\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl,systeme}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Spécialité TES : devoir sur feuille \no 1}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}%http://nm.maths-lfb.fr/spetes/spetes-15-16/DS03.tex
%Correction : http://nm.maths-lfb.fr/spetes/spetes-15-16/DS03-Correction.pdf

\textbf{\textcolor{blue}{Partie A : étude d'un graphe}}

\medskip
 
On considère le graphe $\mathcal{G}$ ci-dessous. 

\begin{center} 
\begin{pspicture}(9,6)
\cnodeput(4,4){A}{A}
\cnodeput(3.5,2){B}{B}
\cnodeput(6,0.5){C}{C}
\cnodeput(2,5){D}{D}
\cnodeput(1.5,2.5){E}{E}
\cnodeput(0.5,2){F}{F}
\cnodeput(8.5,2){G}{G}
\cnodeput(6,5){H}{H}
\cnodeput(6.75,2.5){I}{I}
\ncline{A}{B}
\ncline{A}{C}
\ncline{A}{D}
\ncline{A}{H}
\ncline{D}{B}
\ncline{E}{B}
\ncline{F}{B}
\ncline{C}{B}
\ncline{C}{H}
\ncline{C}{G}
\ncline{D}{E}
\ncline{D}{F}
\ncline{G}{I}
\ncline{G}{H}
\ncline{I}{H}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer en justifiant si le graphe $\mathcal{G}$ est complet.		
		\item Déterminer en justifiant si le graphe $\mathcal{G}$ est connexe.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner le degré de chacun des sommets du graphe $\mathcal{G}$. 
		\item Déterminer en justifiant si le graphe $\mathcal{G}$ admet un cycle eulérien ou une chaîne eulérienne. La citer le cas échéant.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la matrice $M$ associée au graphe $\mathcal{G}$ (les sommets seront rangés dans l'ordre 
alphabétique).

		\item On donne : $M^2 = \begin{pmatrix}  
4& 2& 2& 1& 2& 2& 2& 1& 1\\ 
2& 5& 1& 3& 1& 1& 1& 2& 0\\ 
2& 1& 4& 2& 1& 1& 1& 2& 2\\ 
1& 3& 2& 4& 1& 1& 0& 1& 0\\ 
2& 1& 1& 1& 2& 2& 0& 0& 0\\ 
2& 1& 1& 1& 2& 2& 0& 0& 0\\ 
2& 1& 1& 0& 0& 0& 3& 2& 1\\ 
1& 2& 2& 1& 0& 0& 2& 4& 1\\ 
1& 0& 2& 0& 0& 0& 1& 1& 2\\
\end{pmatrix}.$ 
	\end{enumerate}
Montrer, par un calcul à  la main, que le coefficient de la septième ligne et quatrième colonne de la matrice $M^3$ est égal à  $3$. 
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{blue}{Partie B : Applications}}
 
\medskip
\emph{Dans cette partie, on pourra justifier les réponses en s'aidant de la partie A}

\medskip
 
On donne ci-dessous le plan simplifié d'un lycée 

\psset{unit=0.8cm}

\begin{center}
\begin{pspicture}(12,6.6)
\psframe(12,6.6)
\psline(5.7,0)(5.7,1.5)(6.1,1.5)
\psline(7.2,1.5)(7.5,1.5)(7.5,5.4)
\psline(6.4,5.4)(8.1,5.4)
\psline(8.4,5.4)(9.5,5.4)
\psline(9.5,0)(9.5,1.8)
\psline(9.5,3.3)(9.5,5.8)
\psline(9.5,6.1)(9.5,6.6)
\psline(4.5,5.4)(5.6,5.4)
\psline(5,5.4)(5,5.8)
\psline(5,6.1)(5,6.6)
\psline(3.2,5.4)(4.3,5.4)
\psline(3.9,5.4)(3.9,4.3)
\psline(3.9,2.7)(3.9,0)
\psline(2.8,1.8)(3.2,1.8)
\psline(3.5,1.8)(3.9,1.8)
\psline(2.8,2.3)(2.8,1.5)(1.1,1.5)(1.1,4)(1.5,4)
\psline(1.8,4)(2.8,4)(2.8,2.9)
\psline(2.1,4)(2.1,4.3)
\psline(2.1,4.7)(2.1,5.9)
\psline(2.1,6.1)(2.1,6.6)
\psline(2.1,5.4)(2.85,5.4)
\psline(0,2.7)(0.4,2.7)
\psline(0.7,2.7)(1.1,2.7)
\rput(3.5,5.9){\scriptsize ADMINISTRATION}
\rput(7.3,6.1){\scriptsize VIE SCOLAIRE}
\rput(7.3,5.8){\scriptsize ET INFIRMERIE}
\rput(1,5.1){\scriptsize SALLE DES}
\rput(1,4.8){\scriptsize PROFESSEURS}
\rput(1.8,0.8){\scriptsize CANTINE}
\rput(2,2.6){\scriptsize C. D. I.}
\rput(3.3,3.7){\scriptsize HALL 1}
\rput(5.5,3.4){\scriptsize HALL 2}
\rput(8.5,2.3){\scriptsize BÂTIMENT 1}
\rput(10.8,3.2){\scriptsize BÂTIMENT 2}
\end{pspicture}
\end{center} 


\begin{enumerate}
\item Le graphe $\mathcal{G}$ donné en partie A modélise cette situation. 

Compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Sommet du graphe $\mathcal{G}$&A&B&C&D&E&F&G&H&I\\ \hline 
\begin{minipage}{3cm}
Lieu correspondant dans le lycée
\end{minipage}&&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}


\end{center} 

\item Un élève a cours de mathématiques dans le bâtiment 1. À la fin du cours, il doit rejoindre la salle des professeurs pour un rendez~vous avec ses parents.
 
Déterminer le nombre de chemins en trois étapes permettant à	  l'élève de rejoindre ses parents puis indiquer quels sont ces chemins. 
\item Le lycée organise une journée portes-ouvertes.  Déterminer, en justifiant, s'il est possible de visiter le lycée en empruntant une seule fois chaque passage entre les différents lieux. 
		
\end{enumerate}
\end{multicols} 

\subsection{}
%http://nm.maths-lfb.fr/spetes/spetes-15-16/DS01.pdf
%Correction : http://nm.maths-lfb.fr/spetes/spetes-15-16/DS01-Correction.pdf
L'entreprise Ultra-Eau fournit ses clients en recharges pour les fontaines à  eau 
et dispose des résultats antérieurs suivants :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Nombre de recharges en milliers& 1 &3 &5\\ \hline 
Coût total annuel de production en centaines d'euros& 11 &27,4 &83\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
Le coût total de production est modélisé par une fonction $C$ définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~10] par :
$C(x) = ax^3 + bx^2 + cx + 10\qquad  	a, b\: \text{et}\: c\: \text{sont des nombres réels}$.
	 
Lorsque le nombre $x$ désigne le nombre de milliers de recharges produites, $C(x)$ est le coût total de production en centaines d'euros.
 


\begin{enumerate}
\item Montrer que le triplet $(a, b, c)$ est solution du système $(S)$. 

%\[(S)\quad \left\{\begin{array}{l c l} 
%a+b+c&=&1\\ 
%27a + 9b + 3c &=& 17,4\\ 
%125a + 25b + 5c &=& 73
%\end{array}\right. \]
\begin{center}
\systeme[][:]{a+b+c=1:
27a + 9b + 3c = 17,4:
125a + 25b + 5c =73}

\end{center}
\item On pose $ X = \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$
	\begin{enumerate}
		\item Écrire ce système sous la forme $MX = Y$ où $M$ et $Y$ sont des matrices que l'on précisera. 
		\item On admet que la matrice $M$ est inversible. Déterminer, à  l'aide de la calculatrice, le triplet $(a, b, c)$ solution du système $(S)$.
	\end{enumerate} 
\item En utilisant cette modélisation, quel serait le coût total annuel de production pour \np{8000} recharges d'eau produites ? 
\end{enumerate}

\subsection{}
Sarah, une jeune étudiante en géologie, souhaite partir en voyage en Islande avec des amis. Elle a loué une voiture tout terrain pour pouvoir visiter les lieux remarquables qu’elle a sélectionnés.\\
Sarah a construit le graphe ci-dessous dont les sommets représentent les lieux à visiter et les arêtes représentent les routes ou pistes :



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{center}
\psset{unit=0.7}
\begin{pspicture}(-5,-1)(6,6)
\cnodeput(-4,0){A}{B}
\cnodeput(0,-0.5){B}{V}
\cnodeput(5,0){C}{J}
\cnodeput(-2,2){D}{R}
\cnodeput(0,3){E}{G}
\cnodeput(3,2.5){F}{L}
\cnodeput(-2.5,5){G}{H}
\cnodeput(2.8,5){H}{M}
\cnodeput(4.5,5){I}{D}
\ncline{A}{B}
\ncline{B}{C}
\ncline{A}{D}
\ncline{D}{E}
\ncline{B}{E}
\ncline{B}{H}
\ncline{B}{F}
\ncline{C}{F}
\ncline{C}{H}
\ncline{D}{G}
\ncline{E}{F}
\ncline{G}{H}
\ncline{H}{I}
\end{pspicture}
\end{center}
\columnbreak
B : Le lagon bleu \\
D : chute d'eau de Dettifoss\\
G : Geyser de Geysir\\
H : Rocher Hvitserkur\\
J : Lagune glacière de Jökuls\'arl\'on\\
L : Massif du Landmannlaugar\\
M : Lac de M\'yvan\\
R : Capitale Reykjavic\\
V : Ville de Vic
\end{multicols}

Dans cette question, chaque réponse sera justifiée. 
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer l’ordre du graphe.

\item Déterminer si le graphe est connexe. 

\item Déterminer si le graphe est complet.
\end{enumerate}

\item Sarah désire emprunter toutes les routes une et une seule fois. Déterminer, en justifiant, si cela est possible.

\item On appelle $M$ la matrice associée au graphe précédent sachant que les sommets sont placés dans l’ordre alphabé-
tique. On donne ci-dessous une partie de la matrice M ainsi que la matrice $M^4$ :

$M=\begin{pmatrix}
0&0&0&0&0&0&0&1&1\\
0&0&0&0&0&0&1&0&0\\
0&0&0&0&0&1&0&1&1\\
0&0&0&0&0&0&1&1&0\\
1&0&0&0&0&0&1&1&0\\
0&0&1&0&1&0&1&0&1\\
\cdots&\cdots&\cdots&1&1&1&0&0&1\\
\cdots&\cdots&\cdots&1&	0&0&0&0&0\\
\cdots&\cdots&\cdots&0&1&1&1&0&0\end{pmatrix}$ et 
$M^4=\begin{pmatrix}12&3&16&8&14&13&15&2&10\\
3&5&5&6&9&11&6&3&12\\
16&5&24&11&23&21&26&5&20\\
8&6&11&10&13&14&9&3&14\\
14&9&23&13&28&29&29&8&30\\
13&11&21&14&29&38&32&15&40\\
15&6&26&9&29&32&43&14&14\\
2&3&5&3&8&15&14&15&21\\
10&12&20&14&30&40&34&21&49\end{pmatrix}$.

\item 
\begin{enumerate}
\item Il manque certains coefficients de la matrice $M$. Compléter et recopier uniquement la partie manquante de cette matrice.

\item Donner, en le justifiant, le nombre de chemins de longueur 4 permettant d’aller de B à D et donner ces chemins. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}  