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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TCFE : correction du contrôle sur les taux (sujet A)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
Le prix d'un objet est passé de 350 \euro{} à 358,75 \euro.\\
%Quel a été le taux d'évolution ?
Le taux dévolution a été de :\\
$\dfrac{\text{Valeur finale-valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}=\dfrac{358,75-350}{350}=0,025\\
=\boxed{\textcolor{red}{2,5\:\%}}$.

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
Un objet coûte hors-taxes 120 \euro. Le taux de T.V.A. est de 19,6\:\%.\\
%Combien vaut-il T.T.C. (toutes taxes comprises) ?
Le coefficient multiplicateur est \\
$C=1+t=1+\dfrac{19,6}{100}=1,196$.\\
Le prix T.T.C. est $120\times 1,196=\boxed{\textcolor{red}{143,52 \text{ \euro}}}$

\subsection{\textcolor{blue}{(2,5 points)}}
Dans une ville, la population a augmenté de 2\:\%, puis de 3\:\% et enfin a diminué de 5\:\%.\\
%Quel a été le taux global d'évolution ?
Le coefficient multiplicateur global est \\
$C=\left(1+\dfrac{2}{100}\right)\times \left(1+\dfrac{3}{100}\right)\times \left(1-\dfrac{5}{100}\right)\\
=1,02\times 1,03\times 0,95=\numprint{0,99807}$.\\
Si $T$ est le taux global, on a $C=1+T$ donc \\
$T=C-1=\numprint{0,99807}-1=-\numprint{0,00193}\approx -0,19\:\%$.\\
Le taux global est $\boxed{\textcolor{red}{T\approx -0,19\:\%}}$

\subsection{\textcolor{blue}{(2,5 points)}}
Dans un pays, les prix ont augmenté de 3\:\% au cours de l'année. Il vaut maintenant 244,11\euro.\\
%Combien valait-il l'an dernier ?
Le coefficient multiplicateur est $C=1+\dfrac{3}{100}=1,03$.\\
Si $x$ est l'ancien prix, on a $x\times 1,03=244,11$ donc \\
$x=\dfrac{244,11}{1,03}=237$.\\
\fbox{\textcolor{red}{L'an dernier, l'objet valait 237 \euro}}.

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Après cinq hausses successives de 3,1\:\%, un objet coûte 120 \euro.\\
%Combien valait-il avant ces cinq hausses ?
Le coefficient multiplicateur global est \\
$C=\left(1+\dfrac{3,1}{100}\right)^{5}=1,031^{5}$.\\
Si $x$ est le prix avant les hausses, on a : \\
$x\times C=120$ donc $C=\dfrac{120}{C}=\dfrac{120}{1,031^{5}}\approx 103,01$.\\
\fbox{\textcolor{red}{Avant les cinq hausses, l'objet valait environ 103,01 \euro}}.

\subsection{\textcolor{blue}{(5 points)}}
Depuis sa création, le directeur d'un parc de loisirs calcule l'évolution, en \%, du nombre de visiteurs d'une année à l'autre.\\
Les résultats sont consignés dans le tableau ci-dessous.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
ANNÉE&ÉVOLUTION ANNUELLE DU NOMBRE DE VISITEURS\\
\hline
1&\dots\\
\hline
2&+4,4\:\%\\
\hline
3&+6,4\:\%\\
\hline
4&+7\:\%\\
\hline
5&+10,3\:\%\\
\hline
6&+13,6\:\%\\
\hline

\end{tabularx}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer le coefficient multiplicateur global permettant de passer du nombre de visiteurs de l'année 1  à l'année 6.
Le coefficient multiplicateur global est \\
$C=\left(1+\dfrac{4,4}{100}\right)\times \left(1+\dfrac{6,4}{100}\right)\times \left(1+\dfrac{7}{100}\right)\times \left(1+\dfrac{10,3}{100}\right)\times \left(1+\dfrac{13,6}{100}\right)\approx 1,489$.

\item %En déduire le taux d'évolution global entre l'année 1 et l'année 6.
Si $T$ est le taux dévolution gobal, on a $C=1+T$ donc $T=C-1\approx 0,489$, soit $\boxed{\textcolor{red}{T\approx 48,9\:\%}}$.

\item Le nombre de visiteurs lors de l'année 6 fut de \numprint{178715}. 
%Quel fut le nombre de visiteurs lors de la première année.
Si $x$ est le nombre de visiteurs la première année, on a $x\times C=\numprint{178715}$ donc \\
$x=\dfrac{\numprint{178715}}{C}\approx\dfrac{\numprint{178715}}{1,489}\approx \numprint{120023}$\\
La première année, il y eut environ \numprint{120023} visiteurs.
\end{enumerate}

\item %Calculer le taux d'évolution annuel \textbf{moyen} du nombre annuel de visiteurs de l'année 1 à l'année 6 ; arrondir le réultat à 0,01\\\% près.
Si $t$ est le taux d'évolution moyen, on a : \\
$(1+t)^{5}=1,489$ donc $1+t=1,489^{\frac15}$ d'où \\
$t=1,489^{\frac15}-1\approx 0,083$ donc $\boxed{\textcolor{red}{t\approx 8,3\:\%}}$.

\item %En utilisant ce taux moyen, combien le directeur peut-il attendre de visiteurs lors de l'année 9 ? 
Pour passer de l'année 6 à l'année 9, il y a trois ans. Le coefficient multiplicateur correspondant est $(1+t)^{3}=(1+\dfrac{8,3}{100})^{3}=1,083^{5}\approx 1,49$.\\
Lors de l'année 9, le directeur peut espérer environ $\numprint{178715}\times 1,49\approx \boxed{\textcolor{red}{\numprint{266285}}}$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{3 points}}
Un prix a baissé de 3\:\%.\\
%De quel taux doit-il augmenter pour que le taux global d'évolution soit de 1\:\% ?\\
Soit $t$ le taux cherché. Le coefficient multiplicateur $C$ global se calcul de deux fa\c cons différentes :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $C=1+\dfrac{1}{100}=1,01$

\item $C=\left(1-\dfrac{3}{100}\right)\times (1+t)=0,97(1+t)$
\end{enumerate}
On en déduit $0,97(1+t)=1,01$ donc $1+t=\dfrac{1,01}{0,97}$ d'où $t=\dfrac{1,01}{0,97}-1\approx 0,041$ soit $\boxed{\textcolor{red}{t\approx 4,1\:\%}}$.

\end{multicols}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\setcounter{subsection}{0}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TCFE : contrôle (taux d'évolution) (sujet B)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
Le prix d'un objet est passé de 350 \euro{} à 362,25 \euro.\\
%Quel a été le taux d'évolution ?
Le taux dévolution a été de :\\
$\dfrac{\text{Valeur finale-valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}=\dfrac{362,25-350}{350}=0,035\\
=\boxed{\textcolor{red}{3,5\:\%}}$.

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
Un objet coûte hors-taxes 130 \euro. Le taux de T.V.A. est de 19,6\:\%.\\
%Combien vaut-il T.T.C. (toutes taxes comprises) ?
Le coefficient multiplicateur est \\
$C=1+t=1+\dfrac{19,6}{100}=1,196$.\\
Le prix T.T.C. est $130\times 1,196=\boxed{\textcolor{red}{155,48 \text{ \euro}}}$

\subsection{\textcolor{blue}{(2,5 points)}}
Dans une ville, la population a augmenté de 3\:\%, puis de 4\:\% et enfin a diminué de 6\:\%.\\
%Quel a été le taux global d'évolution ?
Le coefficient multiplicateur global est \\
$C=\left(1+\dfrac{3}{100}\right)\times \left(1+\dfrac{4}{100}\right)\times \left(1-\dfrac{6}{100}\right)\\
=1,03\times 1,04\times 0,94=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{1,006928}}}$.\\
Si $T$ est le taux global, on a $C=1+T$ donc \\
$T=C-1=1,006928-1=\numprint{0,006928}\approx 0,69\:\%$.\\
Le taux global est $\boxed{\textcolor{red}{T\approx 0,69\:\%}}$

\subsection{\textcolor{blue}{(2,5 points)}}
Dans un pays, les prix ont augmenté de 2\:\% au cours de l'année. Il vaut maintenant 252,96\euro.\\
%Combien valait-il l'an dernier ?
Le coefficient multiplicateur est $C=1+\dfrac{2}{100}=1,02$.\\
Si $x$ est l'ancien prix, on a $x\times 1,02=252,96$ donc \\
$x=\dfrac{252,96}{1,02}=248$.\\
\fbox{\textcolor{red}{L'an dernier, l'objet valait 248 \euro}}.

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Après cinq hausses successives de 2,8\:\%, un objet coûte 120 \euro.\\
%Combien valait-il avant ces cinq hausses ?
Le coefficient multiplicateur global est \\
$C=\left(1+\dfrac{2,8}{100}\right)^{5}=1,028^{5}$.\\
Si $x$ est le prix avant les hausses, on a : \\
$x\times C=120$ donc $C=\dfrac{120}{C}=\dfrac{120}{1,028^{5}}\approx 104,52$.\\
\fbox{\textcolor{red}{Avant les cinq hausses, l'objet valait environ 104,52 \euro}}.

\subsection{\textcolor{blue}{(5 points)}}
Depuis sa création, le directeur d'un parc de loisirs calcule l'évolution, en \%, du nombre de visiteurs d'une année à l'autre.\\
Les résultats sont consignés dans le tableau ci-dessous.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
ANNÉE&ÉVOLUTION ANNUELLE DU NOMBRE DE VISITEURS\\
\hline
1&\dots\\
\hline
2&+4,4\:\%\\
\hline
3&+6,4\:\%\\
\hline
4&+7\:\%\\
\hline
5&+10,3\:\%\\
\hline
6&+13,6\:\%\\
\hline

\end{tabularx}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer le coefficient multiplicateur global permettant de passer du nombre de visiteurs de l'année 1  à l'année 6.
Le coefficient multiplicateur global est \\
$C=\left(1+\dfrac{4,4}{100}\right)\times \left(1+\dfrac{6,4}{100}\right)\times \left(1+\dfrac{7}{100}\right)\times \left(1+\dfrac{10,3}{100}\right)\times \left(1+\dfrac{13,6}{100}\right)\approx 1,489$.

\item %En déduire le taux d'évolution global entre l'année 1 et l'année 6.
Si $T$ est le taux dévolution gobal, on a $C=1+T$ donc $T=C-1\approx 0,489$, soit $\boxed{\textcolor{red}{T\approx 48,9\:\%}}$.

\item Le nombre de visiteurs lors de l'année 6 fut de \numprint{178715}. 
%Quel fut le nombre de visiteurs lors de la première année.
Si $x$ est le nombre de visiteurs la première année, on a $x\times C=\numprint{178715}$ donc \\
$x=\dfrac{\numprint{178715}}{C}\approx\dfrac{\numprint{178715}}{1,489}\approx \numprint{120023}$\\
La première année, il y eut environ \numprint{120023} visiteurs.
\end{enumerate}

\item %Calculer le taux d'évolution annuel \textbf{moyen} du nombre annuel de visiteurs de l'année 1 à l'année 6 ; arrondir le réultat à 0,01\\\% près.
Si $t$ est le taux d'évolution moyen, on a : \\
$(1+t)^{5}=1,489$ donc $1+t=1,489^{\frac15}$ d'où \\
$t=1,489^{\frac15}-1\approx 0,083$ donc $\boxed{\textcolor{red}{t\approx 8,3\:\%}}$.

\item %En utilisant ce taux moyen, combien le directeur peut-il attendre de visiteurs lors de l'année 9 ? 
Pour passer de l'année 6 à l'année 9, il y a trois ans. Le coefficient multiplicateur correspondant est $(1+t)^{3}=(1+\dfrac{8,3}{100})^{3}=1,083^{5}\approx 1,49$.\\
Lors de l'année 9, le directeur peut espérer environ $\numprint{178715}\times 1,49\approx \boxed{\textcolor{red}{\numprint{266285}}}$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{3 points}}
Un prix a baissé de 2\:\%.\\
%De quel taux doit-il augmenter pour que le taux global d'évolution soit de 1\:\% ?
Soit $t$ le taux cherché. Le coefficient multiplicateur $C$ global se calcul de deux fa\c cons différentes :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $C=1+\dfrac{1}{100}=1,01$

\item $C=\left(1-\dfrac{2}{100}\right)\times (1+t)=0,98(1+t)$
\end{enumerate}
On en déduit $0,98(1+t)=1,01$ donc $1+t=\dfrac{1,01}{0,98}$ d'où $t=\dfrac{1,01}{0,98}-1\approx 0,0306$ soit $\boxed{\textcolor{red}{t\approx 3,06\:\%}}$.


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  

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\end{document}  