\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\usepackage{colortbl}
\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\everymath{\displaystyle}
\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}}.\textcolor{red}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\textbf{\textcolor{red}{Fonction dérivée}}}
\date{}
\author{}

\begin{document}

\maketitle

\tableofcontents


\subsection{\textcolor{blue}{Rappels sur les équations de droites}}
Soit $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$ un repère orthonormal.\\
Soit $\mathscr{D}$ une droite.\\
\textbf{\textcolor{red}{Deux cas sont possibles : }}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\mathscr{D}$ est parallèle à l'axe des ordonnées : tous les points de $\mathscr{D}$ ont la même abscisse $k$.\\
On dit alors que l'équation de $\mathscr{D}$ est : $\boxed{x=k}$

\item $\mathscr{D}$ est sécante à l'axe des ordonnées.\\
Les coordonnées $(x~;~y)$ des point de $\mathscr{D}$ sont liées par une relation de la forme $y=ax+b$.\\
$a$ et $b$ sont caractéristiques de $\mathscr{D}$ : 
\begin{enumerate}[*]
\item $b$ est appelé \textbf{\textcolor{red}{l'ordonnée à l'origine}} de $\mathscr{D}$.

\item $a$ est le \textbf{\textcolor{red}{coefficient directeur}} de $\mathscr{D}$.

\end{enumerate}\end{enumerate}
$b$ est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées.
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-3)(7,6)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-3,-3)(7,6)%grille
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-3,0)(6,0)%axe horizontal
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-3)(0,7)%axe vertical
%repère
\uput[dl](0,0){$O$}
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0.7,0){$\overrightarrow{i}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}
\psplot[plotpoints=200,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-3.0}{2.0}{2*x+3}
\uput[r](0,3){$b$}
\psline[linewidth=2pt](-0.2,3)(0.2,3)
\uput[r](2,5){$y=ax+b$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\parbox{10cm}{$a$ mesure l'inclinaison de la droite. (Si $\alpha$ est l'angle que fait la droite par rapport à l'horizontale, on a : $a=\tan(\alpha)$\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $a>0$, la fonction affine associée à la droite est croissante.

\item Si $a=0$, la fonction affine associée à la droite est constante et la droite est parallèle à l'axe des ordonnées.

\item Si $a<0$, la fonction affine associée à la droite est décroissante.
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{8cm}{\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.6cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-4)(4,10)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-3,-4)(4,10)%grille
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-3,0)(4,0)%axe horizontal
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-4)(0,10)%axe vertical
%repère
\uput[dl](0,0){$O$}
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0.7,0){$\overrightarrow{i}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-3.0}{3.0}{2*x+3}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-3.0}{3.0}{-3*x+8}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-3.0}{3.0}{-2}
\uput[u](-1.5,1){$a>0$}
\uput[r](0,8){$a<0$}
\uput[u](2,-2){$a=0$}
\end{pspicture*}}\\
\textbf{\textcolor{red}{Plus précisément :}}

\textbf{\textcolor{blue}{Interprétation graphique du coefficient directeur :}}
\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm,algebraic=true}
\begin{pspicture*}(-3,-4)(12,10)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-3,-4)(4,10)%grille
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-3,0)(4,0)%axe horizontal
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-4)(0,10)%axe vertical
%repère
\uput[dl](0,0){$O$}
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0.7,0){$\overrightarrow{i}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}
\psplot[plotpoints=200]{-3.0}{4.0}{2*x+3}
\psdots(0.82,4.64)
\uput[l](0.82,4.64){$A$}
\psdots(2.84,8.68)
\uput[r](2.84,8.68){$B$}
\psline[linestyle=dashed](0.82,4.64)(2.84,4.64)
\psline[linestyle=dashed](2.84,4.64)(2.84,8.68)
\uput[d](1.8,4.6){$\Delta x$}\uput[r](2.84,6){$\Delta y$}
\uput[r](4,7){$a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\vspace{1cm}

\textbf{\textcolor{red}{Comment utiliser le coefficient directeur pour  tracer une droite ?}}\\
\textbf{Exemple :} Tracer la droite d'équation $y=3x-5$.\\
Pour $x=0$, on a $y=3\times 0-5=-5$ donc cette droite passe par le point A de coordonnées $(0~;~-5)$.\\
Son coefficient directeur est $a=3$.\\
Nous avons vu que le coefficient directeur pouvait s'écrire $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$.\\
Par conséquent : $a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ donc $\Delta y=a\times \Delta x$.\\
Ici : $a=3=\dfrac{3}{1}$\\
Si l'on \textbf{\textcolor{blue}{choisit}} de prendre $\Delta x=1$, alors $\Delta y=3$. Par conséquent, en partant de A, l'on se déplace de 1 unité en abscisses et de 3 unités en ordonnées.
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.6cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture}(-2,-6)(3,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-2,-6)(3,5)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-2,0)(3,0)%axe horizontal
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-6)(0,5)%axe vertical
%repère
\uput[dl](0,0){$O$}
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0.7,0){$\overrightarrow{i}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-0.5}{3}{3*x-5}
\psdots(0,-5)\uput[l](0,-5){A}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](0,-5)(1,-5)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](1,-2)(1,-5)
\uput[d](0.5,-5){1}\uput[r](1,-3.5){3}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](1,-2)(3,-2)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](3,-2)(3,4)
\uput[d](2,-2){2}\uput[r](3,1){6}
\end{pspicture}
\end{center}
Si $a$ est le coefficient directeur, on a : $a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ donc $\Delta y=a\times \Delta x$ ; en choisissant une valeur pour $\Delta x$, on calcule la valeur correspondante pour $\Delta y$.\\
Si, au lieu de prendre $\Delta x=1$, on avait pris $\Delta y=2$, on aurait trouvé $\Delta y=3\times 2=6$ ; en partant de n'importe quel point de la droite (A ou un autre), si l'on se déplace de 2 unités parallèlement à l'axe des abscisses, on se déplace dans le même temps de 6 unités parallèlement à l'axe des ordonnées.

\subsection{\textcolor{blue}{Rappels sur les courbes représentatives d'une fonction}}
Si $f$ est une fonction définie sur un ensemble $\mathscr{D}$, la courbe représentative $\mathscr{C}_{f}$ de $f$ est l'ensemble des points de coordonnées $\left(x~;~f(x)\right)$.
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4,-5)(3,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-4,-5)(3,5)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-4,0)(3,0)%axe horizontal
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-5)(0,5)%axe vertical
%repère
\uput[dl](0,0){$O$}
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0.7,0){$\overrightarrow{i}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red]{-4.0}{2.6}{0.5*(x-2)*(x+2)*(2*x-1)}
\uput[r](2.4,3){$\mathscr{C}_{f}$}
\psdots(-1.5,3.5)
\uput[l](-1.5,3.5){$(x~;~f(x))$}
\psline[linestyle=dashed](-1.5,0)(-1.5,3.5)
\psline[linestyle=dashed](-1.5,3.5)(0,3.5)
\uput[d](-1.5,0){$x$}\uput[r](0,3.5){$f(x)$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Nombre dérivé d'une fonction et fonction dérivée}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $f$ une fonction définie sur $\mathscr{D}$.\\
Si $\mathscr{C}_{f}$ admet une tangente au point de $\mathscr{C}_{f}$ d'abscisse $a$, on note $\mathbf{\textcolor{red}{f'(a)}}$, \textbf{nombre dérivé de} $\mathbf{f}$ en $a$, le \textbf{coefficient directeur} de la tangente à $\mathscr{C}_{f}$ en ce point.
\end{bclogo}


\textbf{\textcolor{blue}{Exemple : Activité 2 page 120}}\\
Soit la courbe représentative de $f$ définie par $f(x)=x^2$
\begin{center}
\psset{xunit=2.0cm,yunit=0.6cm,algebraic=true}
\begin{pspicture*}(-4,-3)(4,10)
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4,-3)(4,10)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-4,-3)(4,10)%grille
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-4,0)(4,0)%axe horizontal
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-3)(0,10)%axe vertical
%repère
\uput[dl](0,0){$O$}
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0.7,0){$\overrightarrow{i}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=2pt]{-3.7}{3.7}{x^2}
\psplot[linecolor=blue, linewidth=1.5pt]{-3.5}{-1.5}{-6*x-9}
\psplot[linecolor=blue, linewidth=1.5pt]{-3}{0.5}{-2*x-1}
\psplot[linecolor=blue, linewidth=1.5pt]{-3}{3}{0}
\psplot[linecolor=blue, linewidth=1.5pt]{-0.5}{3}{2*x-1}
\psplot[linecolor=blue, linewidth=1.5pt]{0.8}{3}{4*x-4}
\psdots[linecolor=blue](-3,9)
\psdots[linecolor=blue](-1,1)
\psdots[linecolor=blue](0,0)
\psdots[linecolor=blue](1,1)
\psdots[linecolor=blue](2,4)
\uput[r](-3,9){$T_{1}$}
\uput[r](-3,5){$T_{2}$}
\uput[r](2.5,4){$T_{3}$}
\uput[r](2.5,6){$T_{4}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{enumerate}
\item On trouve graphiquement $f'(-3)=-6$, $f'(-1)=-2$, $f'(0)=0$, $f'(1)=2$ et $f'(2)=4$.\\
En effet, $T_{1}$ passe par les points de coordonnées $(-3~;~9)$ et $(-2~;~3)$, donc $f'(-3)=\dfrac{3-9}{-2-(-3)}=-6$.\\
$T_{2}$ passe par les ponts de coordonnées $(-2~;~3)$ et $(-1~;~1)$ donc $f'(-1)=\dfrac{1-3}{-1-(-2)}=-2$.\\
$(xx')$ a un coefficient directeur nul.\\
$T_{3}$ passe par les points de coordonnées $(1~;~1)$ et $(2~;~3)$ donc $f'(1)=\dfrac{3-1}{2-1}=2$.\\
$T_{4}$ passe par les points de coordonnées $(2~;~4)$ et $(1~;~0)$ donc $f'(2)=\dfrac{0-4}{1-2}=\dfrac{-4}{-1}=4$.

\item Pour $x_{A}$ réel, on peut conjecturer que $f'\left(x_{A}\right)=2x_{A}$.

\item La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. La fonction $f'$, qui à tout réel $x$ associe le nombre dérivé de $f$ en $x$ est défini sur $\mathbb{R}$ par $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=2x}}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Dérivée de fonctions usuelles}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Si une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ admet en tout point de $I$ un nombre dérivé (donc si la courbe $\mathscr{C}_{f}$ admet une tangente en ce point), on dit que $f$ est dérivable sur $I$.\\
La fonction qui, à tout réel $x$, associe le nombre dérivé $f'(x)$, est appelé e fonction dérivée de $f$ ; on la note $f'$.
\end{bclogo}

\newpage
Voici le tableau des fonctions dérivées des fonctions usuelles (à savoir par c\oe ur).
\begin{center}
$\begin{array}{|*{2}{l|}}
\hline
\rowcolor{yellow!40}f(x)=&f'(x)=\\
\hline
k,~k\in\mathbb{R}&0\\
\hline
x&1\\
\hline
x^2&2x\\
\hline
x^3&3x^2\\
\hline
x^n~(n\in\mathbb{N}~n>1)&nx^{n-1}\\
&\\
\hline
\dfrac{1}{x} (x\neq 0)&-\dfrac{1}{x^2}\\
&\\
\hline
\dfrac{1}{x^n}~(n\in\mathbb{N}~n>1,~x\neq 0)&-\dfrac{n}{x^{n+1}}\\
&\\
\hline
\sqrt{x}~(x>0)&\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\\
&\\
\hline
\end{array}$
\end{center}
\textbf{\textcolor{red}{Exemples :}}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=x^5$ ; $f(x)=x^n$ avec $n=5$ ; $f'(x)=nx^{n-1}=5x^4$

\item $f(x)=x^6$ ; $f(x)=x^n$ avec $n=6$ donc $f'(x)=nx^{n-1}=6x^5$

\item $f(x)=\dfrac{1}{x^2}$.\\
$f(x)=\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{1}{x^n}$ avec $n=2$ donc $f'(x)=-\dfrac{n}{x^{n+1}}=-\dfrac{2}{x^3}$

\item $f(x)=\dfrac{1}{x^7}=\dfrac{1}{x^n}$ avec $n=7$ ; $f'(x)=-\dfrac{n}{x^{n+1}}=-\dfrac{7}{x^8}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Opérations sur les fonctions dérivables}}
Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ et $k$ une constante.\\
Alors, on a les formules suivantes :\\

\begin{center}

$\begin{array}{|*{2}{l|}}
\hline
\textbf{Addition :}&\mathbf{\textcolor{red}{(u+v)'=u'+v'}}\\
\hline
\textbf{Soustraction :} &\mathbf{\textcolor{red}{(u-v)'=u'-v'}}\\
\hline
 \textbf{Multiplication par une constante :}&\mathbf{\textcolor{red}{(ku)'=ku'}}\\
\hline
\textbf{Produit de deux fonctions : }& \mathbf{\textcolor{red}{(uv)'=u'v+uv'}}\\
\hline
\textbf{Inverse d'une fonction :}&\mathbf{ \textcolor{red}{\left(\dfrac{1}{u}\right)'=-\dfrac{u'}{u^2}}}~(v(x)\neq 0~\text{ sur }I)\\
\hline
\textbf{Quotient de deux fonctions :} &\mathbf{\textcolor{red}{\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}}}~(v(x)\neq 0~\text{ sur }I)\\
\hline
\end{array}$
\end{center}
\textbf{\textcolor{red}{Exemples :}}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=3x^2$ ; on peut voir cela comme $f(x)=kg$ avec $k=3$ et $g(x)=x^2$ ; $f'=(kg)'=kg'$ donc $f'=3g'$ avec $g'(x)=2x$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=3\times 2x=6x}}$.

\item $f(x)=\textcolor{red}{5}x^7$ ; on a de même : $f'(x)=\textcolor{red}{5}\times 7x^6=35x^6$. $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=35x^6}}$

\item $f(x)=x^5+x^2$ ; $f=u+v$ avec $u(x)=x^5$ et $v(x)=x^2$ donc $f'=(u+v)'=u'+v'$ avec $u'(x)=5x^4$ et $v'(x)=2x$. Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=5x^4+2x}}$.

\item $f(x)=(2x+3)\sqrt{x}$ ; on peut voir $f$ comme : $f=uv$ avec $u(x)=2x+3$ et $v(x)=\sqrt{x}$.\\
$f'=(uv)'=u'v+uv'$ avec $u'(x)=2$ et $v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.\\
Par conséquent :\\
$f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=2\sqrt{x}+(2x+3)\times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}=2\sqrt{x}+\dfrac{2x+3}{2\sqrt{x}}=\dfrac{2\sqrt{x}\times 2\sqrt{x}+(2x+3)}{2\sqrt{x}}=\dfrac{6x+3}{2\sqrt{x}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3(2x+1)}{2\sqrt{x}}}}$

\item $f(x)=\dfrac{1}{x^2+x+1}$. $f=\dfrac{1}{u}$ avec $u(x)=x^2+x+1$ d'où $f'=\left(\dfrac{1}{u}\right)'=-\dfrac{u'}{u^2}$ avec $u'(x)=2x+1$.\\
Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=-\dfrac{2x+1}{(x^2+x+1)^2}}}$

\item $f(x)=\dfrac{3x+2}{2x+1}$ ; $f=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=3x+2$ et $v(x)=2x+1$.\\
$f'=\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $u'(x)=3$ et $v'(x)=2$.\\
Alors : $f'(x)=\dfrac{3(2x+1)-2(3x+2)}{(2x+1)^2}=\dfrac{-1}{(2x+1)^2}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=\dfrac{-1}{(2x+1)^2}}}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Composée de deux fonctions}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soient $f$ et $g$ deux fonctions.\\
On appelle composée de $f$ suivie de $g$ la fonction $x\mapsto f(g(x))$.\\
\end{bclogo}


\textbf{\textcolor{red}{Exemples : }}
\begin{enumerate}[Exemple 1 :]
\item Soit $u(x)=(x+3)^2$ ; $u(x)=f(g(x))$ avec $g(x)=x+3$ et $f(x)=x^{3}$

\item Soit $u(x)=\dfrac{1}{x^{2}+5x+7}$ ; $u(x)=f(g(x))$ avec $g(x)=x^{2}+5x+7$ et $f(x)=\dfrac{1}{x}$.

\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{Dérivée de la fonction composée de deux fonctions}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables. Soit $u$ la fonction $x\mapsto f(g(x))$.\\
$u$ est dérivable et $\boxed{\textcolor{red}{u'(x)=g'(x)\times f'(g(x))}}$
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Exemples :}}
\begin{enumerate}
\item Soit $u(x)=\left(x^2+5x+6\right)^3$. $u=f\circ g$ avec $g(x)=x^2+5x+6$ et $f(x)=x^3$.\\
Alors : $u'(x)=g'(x)\times f' (g(x))$ avec $g'(x)=2x+5$ et $f'(x)=3x^2$.\\
Alors : $\boxed{\textcolor{red}{u'(x)=(2x+5)\times 3\left(x^2+5x+6\right)^2}}$.

\item $u(x)=\sqrt{x^2+x+1}$.\\
$u=f\circ g$ avec $g(x)=x^2+x+1$ et $f(x)=\sqrt{x}$.\\
$u'(x)=g'(x)\times \fbox{f'(g(x))}$ avec $g'(x)=2x+1$ et $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.\\
Par conséquent : $u'(x)=(2x+1)\dfrac{1}{2\sqrt{x^2+x+1}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{\sqrt{2x+1}}{2\sqrt{x^2+x+1}}}}$
\end{enumerate}
\vspace{1cm}
En appliquant la formule de dérivation d'une fonction composée, on trouve les formules suivantes (à connaître et à appliquer directement) :\\
$u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$
\begin{center}
$\begin{array}{|*{2}{l|}}
\hline
\rowcolor{yellow!40}\text{Fonction}&\text{Dérivée}\\
\hline
u^n (n\text{ entier naturel non nul} )&nu'u^{n-1}\\
\dfrac{1}{u}&-\dfrac{u'}{u^2}\text{ si }u(x)\neq 0\\
\hline
\dfrac{1}{u^n}(n\text{ entier naturel non nul} )&-\dfrac{nu'}{u^{n+1}}\text{ si }u(x)\neq 0\\
\hline
\sqrt{u}&\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\text{ si }u(x)>0\\
\hline
\end{array}$
\end{center}
\textbf{\textcolor{red}{Exemples :}}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\left(3x^2+5x+7\right)^5$ ; $f=u^n$ avec $u(x)=3x^2+5x+7$ et $n=5$.\\
$f'=nu'u^{n-1}$ ; $u'(x)=6x+5$ donc $f'(x)=5\times (6x+5)\times \left(3x^2+5x+7\right)^4$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=5(6x+5)\left(3x^2+5x+7\right)^4}}$.

\item $f(x)=\dfrac{1}{\left(5x^2+2x+13\right)^3}$ ; $f=\dfrac{1}{u^n}$ avec $u(x)=5x^2+2x+13$ et $n=3$.\\
$f'=-\dfrac{nu'}{u^{n+1}}$ avec $u'(x)=10x+2=2(5x+1)$.\\
Alors : $f'(x)=-\dfrac{3\times 2(5x+1)}{(5x^2+2x+13)^4}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=-\dfrac{6(5x+1)}{\left(5x^2+2x+13\right)^4}}}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{\textcolor{blue}{Applications de la dérivation}}}

\subsubsection{\textcolor{red}{Variations d'une fonction :}}



\begin{minipage}{12cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
Soit $f$ définie et dérivable sur un intervalle $I$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $f'(x)\geqslant 0$ sur $I$, alors $f$ est croisante sur $I$.

\item Si $f'(x)\leqslant 0$ sur $I$, alors $f$ est décroisante sur $I$.

\item Si $f'(x)= 0$ sur $I$, alors $f$ est constante sur $I$.
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\end{minipage}\\

\noindent Pour étudier les variations d'une fonction, on est donc amené à étudier le signe de la dérivée de cette fonction.\\\\
\textbf{\textcolor{red}{Exemples :}}
\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $f:x\longmapsto x^2+3x+5$.\\
$f$ est définie sur $\mathbb{R}$.\\
$f'(x)=2x+3$.\\
$f'(x)=0\Leftrightarrow 2x+3=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{3}{2}$.\\
$f'(x)>0\Leftrightarrow 2x+3>0\Leftrightarrow x>-\dfrac{2}{3}$ et $f'(x)<0\Leftrightarrow x<-\dfrac{3}{2}$.\\
On en déduit le tableau de variations :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{3}{2}&&\pI\\
\filet
f'(x)&&+&\z&+&\\
\filet
\m{f(x)}&&\c&\h{\dfrac{11}{4}}&\d&\\
\end{variations}
\end{center}

\item Étudier les variations de la fonction $f:x\mapsto \dfrac{2x+3}{5x+4}$ définie sur $\mathscr{D}=\left[-10~;~-\dfrac{4}{5}\right[\cup\left]-\dfrac{4}{5}~;~10\right[$.\\
$f=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=2x+3$ et $v(x)=5x+4$.\\
$f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $u'(x)=2$ et $v'(x)=5$.\\
Par conséquent : $f'(x)=\dfrac{2(5x+4)-5(2x+3)}{(5x+4)^2}=\dfrac{-7}{(5x+4)^2}$.\\
Pour tout $x$ de $\mathscr{D}$, $(5x+4)^2>0$ donc $f'(x)$ est du signe de -7, donc négatif.\\
On en déduit le tableau de variations :
\begin{center}
\begin{variations}
x&-10&&-\dfrac{5}{4}&&10\\
\filet
f'(x)&&-&\bb&-&\\
\filet
\m{f(x)}&\h{\dfrac{17}{46}}&\d&\bb&\d&\dfrac{23}{54}\\
\end{variations}
\end{center}

\item Étudier les variations de la fonction $f:x\mapsto 2x^3+15x^2+36x+1$ sur $\mathbb{R}$.\\
$f'(x)=6x^2+30x+36=6(x^2+5x+6)$.\\
$f'(x)$ est du signe de $x^2+5x+6$.\\
Étude du signe : $\Delta=5^2-4\times 1\times 6=1>0$.\\
L'expression a deux racines : $x_{1}=\dfrac{-5-\sqrt{1}}{2}=-3$ et $x_{2}=\dfrac{-5+\sqrt{1}}{2}=-2$.\\
Un trinôme du second degré  $ax^2+bx+c$ est du signe de $a$ à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines et du signe de $-a$ entre les racines.\\
$x^2+5x+6$ est donc positif sur $]-\infty~;~-3]$ et sur $[-2~;~+\infty[$ et négatif sur $[-3~;~2]$.\\
On en déduit le tableau de variations :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-3&&-2&&\pI\\
\filet
f'(x)&&+&\z&-&\z&+&\\
\filet
\m{f(x)}&&\c&\h{-26}&\d&-27&\c&\\
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}


\subsubsection{\textcolor{red}{Grandeur marginale}}
\textbf{\textcolor{red}{Activité 3 page 134}}\\
Une entreprise fabrique un produit $P$. Le coût de production est donné quotidiennement par \[C(x)=x^3-25x^2+250.\]
La recette est $R(x)=120x$.
\begin{enumerate}
\item Le bénéfice est : $B(x)=R(x)-C(x)=120x-(x^3-25x^2+250x)=-x^3+25x^2-130x$

\item $C'(x)=3x^2-50x+250$\\
$R'(x)=120$\\
$B'(x)=-3x^2+50x-130$.

\item Le coût marginal est le \textbf{\textcolor{red}{supplément}} de dépense qu'une entreprise dpit consentir pour fabriquer une unité supplémentaire de son produit ; ce coût supplémentaire vaut $\dfrac{C(x+1)-C(x)}{1}=\dfrac{C(x+1)-C(x)}{(x+1)-x}$

\item $\begin{array}{|*{12}{c|}}
\hline
x&0&2&4&6&8&10&12&14&16&18&20\\
\hline
C'(x)&250&162&95&158&42&50&82&138&218&322&450\\
\hline
B'(x)&-150&-42&22&62&78&70&38&-18&-98&-202&-330\\
\hline
\end{array}$

\item Courbes
\begin{center}
\psset{xunit=0.5,yunit=0.02,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-300)(20,450)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1,0)(20,0)%axe horizontal
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-300)(0,450)%axe vertical
%repère
\uput[dl](0,0){$O$}
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=50,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-300)(20,450)
\psplot[linewidth=1.5pt]{0}{20}{120}
\psplot{0}{20}{-3*x^2+50*x-130}
\psplot{0}{20}{3*x^2-50*x+250}
\multido{\r=-1+1}{22}{\psline[linewidth=0.3pt](\r,-300)(\r,400)}
\multido{\r=-300+50}{10}{\psline[linewidth=0.3pt](-1,\r)(20,\r)}
\uput[r](17,250){$y=C'(x)$}
\uput[r](15,-50){$y=B'(x)$}
\uput[u](17,120){$y=R'(x)$}
\end{pspicture}
\end{center}
L'entreprise a intérêt à augmenter sa production pour $x\in[4~;~13]$
\end{enumerate}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{Définition}
La grandeur marginale correspondant à une fonction $f$ pour le nombre $x$ est ${f(x+1)-f(x)}$ que l'on peut voir comme $\dfrac{f(x+1)-f(x)}{(x+1)-x}$.\\
Ce nombre est presque égal à $f'(x)$ donc on confond souvent la grandeur marginale avec la dérivée.
\end{bclogo}

\label{fin}
\end{document}