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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TCFE : contrôle \no 2}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}

Reproduire et compléter le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Époque &Époque 0& Époque 1& Époque 2\\
\hline
Indice& 100& 108&\textcolor{red}{117,1}\\
\hline
Prix (\euro{}) &3,5&\textcolor{red}{3.78}& 4,10\\
\hline
\end{tabularx}
Explications : il y a proportionnalité entre les prix et les indices.\\
$\dfrac{3,5\times 108}{100}=3,78$ et $\dfrac{100\times 4,10}{3,5}\approx 117,1$.

\end{center}%(D'après sujet de BEP VAM Limoges Session 1994)


\subsection{}%France mercatique 2007
\begin{enumerate}
\item  Le prix d'un article a augmenté de 2~\%
 par mois chaque mois de l'année 2006.\\
%Le taux d'évolution global sur l'année 2006 est :\\
%a)   inférieur \`a 24~\%\\
%b) égal \`a 24~\%\\
%c) supérieur \`a 24~\%.\\
Le coefficient multiplicateur annuel est $1+\dfrac{2}{100}=1,02$.\\
Pour 12 mois, le coefficient multiplicateur global est $1,02^{12}\approx 1.27$ donc le taux correspondant est d'environ \fbox{\textcolor{red}{27\:\%}}, donc plus de 24\:\%.\\

\noindent Les questions suivantes se rapportent au tableau ci-dessous. C'est un extrait du tableau de l'indice de référence des loyers en France, base 100 au deuxi\`eme trimestre 2004, publié par l'INSEE. Les indices sont calculés \`a la fin de chaque trimestre.\\

\begin{center}\begin{tabular}{|l|c|}\hline
Période&Indice de référence\\ \hline
Premier trimestre 2003& 97,10\\ \hline
Premier trimestre 2004&99,33\\ \hline
Premier trimestre 2005&\\ \hline
Premier trimestre 2006&104,61\\ \hline
\end{tabular}\end{center}
\begin{flushright}\emph{Source : INSEE} \end{flushright}

\item  Sur une année, du premier trimestre 2004 au premier trimestre 2005, les loyers ont augmenté de 2,79~\%.\\
%Au premier trimestre 2005, l'indice de référence des loyers arrondi \`a $10^{-2}$ est égal \`a :\\
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}
%a)  $102,12$ &  b) $101,77$ & c)  $102,10$\\
%\end{tabularx}
L'indice de référence au premier janvier 2005 est :\\
$99,33\times \left(1+\dfrac{2,79}{100}\right)=99,33\times 1,0279\approx \boxed{\textcolor{red}{102,10}}$.


\item  Entre le premier trimestre 2003 (indice $97,10$) et le premier trimestre 2004 (indice $99,33$), le taux annuel d'évolution des loyers est :\\
%a)   2,23~\% (arrondi \`a 0,01~\%) \\
%b) 2,30~\% (arrondi \`a 0,01~\%) \\
%c) supérieur \`a 2,40~\%.
$\dfrac{99,33-97,10}{97,10}\approx 0.023\approx \boxed{\textcolor{red}{2,30\:\%}}$.

\item  Entre le premier trimestre 2004 (indice $99,33$) et le premier trimestre 2006 (indice 104,61) le taux moyen annuel d'évolution des loyers arrondi \`a 0,01~\% est $t$:\\
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}
%a)  2,62~\% & b)  2,31~\% &c)  2,64~\%.
%\end{tabularx}
Le coefficient multiplicateur global est :\\
$\dfrac{104,61}{99,33}\approx 1,05315614618$.\\
Ce même coefficient multiplicateur global vaut $(1+t)^{2}$.\\
On en déduit $(1+t)^{2}\approx 1,05315614618$ donc \\
$1+t=1,05315614618^{\frac12}$ d'où $t\approx 1,07734294542^{\frac13}-1\approx 0,0262339626907\approx \boxed{\textcolor{red}{2,62\:\%}}$.
\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item La suite $\left(u_{n}\right)$ est arithmétique de raison $r=5$; $u_{0}=4$.\\
%Que vaut $u_{7}$ ?
$u_{n}=u_{0}+nr$ donc $u_{7}=u_{0}+7r=4+7\times 5=39$ : $\boxed{\textcolor{red}{u_{7}=39}}$.

\item La suite $\left(u_{n}\right)$ est arithmétique de raison $r$; \\
$u_{5}=3$ ; $u_{8}=21$.

\begin{enumerate}
\item %Calculer la valeur de la raison $r$.
$u_{n}=u_{p}+(n-p)r$ donc $u_{8}=u_{5}+(8-5)r$ d'où $21=3+3r$.\\
On en déduit : $3r=18$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{r=6}}$.

\item %En déduire la valeur $u_{10}$
Alors : $u_{10}=u_{8}+(10-8)r=u_{8}+2r=21+2\times 6=33$ ; $\boxed{\textcolor{red}{u_{10}=33}}$.
\end{enumerate}

\item La suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $q=3$; $u_{0}=5$.\\
%Que vaut $u_{3}$ ?
Pour tout $n$, $u_{n}=u_{0}\times q^{n}$ donc $u_{3}=u_{0}\times q^{3}=5\times 3^{3}=5\times 27=135$ ; $\boxed{\textcolor{red}{u_{3}=135}}$.
\end{enumerate}

\subsection{}
Pour un prêt de \numprint{10000} \euro{} remboursable en six annuités, un commerçant s'est vu proposer par deux établissements de crédits les deux formules suivantes :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Première formule : les six annuités sont les six termes d'une suite arithmétique de premier terme \numprint{1025} \euro{} et de raison 500 \euro{}.

\item Deuxième formule : les six annuités sont les six termes d'une suite géométrique de premier terme \numprint{1530} \euro{} et de raison 1,15.
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item %Déterminer pour chacune des formules la somme totale remboursée au bout de 6 ans.
\textbf{\textcolor{red}{Première formule :}}\\
Notons $u_{0}=\numprint{1025}$ le montant du premier remboursement et $r=500$ la raison.\\
Les montants de l'année $n$ sont alors $u_{n}$.\\
La somme totale remboursée au bout de six ans est $\boxed{\textcolor{red}{S=u_{0}+u_{1}+\cdots+u_{5}}}$.\\
C'est la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique, donc :\\
$S=6\times \dfrac{u_{0}+u_{5}}{2}$ avec $u_{0}=\numprint{1025}$ et \\
$u_{5}=u_{0}+5r=\numprint{1025}+5\times 500=\numprint{1025}+\numprint{2500}=\numprint{3525}$.\\
Alors : $S=6\times \dfrac{\numprint{1025}+\numprint{3525}}{2}=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{13650}}}$.\\

\textbf{\textcolor{red}{Deuxième formule :}}\\
Notons $v_{0}=\numprint{1530}$ le montant du premier remboursement et $q=1,15$ la raison.\\
Les montants de l'année $n$ sont alors $v_{n}$.\\
Le montant total remboursé est alors $\boxed{\textcolor{red}{S'=v_{0}+v_{1}+\cdots+v_{5}}}$.\\
C'est la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique.\\
$S'=v_{0}\times \dfrac{q^{5}-1}{q-1}=\numprint{1530}\times \dfrac{1,15^{6}-1}{1,15-1}\approx \boxed{\textcolor{red}{\numprint{13393,22}}}$.

\item %Quelle est la formule la plus avantageuse pour le commerçant ?
$S'<S$ donc la deuxième formiule est plus avantageuse pour le commer\c cant.
\end{enumerate}

\subsection{}

Monsieur Guillaume, artisan menuisier, désire acquérir une machine en 2011.\\
Au 1\ier{} janvier 2007, il a placé la somme de \numprint{15000} euros, à intérêts composés au taux annuel de 6,75\:\%.\\
On note $u_{n}$ le capital, exprimé en euros, disponible au 1\ier{} janvier de l'année ($2007 + n$).
\begin{enumerate}[a)]
\item  %Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ (arrondir à l'unité près).
$u_{1}=\numprint{15000}\times \left(1+\dfrac{6,75}{100}\right)=\numprint{15000}\times 1,0675=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{16012,5}}}$\\
$u_{2}=u_{1}\times 1,0675\approx\boxed{\textcolor{red}{\numprint{17093,34}}}$

%\item Montrer qu'il ne disposera pas au 1\ier{} janvier 2011 de la somme nécessaire à l'acquisition de la machine si le prix de celle-ci est estimée à \numprint{21500} euros. Quelle somme lui manquera-t-il ? (arrondir à 100 euros près).
La suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique, de premier terme $u_{0}=\numprint{15000}$ et de raison $q=1,0675$.\\
On en déduit que $u_{n}=u_{0}\times q^{n}$.
La somme disponible au 1\ier{} janvier 2011 est $u_{4}=u_{0}\times q^{4}=\numprint{15000}\times 1,0675^{4}\approx \boxed{\textcolor{red}{19478,83}}$.\\
Il ne peut donc pas payer les \numprint{21500} euros nécessaires à l'acquisition de la machine.\\
Il lui manque \numprint{2021,17} euros, soit environ \numprint{2000} euros.

\item %Déterminer la somme, exprimée en euros, qu'il aurait dû placer au 1\ier{} janvier 2007 pour disposer du capital nécessaire à l'achat de la machine au 1\ier{} janvier 2011 (arrondir la somme à 10 euros près).
Soit $u_{0}$ la somme placée au départ.\\
Il faut que $u_{0}\times 1,0675^{4}\geqslant \numprint{21500}$ donc \\
$u_{0}\geqslant \dfrac{21500}{1,0675^{4}}\approx \boxed{\textcolor{red}{16556,44}}$.\\
Il faut qu'il place au minimum \numprint{16556,44} euros minimum.
\end{enumerate}


\end{multicols}\label{fin}
\end{document}  