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\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices de statistiques}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Mercatique-CFE juin 2009}}
Le tableau ci dessous retrace l'évolution sur une vingtaine d'années du record du monde de natation à l'épreuve du 100 mètres nage libre hommes. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
						&Année		& Rang de l'année $x_{i}$& Temps en secondes $y_{i}$\\ \hline 
Rowdy Gaines	& 1981 	&1	& 49,36 \\ \hline
Matt Biondi 		&1985 	&5	& 48,95  \\ \hline
Matt Biondi 		&1986 	&6	& 48,74  \\ \hline
Matt Biondi 		&1988 	&8	& 48,42  \\ \hline
Alexander Popov	& 1994 	&14	& 48,21  \\ \hline
Pieter Van Hoogenband	& 2000	&20 	& 47,84  \\ \hline
\multicolumn{4}{r}{\emph{Source. Site officiel du mouvement olympique.}}
\end{tabularx}

\medskip



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

Une représentation du nuage de points $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ est donnée en annexe 1 à rendre avec la copie.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés (arrondir les coefficients au millième). 
		
Pour l'étude qui suit, on retient comme ajustement affine la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = -0,08x +49,2$. 
	\item Tracer la droite $\mathcal{D}$ sur le graphique de l'annexe 1 à rendre avec la copie. 
	\item En utilisant ce modèle d'ajustement, donner une estimation du temps du record du monde à l'épreuve du 100~mètres nage libre hommes en 2008.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le taux d'évolution du temps du record du monde à l'épreuve du 100 mètres nage libre hommes entre 1981 et 2000 (arrondir le résultat à 0,01\:\%). 
	\item Sur les dix-neuf années de 1981 à 2000, le temps du record du monde à l'épreuve du 100 mètres nage libre hommes a été amélioré chaque année en moyenne de 0,164\:\%.
	 
Expliquer comment obtenir ce résultat. 
	\item On suppose qu'à partir de l'année 2000 l'évolution va se poursuivre sur le même rythme, c'est-à-dire que chaque année le temps de ce record baissera de 0,164\:\%.
	 
Calculer, selon ce modèle, une estimation du temps du record du monde à l'épreuve du 100~mètres nage libre hommes en 2008.
	\end{enumerate} 
\item Pendant les jeux olympiques de Pékin, lors de l'été 2008, Eamon Sullivan a abaissé le temps du record à 47,05~secondes. 

Parmi les deux modèles précédents, indiquer celui qui donne la meilleure approximation. 
\end{enumerate}


\end{multicols}

\subsection{\textcolor{blue}{Mercatique-CFE, France septembre 2008}}
Les rations journalières conseillées sur des sacs de croquettes pour chien des marques Topdog et Friskas sont données ci-dessous.\\

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Poids du chien $x_{i}$ (kg)&	5&	 10&	 15	& 30&	40&	60\\ \hline
Ration journalière conseillée $y_{i}$, (g)&	50 &	90&	120&	200	&250&	340\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Les parties I et II sont indépendantes.}

\medskip



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\textbf{Partie I}

\begin{enumerate}
\item Déterminer s'il y a proportionnalité entre le poids du chien et la ration journalière conseillée.

Justifier.

\item 	Le chien de Julie pèse 26~kg. Julie souhaite calculer la ration journalière conseillée.

Une représentation graphique du nuage de points $\left(x_{i}~;~ y_{i}\right)$ est donnée à la fin de l'exercice.

\end{enumerate}
	

\vspace{0,5cm}	

Julie a obtenu par la méthode des moindres carrés la droite d'ajustement de $y$ en $x$, et l'a tracée. Déterminer la ration journalière conseillée pour le chien de Julie.

\medskip

\textbf{Partie II}

Le chien d'Arthur pèse 30~kg et mange des croquettes Topdog.\\
 Arthur décide de changer pour la marque Friskas. Mais la transition doit être progressive.
 
  Arthur suit les recommandations des deux marques et donne à son chien une ration journalière de 200~g.
  
\medskip
  
Arthur choisit de donner le premier jour 20~g de croquettes Friskas, et le reste de la ration, soit 180~g, en croquettes Topdog ; puis il étudie deux programmes d'alimentation :
\begin{itemize}
\item premier programme : augmenter la part de croquettes Friskas de 15~g par jour.
\item  second programme: augmenter chaque jour de 20\:\% la part de croquettes Friskas présente dans la ration.
\end{itemize}
Dans les deux cas, la ration quotidienne reste au total à 200~g.\\

\medskip

Arthur utilise un tableur pour étudier les deux programmes d'alimentation de son chien. La feuille de calcul est donnée à la page suivante. Le format d'affichage est un format numérique à 0 décimale.

\begin{enumerate}
\item  Premier programme
	\begin{enumerate}
		\item Donner une formule qui, entrée dans la cellule B3, permet par recopie vers le bas d'obtenir la plage de cellules B3:B14.
		\item 	Donner une formule qui, entrée dans la cellule C2, permet par recopie vers le bas d'obtenir la plage de cellules C2:C14.
		\item 	Calculer la quantité totale de croquettes Topdog que doit prévoir Arthur dans ce premier programme d'alimentation durant la période de transition.
	\end{enumerate}
\item Second programme

	\begin{enumerate}
		\item Une formule entrée dans la cellule D3 a permis d'obtenir la plage de cellules D3:D16 par recopie vers le bas. Cette formule permet de limiter la ration de croquettes Friskas à 200~g.\\ Recopier la seule des trois formules ci-dessous qui peut convenir.

\begin{center}
	=D2 * 1,20 \quad  SI(D2 * 1,20 > 200; 200; D2 * 1,20)\quad 		= \$D\$2*1,2\^A2
\end{center}
		\item 	Soit $u$ la suite géométrique de premier terme $u_{1} = 20$ et de raison $1,2$.
		
Calculer la somme des treize premiers termes $u_{1} + u_{20} + \cdots + u_{13}$.
		\item 	Montrer que la quantité totale de croquettes Topdog utilisées pendant la période de transition dans le second programme est à l'unité près égale à \nombre{1630}~g.
	\end{enumerate}
\item	\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

Avant la période de transition, il reste à Arthur un sac de 2~kg de croquettes Topdog. Il souhaite en utiliser le plus possible durant la période de transition entre les deux marques de croquettes. Lequel des deux programmes d'alimentation Arthur choisira-t-il ? Justifier.
\end{enumerate}

\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabularx}
{\linewidth}{|c|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A&B&C&D&E\\ \hline
1&Jour&	 	Premier programme  Quantité de	croquettes Friskas (g)&Premier programme Quantité de croquettes Topdog (g)&Second programme  Quantité de croquettes Friskas (g)&	Second programme
Quantité de croquettes Topdog (g)\\ \hline
2&	1&	20	&180		&20	&	180\\ \hline
3&	2&	35	&165		&24	&	176\\ \hline
4&	3&	50	& \ldots	&29	&\ldots\\ \hline
5&	4&	65	& \ldots	&35&\ldots\\ \hline
6&	5&	80	& \ldots	&41&\ldots\\ \hline
7&	6&	95	& \ldots	&50&\ldots\\ \hline
8&	7&	110	& \ldots	&60&\ldots\\ \hline
9&	8&	125	& \ldots	&72&\ldots\\ \hline
10&	9&	140	& \ldots	&86&\ldots\\ \hline
11&	10&	155	& \ldots	&103&\ldots\\ \hline
12&	 11&	170	& \ldots	&124&\ldots\\ \hline
13&	12&	185	& \ldots	&149&\ldots\\ \hline
14&	13&	200	&	0	&178&22\\ \hline
15&	 14&		&		&200&0\\ \hline
16&	15&		&		&200&0\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{p{3,5cm}X}
Indication de lecture : & 165, le contenu de la cellule C3, est la quantité, en grammes, de croquettes Topdog présente dans la ration du second jour de transition dans le cas du premier programme d'alimentation.
\\
\end{tabularx}

\end{multicols}
\begin{center}
\psset{xunit=0.171cm,yunit=0.024cm}
\begin{pspicture}(70,360)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=20]{->}(0,0)(70,360)
\multido{\n=0+5}{15}{\psline(\n,0)(\n,360)}
\multido{\n=0+1}{70}{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,360)}
\multido{\n=0+20}{19}{\psline(0,\n)(70,\n)}
\multido{\n=0+20}{38}{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(70,\n)}
\psdots[dotstyle=triangle*](5,50)(10,90)(15,120)(30,200)(40,250)(60,340)
\uput[d](70,0){$x$} \uput[l](0,360){$y$}
\psline(0,38)(62,360)
\end{pspicture}

\end{center}

\newpage
\setcounter{subsection}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{\textcolor{blue}{Mercatique-CFE juin 2009}}
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item À l'aide la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement affine obtenue par la méthode des moindres carrés est : $\boxed{\textcolor{red}{y=-0,0764x+49,274}}$.

\item Voir graphique à la fin de l'exercice

\item 2008 correspond à un rang égal à 28 : on remplace $x$ par 28.\\
$-0,764\times 28+49,274\approx 46,96$.\\
\fbox{\textcolor{red}{Avec cet ajustement, on peut envisager un record du monde en 2008 de 46,96 s}}.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Le taux d'évolution entre 1981 et 2000 est : $\dfrac{47,84-49,36}{49,36}\approx -0,0307$, soit une baisse d'environ 3,07\:\%.

\item Petite erreur de formulation de la question : de 1981 à 2000, cela fait 20 ans, mais 19 changements d'années.\\
Notons $t$ le taux moyen annuel d'évolution du record : on a, en utilisant les coefficients multiplicateurs :\\
$(1-t)^{19}=1-0,0307=0,693$. On en déduit : $1-t=0,693^{\frac1{19}}$ d'où $t=1-0,693^{\frac1{19}}\approx 0,001639\approx \boxed{\textcolor{red}{0,164\:\%}}$

\item Avec ce modèle, on obtiendrait en 2008 un record de : $49,36\times \left(1-\dfrac{0,164}{100}\right)^{27}\approx \boxed{\textcolor{red}{47,22}}$ s.
\end{enumerate}
\item L'écart entre la valeur réelle du record et la valeur estimée est de 9 centièmes de seconde avec la première méthode et de 17 centièmes avec la seconde méthode.\\
\textcolor{red}{C'est la première méthode qui a donné la meilleure approximation.}
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
\psset{xunit=0.33cm,yunit=2.7cm,algebraic=true,comma=true}
\begin{pspicture}(-2,46.3)(32,49.5)
\psaxes[Dx=2,linewidth=1.5pt,Dy=0.1,Oy=46.5]{->}(0,46.5)(32,49.5)
\multido{\n=0+1}{33}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,46.5)(\n,49.5)}
\multido{\n=46.5+0.1}{31}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(32,\n)}
\uput[d](16,46.3){Rang de l'ann\'ee}
\rput{90}(-4,48.1){Temps en secondes}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.5](1,49.36)(5,48.95)(6,48.74)(8,48.42)(14,48.21)(20,47.84)
\psplot[linecolor=red]{0}{28}{-0.0764*x+49.274}
\end{pspicture}

\end{center}


\label{fin}
\end{document}  