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\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices de statistiques}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Mercatique-CFE juin 2009}}
Le tableau ci dessous retrace l'évolution sur une vingtaine d'années du record du monde de natation à l'épreuve du 100 mètres nage libre hommes. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
						&Année		& Rang de l'année $x_{i}$& Temps en secondes $y_{i}$\\ \hline 
Rowdy Gaines	& 1981 	&1	& 49,36 \\ \hline
Matt Biondi 		&1985 	&5	& 48,95  \\ \hline
Matt Biondi 		&1986 	&6	& 48,74  \\ \hline
Matt Biondi 		&1988 	&8	& 48,42  \\ \hline
Alexander Popov	& 1994 	&14	& 48,21  \\ \hline
Pieter Van Hoogenband	& 2000	&20 	& 47,84  \\ \hline
\multicolumn{4}{r}{\emph{Source. Site officiel du mouvement olympique.}}
\end{tabularx}

\medskip



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

Une représentation du nuage de points $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ est donnée en annexe 1 à rendre avec la copie.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés (arrondir les coefficients au millième). 
		
Pour l'étude qui suit, on retient comme ajustement affine la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = -0,08x +49,2$. 
	\item Tracer la droite $\mathcal{D}$ sur le graphique de l'annexe 1 à rendre avec la copie. 
	\item En utilisant ce modèle d'ajustement, donner une estimation du temps du record du monde à l'épreuve du 100~mètres nage libre hommes en 2008.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le taux d'évolution du temps du record du monde à l'épreuve du 100 mètres nage libre hommes entre 1981 et 2000 (arrondir le résultat à 0,01\:\%). 
	\item Sur les dix-neuf années de 1981 à 2000, le temps du record du monde à l'épreuve du 100 mètres nage libre hommes a été amélioré chaque année en moyenne de 0,164\:\%.
	 
Expliquer comment obtenir ce résultat. 
	\item On suppose qu'à partir de l'année 2000 l'évolution va se poursuivre sur le même rythme, c'est-à-dire que chaque année le temps de ce record baissera de 0,164\:\%.
	 
Calculer, selon ce modèle, une estimation du temps du record du monde à l'épreuve du 100~mètres nage libre hommes en 2008.
	\end{enumerate} 
\item Pendant les jeux olympiques de Pékin, lors de l'été 2008, Eamon Sullivan a abaissé le temps du record à 47,05~secondes. 

Parmi les deux modèles précédents, indiquer celui qui donne la meilleure approximation. 
\end{enumerate}


\end{multicols}

\subsection{\textcolor{blue}{Métropole Mercatique juin 2008}}

Une entreprise a acheté une machine en 2000 pour une valeur de \nombre{50 000}~\euro{} et a noté la valeur de cette machine sur le marché de l'occasion jusqu'en 2005. Les résultats sont notés dans le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\footnotesize}p{2.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année&	2000&	2001&	2002&	2003&	2004&	2005\\ \hline
Rang de l'année $x_{i}$&	0&	1&	2&	3&	4&	5\\ \hline
Valeur de la machine (en \euro) $y_{i}$&\nombre{50000}&	\nombre{42000}&	\nombre{36000}&	\nombre{32 000}&	\nombre{26500}&	\nombre{22 000}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Partie 1}

Une représentation du nuage de points $\left(x_{i}~ ;~† y_{i}\right)$ est donnée en annexe, à rendre avec la copie.
\begin{enumerate}
\item ¿ l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés (\emph{arrondir les coefficients à l'unité}).

\medskip

Pour l'étude qui suit, on retient comme ajustement affine la droite $\Delta$ d'équation $y = - \nombre{5440}x + \nombre{48400}.$
\item 	Tracer la droite $\Delta$  sur le graphique de l'annexe, à rendre avec la copie.
\item 	En supposant que ce modèle reste valable pour les cinq années à venir, prévoir une estimation de la valeur de cette machine en 2007, puis en 2010.
\item 	Commenter le dernier résultat.
\end{enumerate}
	
\medskip

\textbf{Partie II}

Le service comptable de cette entreprise remarque que pendant les années 2000 à 2005 la machine s'est dépréciée d'environ 15\:\% par an. Il suppose alors qu'à partir de 2005 la baisse annuelle sera de 15\:\%. Il pose $v_{0} = \nombre{22000}$ et note $\left(v_{n}\right)$ la suite donnant la valeur estimée, selon ce modèle, de la machine au bout de $n$ années de fonctionnement à partir de 2005.

 Ainsi, $v_{1}$ est la valeur estimée de la machine en 2006.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique ; déterminer sa raison.
		\item  Montrer que, pour tout entier naturel $n,~ v_{n} = \nombre{22000} \times (0,85)^n$.
 	\end{enumerate}
\item	Le tableau suivant est un extrait d'une feuille de calculs. II donne la valeur estimée $v_{n}$ de la machine
pour les années 2005 à 2011. Le format de la colonne D est un format numérique à zéro décimale.
	
	\medskip
	
	\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\columncolor[gray]{0.8}}c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\rowcolor[gray]{0.8}&A&B&C&D\\ \hline
1&Année&	Valeur réelle de la machine&Rang de l'année à partir de 2005&Valeur estimée de la machine\\ \hline
2&2000&\nombre{50000}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}\\ \hline	
3&2001&\nombre{42000}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}\\ \hline
4&2002&\nombre{36000}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}\\ \hline
5&2003&\nombre{32000}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}\\ \hline
6&2004&\nombre{26500}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}\\ \hline
7&2005&\nombre{22000}&0&\nombre{22000}\\ \hline
8&2006&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&	1&	\nombre{18700}\\ \hline
9&2007&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&	2&	\nombre{15895}\\ \hline
10&2008&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&	3&	\nombre{13511}\\ \hline
11&2009&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&	4&	\nombre{11 484}\\ \hline
12&2010&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&5&\nombre{9762}\\ \hline
13&2011&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&6&\nombre{8297}\\ \hline	
\end{tabularx}

\end{center}
	
	\medskip
	
Donner une formule qui, entrée dans la cellule D8, permet, par recopie vers le bas, d'obtenir la plage de cellules D8:D13.
\item 	\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip

Selon ce modèle, à partir de quelle année la machine aura-t-elle une valeur inférieure à \nombre{5000}~\euro{}?
\end{enumerate}
	
\begin{center}

\textbf{Annexe à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=1cm,yunit=0.0002cm}
\begin{pspicture}(0,-10000)(12,60000)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=10000]{->}(0,0)(0,-10000)(12,60000)
\uput[d](6,-10000){Rang de l'année}
\rput{90}(-1.5,25000){Valeur estimée de la machine}
\multido{\n=0+0.4}{31}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,-10000)(\n,60000)}
\multido{\n=-10000+1000}{71}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(12,\n)}
\psdots[dotstyle=square*,dotangle=45,dotscale=1.5](0,50000)(1,42000)(2,36000)(3,32000)(4,26500)(5,22000)
\end{pspicture}	
	\end{center}



\newpage
\setcounter{subsection}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}\subsection*{\textcolor{red}{Correction}}
\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Mercatique-CFE juin 2009}}
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item À l'aide la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement affine obtenue par la méthode des moindres carrés est : $\boxed{\textcolor{red}{y=-0,0764x+49,274}}$.

\item Voir graphique à la fin de l'exercice

\item 2008 correspond à un rang égal à 28 : on remplace $x$ par 28.\\
$-0,764\times 28+49,274\approx 46,96$.\\
\fbox{\textcolor{red}{Avec cet ajustement, on peut envisager un record du monde en 2008 de 46,96 s}}.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Le taux d'évolution entre 1981 et 2000 est : $\dfrac{47,84-49,36}{49,36}\approx -0,0307$, soit une baisse d'environ 3,07\:\%.

\item Petite erreur de formulation de la question : de 1981 à 2000, cela fait 20 ans, mais 19 changements d'années.\\
Notons $t$ le taux moyen annuel d'évolution du record : on a, en utilisant les coefficients multiplicateurs :\\
$(1-t)^{19}=1-0,0307=0,693$. On en déduit : $1-t=0,693^{\frac1{19}}$ d'o˘ $t=1-0,693^{\frac1{19}}\approx 0,001639\approx \boxed{\textcolor{red}{0,164\:\%}}$

\item Avec ce modèle, on obtiendrait en 2008 un record de : $49,36\times \left(1-\dfrac{0,164}{100}\right)^{27}\approx \boxed{\textcolor{red}{47,22}}$ s.
\end{enumerate}
\item L'écart entre la valeur réelle du record et la valeur estimée est de 9 centièmes de seconde avec la première méthode et de 17 centièmes avec la seconde méthode.\\
\textcolor{red}{C'est la première méthode qui a donné la meilleure approximation.}
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
\psset{xunit=0.33cm,yunit=2.7cm,algebraic=true,comma=true}
\begin{pspicture}(-2,46.3)(32,49.5)
\psaxes[Dx=2,linewidth=1.5pt,Dy=0.1,Oy=46.5]{->}(0,46.5)(32,49.5)
\multido{\n=0+1}{33}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,46.5)(\n,49.5)}
\multido{\n=46.5+0.1}{31}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(32,\n)}
\uput[d](16,46.3){Rang de l'année}
\rput{90}(-4,48.1){Temps en secondes}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.5](1,49.36)(5,48.95)(6,48.74)(8,48.42)(14,48.21)(20,47.84)
\psplot[linecolor=red]{0}{28}{-0.0764*x+49.274}
\end{pspicture}

\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Métropole Mercatique juin 2008}}


%Une entreprise a acheté une machine en 2000 pour une valeur de \nombre{50 000}~\euro{} et a noté la valeur de cette machine sur le marché de l'occasion jusqu'en 2005. Les résultats sont notés dans le tableau suivant :
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\footnotesize}p{2.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Année&	2000&	2001&	2002&	2003&	2004&	2005\\ \hline
%Rang de l'année $x_{i}$&	0&	1&	2&	3&	4&	5\\ \hline
%Valeur de la machine (en \euro) $y_{i}$&\nombre{50000}&	\nombre{42000}&	\nombre{36000}&	\nombre{32 000}&	\nombre{26500}&	\nombre{22 000}\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

%Une représentation du nuage de points $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ est donnée en annexe, à  rendre avec la copie.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %à€ l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés (\emph{arrondir les coefficients à  l'unité}).
La calculatrice donne $y = - \numprint{5443}x + \numprint{48357}$.
\medskip

%Pour l'étude qui suit, on retient comme ajustement affine la droite $\Delta$ d'équation $y = - \nombre{5440}x + \nombre{48400}.$
\item 	%Tracer la droite $\Delta$  sur le graphique de l'annexe, à  rendre avec la copie.
Voir plus bas.
\item 	%En supposant que ce modà¨le reste valable pour les cinq années à  venir, prévoir une estimation de la valeur de cette machine en 2007, puis en 2010.
Valeur de cette machine en 2007 :

- par lecture graphique environ \numprint{10000}~\euro ;

- en utilisant l'équation $y = - \numprint{5440}x + \numprint{48400}$, on trouve \numprint{10320}~\euro.

Valeur de cette machine en 2010 : en utilisant l'équation on trouve $- \numprint{6000}$~\euro.
\item 	%Commenter le dernier résultat.
Le dernier résultat signifie que garder la machine au delà  de 2009 fera perdre de l'argent à  l'entreprise.
\end{enumerate}
	
\medskip

\textbf{Partie II}

\medskip

%Le service comptable de cette entreprise remarque que pendant les années 2000 à  2005 la machine s'est dépréciée d'environ 15\:\% par an. Il suppose alors qu'à  partir de 2005 la baisse annuelle sera de 15\:\%. Il pose $v_{0} = \nombre{22000}$ et note $\left(v_{n}\right)$ la suite donnant la valeur estimée, selon ce modà¨le, de la machine au bout de $n$ années de fonctionnement à  partir de 2005.
%
%Ainsi, $v_{1}$ est la valeur estimée de la machine en 2006.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique ; déterminer sa raison.
Baisser chaque année de 15\,\%, c'est multiplier par $1 - 0,15 = 0,85$. Donc $v_{n+1} = 0,85 v_{n}$.

La suite $\left(v_{n}\right)$ est donc une suite géométrique de raison $0,85$ et de premier terme $v_{0} = \numprint{2200}$.
		\item  %Montrer que, pour tout entier naturel $n,~ v_{n} = \nombre{22000} \times (0,85)^n$.
		On sait que $v_{n} = v_{0} \times q^n = \numprint{2200}\times 0,85^n$.
  	\end{enumerate}
\item	%Le tableau suivant est un extrait d'une feuille de calculs. II donne la valeur estimée $v_{n}$ de la machine pour les années 2005 à  2011. Le format de la colonne D est un format numérique à  zéro décimale.
	
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\columncolor[gray]{0.8}}c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%\rowcolor[gray]{0.8}&A&B&C&D\\ \hline
%1&Année&	Valeur réelle de la machine&Rang de l'année à  partir de 2005&Valeur estimée de la machine\\ \hline
%2&2000&\nombre{50000}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}\\ \hline3&2001&\nombre{42000}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}\\ \hline
%4&2002&\nombre{36000}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}\\ \hline
%5&2003&\nombre{32000}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}\\ \hline
%6&2004&\nombre{26500}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}\\ \hline
%7&2005&\nombre{22000}&0&\nombre{22000}\\ \hline
%8&2006&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&	1&	\nombre{18700}\\ \hline
%9&2007&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&	2&	\nombre{15895}\\ \hline
%10&2008&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&	3&	\nombre{13511}\\ \hline
%11&2009&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&	4&	\nombre{11 484}\\ \hline
%12&2010&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&5&\nombre{9762}\\ \hline
%13&2011&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&6&\nombre{8297}\\ \hline	
%\end{tabularx}
%
%\end{center}

%Donner une formule qui, entrée dans la cellule D8, permet, par recopie vers le bas, d'obtenir la plage de cellules D8:D13.
La formule est : = D7 * 0,85 ou encore \$D\$7 * (0,85)^C8.
\item 	%\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, màªme incomplà¨te, ou d'initiative màªme non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

%\medskip
%
%Selon ce modà¨le, à  partir de quelle année la machine aura-t-elle une valeur inférieure à  \nombre{5000}~\euro{}?
Selon ce modà¨le, la machine aura une valeur inférieure à  \nombre{5000}~\euro{} à  partir de 2015.

Méthode 1 : on calcule les termes successifs de la suite :

\numprint{22000}, \numprint{18700}, \numprint{15895}, \numprint{13510,80}, \numprint{11484,10}, \numprint{9761,52}, \numprint{8297,29}, \numprint{7152,70}, \numprint{5994,79}, \numprint{5095,57}, \numprint{4331,24}.

Méthode 2 : on résout l'inéquation $\numprint{22000}\times 0,85^n < \numprint{5000}$  ; on obtient $n > 9,1$ soit $n$ au moins égal à  10.
\end{enumerate}
		
\begin{center}

\textbf{Annexe à  rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=1cm,yunit=0.0003cm}
\begin{pspicture}(0,-10000)(12,60000)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=10000]{->}(0,0)(0,-10000)(12,60000)
\uput[d](6,-10000){Rang de l'année}
\rput{90}(-1.5,25000){Valeur estimée de la machine}
\multido{\n=0+0.4}{31}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,-10000)(\n,60000)}
\multido{\n=-10000+1000}{71}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(12,\n)}
\psdots[dotstyle=square*,dotangle=45,dotscale=1.5](0,50000)(1,42000)(2,36000)(3,32000)(4,26500)(5,22000)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10.5}{48357 5443 x mul sub}
\uput[ur](10,-6000){$\Delta$}
\end{pspicture}	
\end{center}
\label{fin}
\end{document}  