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\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Spécialité TES : correction du devoir sur feuille \no 1}}\end{center}




\subsection{}%http://nm.maths-lfb.fr/spetes/spetes-15-16/DS03.tex
%Correction : http://nm.maths-lfb.fr/spetes/spetes-15-16/DS03-Correction.pdf

\textbf{\textcolor{blue}{Partie A : étude d'un graphe}}

\medskip
 
On considère le graphe $\mathcal{G}$ ci-dessous. 

\begin{center} 
\begin{pspicture}(9,6)
\cnodeput(4,4){A}{A}
\cnodeput(3.5,2){B}{B}
\cnodeput(6,0.5){C}{C}
\cnodeput(2,5){D}{D}
\cnodeput(1.5,2.5){E}{E}
\cnodeput(0.5,2){F}{F}
\cnodeput(8.5,2){G}{G}
\cnodeput(6,5){H}{H}
\cnodeput(6.75,2.5){I}{I}
\ncline{A}{B}
\ncline{A}{C}
\ncline{A}{D}
\ncline{A}{H}
\ncline{D}{B}
\ncline{E}{B}
\ncline{F}{B}
\ncline{C}{B}
\ncline{C}{H}
\ncline{C}{G}
\ncline{D}{E}
\ncline{D}{F}
\ncline{G}{I}
\ncline{G}{H}
\ncline{I}{H}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer en justifiant si le graphe $\mathcal{G}$ est complet.		
Le graphe $\mathcal{G}$ n'est pas complet car il y a des sommets non adjacents, comme D et C ou C et I .		
		\item %Déterminer en justifiant si le graphe $\mathcal{G}$ est connexe.
Le graphe $\mathcal{G}$ est connexe est chaque coupe de sommets est relié par une chaîne.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner le degré de chacun des sommets du graphe $\mathcal{G}$. 
		\begin{tabular}{|*{10}{l|}}
Sommet&A&B&C&S&E&F&G&H&I\\
\hline
Degré&4&5&4&4&2&2&3&4&2\\
\hline
		\end{tabular}

		\item %Déterminer en justifiant si le graphe $\mathcal{G}$ admet un cycle eulérien ou une chaîne eulérienne. La citer le cas échéant.
		Le graphe est connexe et il existe deux sommets et deux seulement, qui ont un degré impair ; ce sont B et G. Il existe donc une chaîne eulérienne entre B et G.\\
		La somme des degrés est 30 ; le nombre d'arêtes de la chaîne doit être la moitié de 30, donc 15.\\
		Cette chaîne est par exemple : B-F-D-E-B-D-A-B-C-A-H-C-G-H-I-G
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner la matrice $M$ associée au graphe $\mathcal{G}$ (les sommets seront rangés dans l'ordre alphabétique).
		La matrice d'adjacence du graphe est :
\begin{center}
$M=\begin{pmatrix}
0&1&1&1&0&0&0&1&0\\
1&0&1&1&1&1&0&0&0\\
1&1&0&0&0&0&1&1&0\\
1&1&0&0&1&1&0&0&0\\
0&1&0&1&0&0&0&0&0\\
0&1&0&1&0&0&0&0&0\\
0&0&1&0&0&0&0&1&1\\
1&0&1&0&0&0&1&0&1\\
0&0&0&0&0&0&1&1&0
\end{pmatrix}$

\end{center}


		\item On donne : $M^2 = \begin{pmatrix}  
4& 2& 2& 1& 2& 2& 2& 1& 1\\ 
2& 5& 1& 3& 1& 1& 1& 2& 0\\ 
2& 1& 4& 2& 1& 1& 1& 2& 2\\ 
1& 3& 2& 4& 1& 1& 0& 1& 0\\ 
2& 1& 1& 1& 2& 2& 0& 0& 0\\ 
2& 1& 1& 1& 2& 2& 0& 0& 0\\ 
2& 1& 1& 0& 0& 0& 3& 2& 1\\ 
1& 2& 2& 1& 0& 0& 2& 4& 1\\ 
1& 0& 2& 0& 0& 0& 1& 1& 2\\
\end{pmatrix}.$ 
	\end{enumerate}
%Montrer, par un calcul à  la main, que le coefficient de la septième ligne et quatrième colonne de la matrice $M^3$ est égal à  $3$. 
$M^3=M\times M^2=\begin{pmatrix}
0&1&1&1&0&0&0&1&0\\
1&0&1&1&1&1&0&0&0\\
1&1&0&0&0&0&1&1&0\\
1&1&0&0&1&1&0&0&0\\
0&1&0&1&0&0&0&0&0\\
0&1&0&1&0&0&0&0&0\\
0&0&1&0&0&0&0&1&1\\
1&0&1&0&0&0&1&0&1\\
0&0&0&0&0&0&1&1&0
\end{pmatrix}\times 
 \begin{pmatrix}  
4& 2& 2& 1& 2& 2& 2& 1& 1\\ 
2& 5& 1& 3& 1& 1& 1& 2& 0\\ 
2& 1& 4& 2& 1& 1& 1& 2& 2\\ 
1& 3& 2& 4& 1& 1& 0& 1& 0\\ 
2& 1& 1& 1& 2& 2& 0& 0& 0\\ 
2& 1& 1& 1& 2& 2& 0& 0& 0\\ 
2& 1& 1& 0& 0& 0& 3& 2& 1\\ 
1& 2& 2& 1& 0& 0& 2& 4& 1\\ 
1& 0& 2& 0& 0& 0& 1& 1& 2\\
\end{pmatrix}$
\end{enumerate}
Le coefficient de la septième ligne et quatrième colonne de $M^3$ s'obtient en multipliant la ligne  par la colonne 4 :\\
on obtient : $a_{7~;~4}=0\times 1+0\times 3+1\times 2+0\times 4+0\times 1+0\times 2+0\times 0 +1\times 0+1\times 1+1\times 0=\boxed{\textcolor{red}{3}}$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Partie B : Applications}}
 
\medskip
%\emph{Dans cette partie, on pourra justifier les réponses en s'aidant de la partie A}

\medskip
 
On donne ci-dessous le plan simplifié d'un lycée 

\psset{unit=0.8cm}

\begin{center}
\begin{pspicture}(12,6.6)
\psframe(12,6.6)
\psline(5.7,0)(5.7,1.5)(6.1,1.5)
\psline(7.2,1.5)(7.5,1.5)(7.5,5.4)
\psline(6.4,5.4)(8.1,5.4)
\psline(8.4,5.4)(9.5,5.4)
\psline(9.5,0)(9.5,1.8)
\psline(9.5,3.3)(9.5,5.8)
\psline(9.5,6.1)(9.5,6.6)
\psline(4.5,5.4)(5.6,5.4)
\psline(5,5.4)(5,5.8)
\psline(5,6.1)(5,6.6)
\psline(3.2,5.4)(4.3,5.4)
\psline(3.9,5.4)(3.9,4.3)
\psline(3.9,2.7)(3.9,0)
\psline(2.8,1.8)(3.2,1.8)
\psline(3.5,1.8)(3.9,1.8)
\psline(2.8,2.3)(2.8,1.5)(1.1,1.5)(1.1,4)(1.5,4)
\psline(1.8,4)(2.8,4)(2.8,2.9)
\psline(2.1,4)(2.1,4.3)
\psline(2.1,4.7)(2.1,5.9)
\psline(2.1,6.1)(2.1,6.6)
\psline(2.1,5.4)(2.85,5.4)
\psline(0,2.7)(0.4,2.7)
\psline(0.7,2.7)(1.1,2.7)
\rput(3.5,5.9){\scriptsize ADMINISTRATION}
\rput(7.3,6.1){\scriptsize VIE SCOLAIRE}
\rput(7.3,5.8){\scriptsize ET INFIRMERIE}
\rput(1,5.1){\scriptsize SALLE DES}
\rput(1,4.8){\scriptsize PROFESSEURS}
\rput(1.8,0.8){\scriptsize CANTINE}
\rput(2,2.6){\scriptsize C. D. I.}
\rput(3.3,3.7){\scriptsize HALL 1}
\rput(5.5,3.4){\scriptsize HALL 2}
\rput(8.5,2.3){\scriptsize BÂTIMENT 1}
\rput(10.8,3.2){\scriptsize BÂTIMENT 2}
\end{pspicture}
\end{center} 


\begin{enumerate}
\item Le graphe $\mathcal{G}$ donné en partie A modélise cette situation. 

Compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Sommet du graphe $\mathcal{G}$&A&B&C&D&E&F&G&H&I\\ \hline 
\begin{minipage}{3cm}
Lieu correspondant dans le lycée
\end{minipage}&Adm&Hall 1&Hall 2&S.d.P&CDI&cantine&Bât 1&VS&Bât 2\\ \hline
\end{tabularx}


\end{center} 

\item %Un élève a cours de mathématiques dans le bâtiment 1. À la fin du cours, il doit rejoindre la salle des professeurs pour un rendez~vous avec ses parents.
% Déterminer le nombre de chemins en trois étapes permettant à	  l'élève de rejoindre ses parents puis indiquer quels sont ces chemins. 
Le nombre de chemins en trois étapes entre la salle des professeurs et le bâtiment 1 est le nombre de chemins de longueur 3 entre les sommets G et B : c'est le coefficient $a_{7;4}$ de la matrice $M^3$. Ce nombre est 3.\\
Les chemins possibles sont : \\
Bâtiment 1-Vie scolaire-Administration-Salle des professeurs\\
Bâtiment 1-Haùù 2-Administration-Salle des professeurs\\
Bâtiment 1-Hall 2-Hall 1-Salle des professeurs

\item% Le lycée organise une journée portes-ouvertes.  Déterminer, en justifiant, s'il est possible de visiter le lycée en empruntant une seule fois chaque passage entre les différents lieux. 
D'après la partie A, il est possible de visiter le lycée en empruntant une seule fois chaque passage entre les différents lieux en allant de B (hall 1) vers G (bâtmient 1)
		
\end{enumerate}

\subsection{}
%http://nm.maths-lfb.fr/spetes/spetes-15-16/DS01.pdf
%Correction : http://nm.maths-lfb.fr/spetes/spetes-15-16/DS01-Correction.pdf
L'entreprise Ultra-Eau fournit ses clients en recharges pour les fontaines à  eau 
et dispose des résultats antérieurs suivants :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Nombre de recharges en milliers& 1 &3 &5\\ \hline 
Coût total annuel de production en centaines d'euros& 11 &27,4 &83\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
Le coût total de production est modélisé par une fonction $C$ définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~10] par :
$C(x) = ax^3 + bx^2 + cx + 10\qquad  	a, b\: \text{et}\: c\: \text{sont des nombres réels}$.
	 
Lorsque le nombre $x$ désigne le nombre de milliers de recharges produites, $C(x)$ est le coût total de production en centaines d'euros.
 


\begin{enumerate}
\item %Montrer que le triplet $(a, b, c)$ est solution du système $(S)$. 
On doit avoir $C(1)=11$ donc $a+b+c+1=11$ d'où $a+b+c=10$.\\
De même $C(3)=27,4$ donne $27a+9b+c+10=27,4$ d'où $27a+9b+c=17,4$ \\
$C(5)=83$ donne $125a+25b+5c+10=83$ d'où $125a+25b+5c=73$.\\
On en déduit que a, b et c sont solutions du système 

\[(S)\quad \left\{\begin{array}{l c l} 
a+b+c&=&1\\ 
27a + 9b + 3c &=& 17,4\\ 
125a + 25b + 5c &=& 73
\end{array}\right. \]
%\begin{center}
%$\begin{cases}a+b+c=1\\
%27a + 9b + 3c = 17,4\\
%125a + 25b + 5c =73
%\end{cases}$
%\end{center}

\item On pose $ X = \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$
	\begin{enumerate}
		\item %Écrire ce système sous la forme $MX = Y$ où $M$ et $Y$ sont des matrices que l'on précisera. 
		On appelle $M$ la matrice $M=\begin{pmatrix}1&1&1\\27&9&3\\125&25&5\end{pmatrix}$ et $Y=\begin{pmatrix}1\\17,4\\73&\\\end{pmatrix}$.\\

		Le système s'écrit alors $MX=Y$.
		
		\item On admet que la matrice $M$ est inversible. %Déterminer, à  l'aide de la calculatrice, le triplet $(a, b, c)$ solution du système $(S)$.
		En multipliant à gauche par $M^{-1}$, on obtient $M^{-1}MX=M^{-1}Y$ donc $IX=M^{-1}Y$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{X=M^{-1}Y}}$.\\
		A la calculatrice, on trouve $X=\begin{pmatrix}0,5\\0,4\\0,1\end{pmatrix}$.

Le coût de production se calcule avec la fonction $\boxed{\textcolor{red}{C(x)=0,5x^3+0,4x^2+0,1x+10}}$
	\end{enumerate} 
	
\item %En utilisant cette modélisation, quel serait le coût total annuel de production pour \np{8000} recharges d'eau produites ? 
\numprint{8000} recharges correspondant à $x=8$.\\
Alors $C(8)=\numprint{29240}$.\\
Le coût total pour \numprint{8000} recharges est \numprint{29240} \euro.
\end{enumerate}

\subsection{}
Sarah, une jeune étudiante en géologie, souhaite partir en voyage en Islande avec des amis. Elle a loué une voiture tout terrain pour pouvoir visiter les lieux remarquables qu’elle a sélectionnés.\\
Sarah a construit le graphe ci-dessous dont les sommets représentent les lieux à visiter et les arêtes représentent les routes ou pistes :

%

\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{center}
\psset{unit=0.7}
\begin{pspicture}(-5,-1)(6,6)
\cnodeput(-4,0){A}{B}
\cnodeput(0,-0.5){B}{V}
\cnodeput(5,0){C}{J}
\cnodeput(-2,2){D}{R}
\cnodeput(0,3){E}{G}
\cnodeput(3,2.5){F}{L}
\cnodeput(-2.5,5){G}{H}
\cnodeput(2.8,5){H}{M}
\cnodeput(4.5,5){I}{D}
\ncline{A}{B}
\ncline{B}{C}
\ncline{A}{D}
\ncline{D}{E}
\ncline{B}{E}
\ncline{B}{H}
\ncline{B}{F}
\ncline{C}{F}
\ncline{C}{H}
\ncline{D}{G}
\ncline{E}{F}
\ncline{G}{H}
\ncline{H}{I}
\ncline{F}{H}
\end{pspicture}
\end{center}
\columnbreak
B : Le lagon bleu \\
D : chute d'eau de Dettifoss\\
G : Geyser de Geysir\\
H : Rocher Hvitserkur\\
J : Lagune glacière de Jökuls\'arl\'on\\
L : Massif du Landmannlaugar\\
M : Lac de M\'yvan\\
R : Capitale Reykjavic\\
V : Ville de Vic
\end{multicols}

%Dans cette question, chaque réponse sera justifiée. 
%\begin{enumerate}
%\item 
%\begin{enumerate}
%\item Déterminer l’ordre du graphe.

%\item Déterminer si le graphe est connexe. 

%\item Déterminer si le graphe est complet.
%\end{enumerate}

%\item Sarah désire emprunter toutes les routes une et une seule fois. Déterminer, en justifiant, si cela est possible.

%\item On appelle $M$ la matrice associée au graphe précédent sachant que les sommets sont placés dans l’ordre alphabé-
%tique. On donne ci-dessous une partie de la matrice M ainsi que la matrice $M^4$ :

%$M=\begin{pmatrix}
%0&0&0&0&0&0&0&1&1\\
%0&0&0&0&0&0&1&0&0\\
%0&0&0&0&0&1&0&1&1\\
%0&0&0&0&0&0&1&1&0\\
%1&0&0&0&0&0&1&1&0\\
%0&0&1&0&1&0&1&0&1\\
%\cdots&\cdots&\cdots&1&1&1&0&0&1\\
%\cdots&\cdots&\cdots&1&	0&0&0&0&0\\
%\cdots&\cdots&\cdots&0&1&1&1&0&0\end{pmatrix}$ et 
%$M^4=\begin{pmatrix}12&3&16&8&14&13&15&2&10\\
%3&5&5&6&9&11&6&3&12\\
%16&5&24&11&23&21&26&5&20\\
%8&6&11&10&13&14&9&3&14\\
%14&9&23&13&28&29&29&8&30\\
%13&11&21&14&29&38&32&15&40\\
%15&6&26&9&29&32&43&14&14\\
%2&3&5&3&8&15&14&15&21\\
%10&12&20&14&30&40&34&21&49\end{pmatrix}$.

%\item 
%\begin{enumerate}
%\item Il manque certains coefficients de la matrice $M$. Compléter et recopier uniquement la partie manquante de cette matrice.

%\item Donner, en le justifiant, le nombre de chemins de longueur 4 permettant d’aller de B à D et donner ces chemins. 
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\item 
\medskip
	\begin{enumerate}
		\item Le graphe possède 9 sommets, il est donc d'ordre 9.
		\item La chaîne D -- M -- H -- R -- B -- V -- G -- L -- J permet de passer par tous les sommets; le graphe est donc connexe.
		\item Les sommets H et G ne sont pas adjacents. Le graphe n'est pas complet.
	\end{enumerate}
\item Le graphe possède plus de deux sommets (cinq sommets) de degré impair donc il ne possède pas de chaîne eulérienne. Sarah ne pourra pas emprunter toutes les routes une et une seule fois.
\item 
	
\begin{enumerate}
\medskip
		\item 
On complète la matrice $M$ d'adjacence:		
\[M =
\begin{pmatrix}	
0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 \\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &1 &1 \\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &0 \\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &0\\
0 &0 &1 &0 &1 &0 &1 &0 &1\\ 
\color{red}{0}&\color{red}{1}&\color{red}{0}&1 &1 &1 &0 &0 &1\\ 
\color{red}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{1}&1 &0 &0 &0 &0 &0\\ 
\color{red}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{1}&0 &1 &1 &1 &0 &0 
\end{pmatrix}\]

	\item Le nombre de chemins de longueur 4 permettant d'aller de B à D est $M_{(1,2)}^4=3$. Il s'agit des chemins : 
B -- R -- H -- M -- D,
B -- V -- L -- M -- D et
B -- V -- J -- M -- D.	
	
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  