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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices de bac sur la fonction $\ln$}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Antilles-Guyane juin 2011}}
On considère la fonction $C$ définie sur l'intervalle [2~;~30] par : 

\[C(x) = 12x + 22 - 25\ln (x).\]

Une usine de composants électroniques fabrique des haut-parleurs.
 
Le coût de production, en milliers d'euros, de $x$ centaines de haut-parleurs est égal à $C(x)\,;\, x$ est compris entre 2 et 30.
 
\begin{enumerate}
\item Sachant qu'une centaine de haut-parleurs est vendue 10 milliers d'euros, donner (en milliers d'euros) le prix de vente de $x$ centaines de haut-parleurs.

\medskip
 
On considère la fonction $B$ définie sur l'intervalle [2~;~30] par 

\[B(x) = -2x - 22 + 25 \ln (x).\]
 
\item Montrer que le bénéfice, en milliers d'euros, réalisé sur la vente de $x$ centaines de haut-parleurs est égal à $B(x)$. 
\item On admet que $B$ est dérivable sur l'intervalle [2~;~30]. On note $B'$ sa fonction dérivée. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [2~;~30], $B'(x) = \dfrac{25 - 2x}{x}$. 
 
		\item Étudier le signe de $B'(x)$. 
		\item En déduire le tableau de variation de la fonction $B$. 
		\item Pour quelle quantité de haut-parleurs vendue le bénéfice est-il maximal ?
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau de valeurs donné en annexe. 
		\item Tracer dans le repère fourni en annexe la courbe représentative de la fonction $B$.
	\end{enumerate}		 
\item En utilisant le graphique, déterminer pour quelles quantités produites le bénéfice est supérieur à \numprint{10000}~\euro.
\end{enumerate}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x$ &2 &4 &6 &10 &12,5 &14 &20 &24 &30 \\ \hline
$B(x)$&&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}


\psset{unit=0.25cm}
\begin{pspicture}(-1,-11)(32,17)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2]{->}(0,0)(-1,-11)(32,17)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2](0,0)(-1,-11)(32,17)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\uput[u](32,0){$x$}\uput[r](0,17){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}


\subsection{\textcolor{blue}{Pondichéry avril 2011}}
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [1~;~8] par 

\[f(x) = 30 \ln (x) + 10 - 10x.\]
 
\begin{enumerate}
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [1~;~8] et on note $f'$ sa fonction dérivée. 

Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~8], $f'(x) = \dfrac{30 -1 0x}{x}$.  
\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [1~;~8] et en déduire le tableau de variations de la fonction $f$. 
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant. (\emph{On arrondira les résultats au dixième}).

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline 
$x$		& 1	&2	& 3	&4		& 5	& 6	& 7	& 8\\ \hline
$f(x)$	&	&	&	&11,6	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Représenter graphiquement la fonction $f$ dans un repère orthononné.
 
\emph{Unités graphiques : $1$ cm pour $1$ unité.}
 
Chaque jour un artisan fabrique $x$ objets ($x$ étant compris entre 1 et 8).
 
Le bénéfice, en \textbf{dizaines d'euros}, réalisé pour la vente de ces $x$ objets est égal à $f(x)$. 

\item Combien faut-il produire d'objets pour que le bénéfice soit maximal ? Que vaut ce bénéfice maximal à un euro près ? 
\item Déterminer à partir de quelle quantité d'objets l'artisan travaille à perte. 
\end{enumerate}

\newpage
\subsection{\textcolor{blue}{Pondichéry avril 2010}}
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-0,5~;~5]$ par 
\[f(x) = x^2 - 9x + 14 \ln (x + 1).\]

Dans le repère ci-dessous, la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ est sa courbe représentative.
 
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[-0,5~;~5]$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes :
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer $f(0)$ et $f'(0)$. 
\item Donner le nombre de solutions de l'équation : $f(x) = 1,5$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$. 
 
\item Vérifier que $f'(x) = \dfrac{(2x - 5)(x - 1)}{x + 1}$.  
\item En remarquant que  $(x + 1)$ est strictement positif sur l'intervalle $[-0,5~;~5]$, et à l'aide d'un tableau de signes déterminer le signe de $f'(x)$ puis les variations de $f$ sur ce même intervalle. 
\item Déterminer l'équation réduite de la tangente (T) à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $0$. 
\end{enumerate} 

\bigskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-5)(6,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-5)(6,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](-2,-5)(6,6)
\psplot{-1}{1.2}{5 x mul}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{-0.5}{5}{x dup mul 9 x mul sub x 1 add ln 14 mul add}
\uput[r](4.9,4.5){$\mathcal{C}_{f}$}\uput[r](1.2,5.5){(T)}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Réunion septembre 2009}}
Depuis quelques années, le nombre de personnes tuées sur les routes de France a considérablement diminué. Le tableau suivant présente le bilan de l'année 2001 à l'année 2007.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 \\ \hline% 
\begin{minipage}{2cm}
Rang de l'année $x_{i}$
\end{minipage}& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 \\ \hline% 
\begin{minipage}{2cm}
Nombre de personnes
\end{minipage} &\numprint{8160} &\numprint{7655} &\numprint{6058} &\numprint{5530} &\numprint{5318} &\numprint{4942} &\numprint{4838} \\ \hline%
\multicolumn{8}{r}{\small \emph{Source : site officiel de la sécurité routière}}\\
\end{tabularx}

\medskip
 
Le nuage de points $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ est donné en annexe à rendre avec la copie.
 
La courbe $\mathcal{C}_{f}$ tracée sur l'annexe est la courbe représentative d'une fonction $f$ étudiée dans la partie B.

\bigskip
 
\textbf{Partie A :} \emph{Dans cette partie, on ne tiendra pas compte de la courbe} $\mathcal{C}_{f}$
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ de la série $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ obtenue par la méthode des moindres carrés. (arrondir les coefficients à l'unité). 
\item À partir des calculs ci-dessus, on décide de réaliser un ajustement affine à l'aide de la droite d'équation $y = - 580x+ \numprint{8400}$. Tracer cette droite sur le graphique de l'annexe à rendre avec la copie. 
\item Déterminer le nombre de tués prévus en 2010 par ce modèle. Indiquer la méthode utilisée.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B :}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~15] par 
\[f(x) = - \numprint{1900}\ln (x) + \numprint{8400}.\]

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur ce même intervalle. 
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$. 
		\item Justifier que $f'(x)$ est négatif sur l'intervalle [1~;~15]. 
		\item En déduire le sens de variation de $f$ sur l'intervalle [1~;~15]. 
	\end{enumerate}

\medskip

Dans la suite de cette partie, on décide de modéliser l'évolution du nombre de personnes tuées sur les routes de France à l'aide de la fonction $f$. 
\item Déterminer par le calcul le nombre de tués prévus en 2010 par ce modèle (arrondir à l'unité).
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie C :}

\medskip
 
\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
Parmi les deux modèles étudiés dans la partie A et la partie B, indiquer celui qui ne permet pas d'obtenir une prévision réaliste en 2015. Justifier la réponse. 


\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  