5, 10, 30, 40 ans ?
%
%\end{itemize}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Une solution}}

\begin{enumerate}
 \item L'énoncé nous dit que 95\,\% des gens qui sont en $X$ y restent, 5\,\% partent en $Y$, et que 80\,\% des gens qui sont en $Y$ y restent, 20\,\% partant en $X$.\\
On appelle $X_n$ la population de la ville $X$ à l'année $n$ et $Y_n$ celle de $Y$.\\
On en déduit : 
\[\left\{\begin{array}{rcl} X_{n+1}&=&0,95X_n+0,2Y_n \\ Y_{n+1}&=&0,05X_n+0,8Y_n\end{array}\right.\]

\item On peut représenter la situation par le graphe suivant, où l'on a marqué, sur chaque arête joignant le sommet $X$ au sommet $Y$, la proportion de population qui passe à chaque étape de $X$ à $Y$. Remarquons que, puisque la population ne peut disparaître ou apparaître, la somme des coefficients sur toutes les arêtes quittant un sommet doit être 1 :

\medskip
\begin{center}
\begin{psmatrix}[mnode=circle]
$X$ & $Y$
\end{psmatrix}
\psset{arrows=->,shortput=nab}
\nccircle[angleA=90]{1,1}{0.5cm}\nbput{0,95}
\ncarc[arcangle=15]{1,1}{1,2}^{0,2}
\ncarc[arcangle=15]{1,2}{1,1}^{0,8}
\nccircle[angleA=-90]{1,2}{0.5cm}\nbput{0,8}
\end{center}

\bigskip

On note, pour tout entier naturel $n$, $P_n=\begin{pmatrix} X_n & Y_n\end{pmatrix}$ le vecteur ligne qui décrit la population de $X$ et de $Y$ au bout de $n$ années.\\
On note $M$ la matrice telle que le système d'équations d'évolution trouvée précédemment peut se réécrire : \[P_{n+1} = P_n\times M\]
On a $M=\begin{pmatrix}0,95&0,05\\0,2&0,8\end{pmatrix}$ (matrice de transition).


\begin{enumerate}
	\item On en déduit $P_1=1P_0\times M$, $P_2=P_1\times M=P_0\times M^2$.
	En généralisant :  $P_n=P_0\times M^n$.
	
	\item 
	
Alors :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $P_1\approx \left(\begin{array}{cc}
\numprint{942500} & \numprint{57500}
    \end{array}\right) $

\item $P_2\approx \left(\begin{array}{cc}
\numprint{906875} & \numprint{93125}
\end{array}\right) $

\item $P_5\approx \left(\begin{array}{cc}
\numprint{845087,890625} & \numprint{154912,109375}
\end{array}\right) $

\item $P_{10}\approx \left(\begin{array}{cc}
\numprint{810699,567795} & \numprint{189300,432205}
\end{array}\right) $

\item $P_{30}\approx \left(\begin{array}{cc}
\numprint{800033,930597} & \numprint{199966,069403}
\end{array}\right) $

\item $P_{40}\approx \left(\begin{array}{cc}
\numprint{800001,910751} & \numprint{199998,089249}
\end{array}\right)$

\item $P_{50}\approx \left(\begin{array}{cc}
7928001,11678 & 1981998,88321
\end{array}\right) $
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item \textbf{\textcolor{blue}{Deuxième cas}} : $P_0=\begin{pmatrix}\numprint{500000}&\numprint{500000}\end{pmatrix}$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $P_1\approx \left(\begin{array}{cc}
4850000 & 650000
\end{array}\right) $

\item $P_2\approx \left(\begin{array}{cc}
4737500 & 762500
\end{array}\right) $

\item $P_5\approx \left(\begin{array}{cc}
906875 & 93125
\end{array}\right) $

\item $P_{10}\approx \left(\begin{array}{cc}
\numprint{4542382,8125} & \numprint{957617,1875}
\end{array}\right) $

\item $P_{40}\approx \left(\begin{array}{cc}
\numprint{4433788,10883} & \numprint{1066211,89117}
\end{array}\right) $

\item $P_{50}\approx \left(\begin{array}{cc}
\numprint{4400000,33979} & \numprint{1099999,66021}
\end{array}\right) $
\end{enumerate}

\item

\begin{enumerate} 

\item %Que constate-t-on, quand $n$ devient grand, quelle que soit la répartition de population à l'année 0 ?
On constate que la matrice $P_n$ semble converger vers la matrice $\begin{pmatrix}\numprint{800000}&\numprint{200000}\end{pmatrix}$

	\item On suppose que $P_0=\begin{pmatrix}800\,000 & 200\,000\end{pmatrix}$.\\
	%Calculer $P_1$, $P_2$, $P_3$, etc.\\
	On constate que, pour tout $n$, $P_n=P_0$.\\
	
%Comment peut-on alors qualifier cette répartition, cet état ?
On dit qu'on a une répartition stable (état syable).

        \item On a vu que, quelle que soit la population de départ, le système converge vers cet état. Il peut donc être intéressant d'être en mesure de le déterminer dès le départ.\\
        On admet qu'une telle répartition existe et on appelle $x$ la population de $X$ et $y$ celle de $Y$ pour lesquelles la population de chaque ville est la même chaque année.
\begin{enumerate}
\item %Que devient le système d'équations d'évolution si  $\begin{pmatrix} X_n & Y_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}$ ?.\\
Si $\begin{pmatrix} X_n & Y_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}$, on a \\
$\begin{pmatrix} X_{n+1} & Y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} X_n & Y_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}$.

	\item %En déduire que $x$ et $y$ sont solutions de :
%			$\left\{ \begin{array}{rcl}
%			0,05x&=&0,2y \\
%			x+y&=&\numprint{1000000}
%			\end{array}\right.$
$\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}0,95&0,05\\0,2&0,8\end{pmatrix}\\
\Leftrightarrow \systeme[][:]{x=0,95x+0,2y:y=0,05x+0,8y:x+y=\numprint{1000000}}\\
\Leftrightarrow \systeme[][:]{0,05x=0,2y:0,2y=0,05x:x+y=\numprint{1000000}}\Leftrightarrow \systeme[][:]{x=4y:x+y=\numprint{1000000}}\\
\Leftrightarrow \systeme[][:]{x=\numprint{800000}:y=\numprint{200000}}$
	\item %Déterminer alors $x$ et $y$.
	L'état stable est $\begin{pmatrix}\numprint{800000}&\numprint{200000}\end{pmatrix}$.\\
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  