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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/3}
\title{\textcolor{red}{Fonction logarithme népérien}}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

\tableofcontents

\subsection*{\textcolor{blue}{Activité \no 1 page 141}}

\subsection{\textcolor{blue}{Définition}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On appelle fonction logarithme népérien, notée $\ln$, l'unique fonction telle que  :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\ln$ est définie et dérivable sur $]0~;~+\infty[$

\item $\ln(1)=0$

\item Pour tout $x>0$, $\ln'(x)=\dfrac{1}{x}$
\end{enumerate}

\end{bclogo}

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : on écrit souvent $\ln x$ à la place de $\ln(x)$.\\

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : une expression de la forme $\ln\left(u(x)\right)$ est définie si, et seulement si, $u(x)>0$\\

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exemples :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\ln(x-3)$ est définie si, et seuelement si, $x-3>0$ donc pour $x>3$.

\item $\ln(1-x)$ est définie pour $1-x>0$, donc pour $x<1$.

\item $\ln(x^2+x+1)$ est définie sur $\mathbb{R}$ car $x^2+x+1>0$ pour tout $x$, $x^2+x+1=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^1+\dfrac{3}{4}>0$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Sens de variation, courbe représentative}}

\begin{enumerate}
\item \textbf{\textcolor{red}{Sens de variation :}}\\
On a vu que : $\ln'(x)=\dfrac{1}{x}$ ; comme $x>0$, $\ln'(x)>0$ donc la fonction $\ln$ est \textbf{strictement croissante} sur $]0~;~+\infty[$.\\

\newpage
\item \textbf{\textcolor{red}{Tableau de variations}}\\
La tabeau de variations est :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\bb&0&&\pI\\
\filet
f'(x)&\bb&&+&\\
\filet
\m{f(x)}&\bb&\mI&\c&\h{\pI}&\\
\end{variations}
\end{center}

\item \textbf{\textcolor{red}{Signe}}\\
 On a vu dans la définition que $\ln(1)=0$.\\
On en déduit que :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item si $0<x<1$, $\ln(x)<0$

\item si $x>1$, $\ln x>0$

\end{enumerate}


\item \textbf{\textcolor{red}{Équations et inéquations}}
Soient $a$ et $b$ deux nombres strictement positifs.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\ln a=\ln b$ est équivalent à $a=b$.

\item $\ln a<\ln b$ est équivalent à $a<b$.

$\ln a>\ln b$ est équivalent à $a>b$.
\end{enumerate}

\item \textbf{\textcolor{red}{Nombre e}}\\
On appelle $\mathrm{e}$ le nombre (unique) dont le logarithme vaut 1 (notation due à Euler) : $\boxed{\textcolor{red}{\ln(\mathrm{e})=1}}$.\\
Valeur approchée : $\mathrm{e}\approx 2,718$

\item \textbf{\textcolor{red}{Courbe représentative}}
\begin{center}
\psset{unit=0.7}
\begin{pspicture}(-1,-4)(10,5)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](-0.5,0)(10,0)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](0,-4)(0,5)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{->}(0,0)(0,1)
\uput[dr](0,0){O}
\uput[dr](1,0){1}
\uput[l](0,1){1}
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabelcolor=white](-1,-4)(10,5)
\psplot[plotpoints=200,linecolor=blue, linewidth=2pt]{0.01}{10}{x ln}
\psplot{-1}{5}{x 1 sub}
\uput[d](2.71828,0){e}
\psline[linestyle=dashed](2.71828,0)(2.71828,1)
\uput[u](8,2){$y=\ln x$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Équations du type : $\mathbf{\ln(u(x))=0}$}}\\
$\ln(u(x))=0\Leftrightarrow \ln(u(x))=\ln 1\Leftrightarrow u(x)=1$\\

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exemple :}} $\ln(x-3)=0$ équivaut à $x>3$ et $x-3=1$ donc $x=4$\\

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Équations du type}} : $\ln(u(x))=\ln(v(x))$, avec $u(x)$ et $v(x)$ strictement positifs ; il faut alors que $u(x)=v(x)$.



\subsection{\textcolor{blue}{Fonction $\mathbf{x\mapsto\ln[u(x)]}$}}
Soit $u$ une fonction définie, strictement positive et dérivable sur un intervalle $I$.\\
On considère la fonction $f$, composée de $u$ suivie de la fonction $\ln$ : $f=\ln\circ u$.\\
$f$ est définie par $f(x)=\ln(u(x))$.\\
$f$ est dérivable et $\boxed{\textcolor{red}{f'=\dfrac{u'}{u}}}$ donc, pour tout $x\in I$, $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}}}$\\\\
\textbf{\textcolor{red}{Exemple :}}\\
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\ln(x^2+x+1)$.\\
$f(x)=\ln(u(x))$ avec $u(x)=x^2+x+1$. $u$ est dérivable, strictement positive sur $\mathbb{R}$ et $u'x$=2x+1.\\
Alors $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}}}$

\subsection{\textcolor{blue}{Propriétés algébriques}}

\textbf{\textcolor{red}{Préliminaire : étude d'une fonction :}}\\
Soit $a>0$ un réel fixé, mais quelconque. On considère alors la fonction $f$ définie par $f(x)=\ln(ax)-\ln(x)$.\\
Pour tout $x>0$ on a : $f'(x)=\dfrac{a}{ax}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x}=0$.\\
La dérivée de $f$ est nulle, donc la fonction $f$ est constante.\\
Pour calculer cette valeur constante, il suffit de calculer $f$ pour une valeur particulière de $x$.\\
Pour $x=1$, on obtient $f(1)=\ln(a)-\ln(1)=\ln(a)$.\\
On en déduit que, pour tout $x>0$, $f(x)=\ln(a)$, donc $\boxed{\textcolor{red}{\ln(ax)-\ln(x)=\ln(a)}}$.\\
Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{\ln(ax)=\ln(a)+\ln(x)}}$ (le logarithme d'un produit est égal à la somme des logarithmes).

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriétés}}
$a$ et $b$ sont deux nombres strictement positifs ; $n$ est un entier relatif.

\begin{enumerate}
\item \textbf{\textcolor{red}{Produit :}} $\ln(ab)=\ln a+\ln b$

\item \textbf{\textcolor{red}{Inverse :}} $\ln\left(\dfrac{1}{a}\right)=-\ln a$

\item \textbf{\textcolor{red}{Quotient :}} $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b$

\item \textbf{\textcolor{red}{Puissances :}} $\ln\left(a^n\right)=n\ln a$

\item \textbf{\textcolor{red}{Racine carrée :}} $\ln\sqrt{a}=\dfrac{1}{2}\ln a$
\end{enumerate}

\end{bclogo}
\medskip
\textbf{\textcolor{red}{Démonstrations :}}\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ découle de ce qu'on a vu dans l'étude préliminaire.

\item $\ln\left(a\times \dfrac{1}{a}\right)=\ln(a)+\ln\left(\dfrac{1}{a}\right)$ et $\ln\left(a\times \dfrac{1}{a}\right)=\ln(1)=0$ donc $\ln\left(\dfrac{1}{a}\right)=-\ln(a)$.

\item $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln\left(a\times \dfrac{1}{b}\right)=\ln(a)+\ln\left(\dfrac{1}{b}\right)=\ln(a)+(-\ln(b))=\ln(a)-\ln(b)$.

\item $\ln\left(a^{n}\right)=\ln\left(a\times a\times \cdots a\right)=\ln(a)+\ln(a)+\cdots +\ln(a)=n\ln(a)$.

\item $\ln(a)=\ln\left(\sqrt{a}\times \sqrt{a}\right)=\ln\left(\sqrt{a}\right)+\ln\left(\sqrt{a}\right)=2\ln\left(\sqrt{a}\right)$ donc $\ln\left(\sqrt{a}\right)=\dfrac{1}{2}\ln(a)$.
\end{enumerate}

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exemples :}}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\ln 6=\ln(2\times 3)=\ln 2 +\ln 3$

\item $\ln\dfrac{1}{3}=-\ln 3$

\item $\ln\dfrac{2}{3}=\ln 2-\ln 3$

\item $\ln(10^9)=9\ln 10$ (remarque : $\ln 10\approx 2,3$, donc $\ln\left(10^9\right)\approx 20,7$)

\item $\ln\sqrt{5}=\dfrac{1}{2}\ln 5$

\item $\ln\left(\mathrm{e}^3\right)=3\ln\mathrm{e}=3\times 1=3$
\end{enumerate}

\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  