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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices d'introduction aux calculs sur les matrices}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Matrices et opérations}}

Une ville du sud de la France compte deux campings : \og{}Grand soleil\fg{} et \og{}Au bord de l'eau\fg{}.\\ 
Les deux tableaux ci-dessous récapitulent l'occupation de ces campings lors de la saison estivale 2016.

\begin{tabular}{|l|l*{2}{|c}}\hline
\multirow{2}{*}{Grand Soleil} &\multicolumn{2}{|c|}{Pension complète}\\
&avec &sans \\
\hline
Bungalow &150 &30 \\
\hline
Mobil-home &120 &50 \\
\hline
Aire de Camping &0&250 \\
\hline
\end{tabular}

\bigskip

\begin{tabular}{|l|l*{2}{|c}}\hline
\multirow{2}{*}{Au bord de l'eau} &\multicolumn{2}{|c|}{Pension complète}\\
&avec &sans \\
\hline
Bungalow &40 &10 \\
\hline
Mobil-home &390 &110 \\
\hline
Aire de Camping &10&120 \\
\hline
\end{tabular}

\bigskip


\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item En ne conservant que les coefficients du premier tableau, on obtient la \textbf{matrice} $A =\begin{pmatrix} 120&50\\120&50\\0&250\end{pmatrix}$.

\item Déterminer la matrice $B$ résumant le deuxième tableau.

\item Déterminer la matrice $C = A + B$ en additionnant les coefficients correspondants dans les matrices $A$ et $B$. Que représente cette nouvelle matrice $C$ ? 

\end{enumerate}

\item Pour l'année 2017, la ville compte sur une augmentation de 10\:\% de l'occupation dans le camping \og{}Grand Soleil\fg{} mais prévoit une baisse de 10\:\% dans le camping \og{}Au bord de l'eau\fg{}, toutes catégories et emplacements confondus.\\
On note $D$ la matrice décrivant l'occupation du camping  \og{}Beau soleil\fg{} pour l'année 2017.\\ 

\begin{enumerate}
\item Par quel nombre faut-il multiplier tous les coefficients de la matrice $A$ pour obtenir ceux de $D$ ?

\item Déterminer la matrice $D$.

\item Que représente la matrice \[E= 1,1\times A + 0,9 \times  B~ ?\]
Déterminer cette matrice.

\item Combien de locations avec pension complète peut-on prévoir en 2017 sur l'ensemble des deux campings

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Exercice d'application}}

Un conservateur de musée souhaite faire restaurer certaines œuvres. Il les a classées par taille et emplacement dans le tableau 1 ci-dessous .

\bigskip

\textbf{Tableau 1 :}

\bigskip

\begin{tabular}{|*{4}{c|}}\hline
&Petite&Moyenne&Grande\\
\hline
Étage 1&2&1&4\\
\hline
Étage 2&4&3&2\\
\hline
\end{tabular}


\begin{enumerate}
\item Résumer ce tableau 1 par une matrice $A$. 

\item Le budget du musée permet de restaurer, pour chaque taille et chaque étage, exactement deux fois plus d'œuvres que celles qui ont été répertoriées.\\ 
Résumer ces contraintes par une matrice $F$.

\item Le conservateur a recensé dans le tableau 2 d'autres œuvres qui pourraient profiter d'une rénovation :

\textbf{Tableau 2 }: 

\bigskip

\begin{tabular}{|*{4}{c|}}\hline
&Petite&Moyenne&Grande\\
\hline
Étage 1&2&2&6\\
\hline
Étage 2&6&3&3\\
\hline
\end{tabular}

Résumer le tableau 2 par une matrice $B$.

\item Que représente la matrice $A+B$ ? La déterminer.

\item Le budget permet-il de restaurer ces œuvres supplémentaires, pour chaque taille et chaque étage ? 

\end{enumerate}


\newpage



\subsection{\textcolor{blue}{Multiplication des matrices }}

La matrice $A$ ci-contre donne le nombre de matchs gagnés, nuls et perdus pour trois clubs à la fin d'un championnat de football; $A=\begin{pmatrix}21&4&13\\18&12&8\\17&13&8\end{pmatrix}$.\\
Les lignes correspondent aux différents clubs.


\begin{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Combien de matchs le club 3 a-t-il gagnés ?

\item Que signifie le 12 écrit dans la matrice $A$ ?
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Depuis 1995, une victoire rapporte 3 points, un match nul rapporte 1 point et une défaite 0 point.\\ 
Établir, selon ces règles, le classement de ces trois clubs.

\item La matrice colonne $P=\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}$ résume la règle ci-dessus.\\
Retrouver le résultat de la question a) en effectuant le produit $A \times  P$ en multipliant les nombres d'une ligne par les noms des de la matrice colonne $P$.

\item Avant 1995, une victoire rapportait 2 points, un match nul 1 point et une défaite 0 point. Utiliser une multiplication de matrices pour déterminer le classement de ces trois clubs avec les anciennes règles.

\item Dans certains championnats de district, une victoire rapporte 4 points, un match nul rapporte 2 points et une défaite 1 point. Effectuer le produit matriciel $A \times  B$ où $B$ est la matrice ci-dessous, en utilisant une disposition analogue à celle de la question .b), afin d'établir simultanément les classements de ces trois clubs selon les trois règles.\\
\begin{center}
$B=\begin{pmatrix}3&2&4\\1&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}$
\end{center}

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\columnbreak

\subsection{\textcolor{blue}{Inverse d'une matrice}}
Un artisan chocolatier propose deux types de chocolats : le noir intense et le fruité. La fabrication d'une tablette :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item de chocolat intense nécessite 30 min de travail et 750 g de cacao.

\item de chocolat fruité nécessite 20 min de travail et 400 g de cacao.
\end{enumerate}
Au couts du mois, l'artisan a consacré 760 min de travail et \numprint{16800} g de cacao à la fabrcationde ces deux types de chocolat.\\
On veut déterminer le nombre de tablettes de chaque type que k'artisan a fabriquées durant le mois.

\begin{enumerate}
\item \textbf{Mise en équation} : on note $x$et $y$ le nombre de tablettes de chaque sorte fabriquées durant le mois.\\
Traduire les hypothèses par un système $(S)$ de deux équations à deux inconnues.

\item \textbf{Utilisation du calcul matriciel} :\\
On considère les matrices colonnes $X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}760\\\numprint{16800}\end{pmatrix}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que le système $\mathscr{S}$ est équivalent à l'équation matricielle $A\times X=B$ où $A$ est une matrice à préciser.

\item On note $I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ (matrice identité). Que vaut $I\times X$ ?

\item La matrice carrée notée $A^{-1}$ telle que $A^{-1}\times A=I$.\\
Expliquer alors pourquoi la résolution de l'équation $A\times X=B$ revient à calculer $X=A^{-1}\times B$.

\item Déterminer $A^{-1}$ en utilisant la touche $x^{-1}$ de la calculatrice.

\item Calculer alors $X$ et résoudre alors le problème.
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  