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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TCFE : correction du contrôle sur la fonction $\ln$}}\end{center}

\subsection{}
%Exprimer à l'aide de $\ln(2)$ les nombres suivants :\\
a) $\ln(8)=\ln\left(2^{3}\right)=\boxed{\textcolor{red}{3\ln(2)}}\qquad~;~\qquad b) \ln\left(\dfrac{1}{16}\right)=-\ln(16)=-\ln\left(2^{4}\right)=\boxed{\textcolor{red}{-4\ln(2)}}\qquad~;~\qquad c) \ln(\sqrt{2})=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}\ln(2)}}$

\subsection{}
On place un capital de \numprint{1000} \euro{} à intérêts composés au taux annuel de 3\:\%.\\
On note $C_{n}$ la valeur acquise par ce capital au bout de $n$ années.

\begin{enumerate}

\item %Exprimer $C_{n}$ en fonction de $n$.
Le coefficient multiplicateur annuel est $q=1+\dfrac{3}{100}=1,03$.\\
On en déduit que $C_{n}=C_{0}\times q^{n}=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{1000}\times 1,03^{n}}}$.

\item %Déterminer la plus petite valeur de $n$ pour laquelle la valeur acquise sera supérieure à \numprint{2500} \euro.\\
%\emph{On utilisera les logarithmes pour répondre à la question.}
$C_{n}\geqslant \numprint{2500}\Leftrightarrow \numprint{1000}\times 1,03^{n}\geqslant \numprint{2500}\Leftrightarrow 1,03^{n}\geqslant \dfrac{\numprint{2500}}{\numprint{1000}}=2,5$.\\
En appliquant la fonction logarithme qui est croissante, on trouve que l'on doit avoir : \\
$\ln\left(1,03^{n}\right)\geqslant \ln(2,5)\Leftrightarrow n\ln(1,03)\geqslant \ln(2,5)\Leftrightarrow n\geqslant \dfrac{\ln(2,5)}{\ln(1,03)}\approx 30,99$.\\
La plus petite valeur de $n$ pour laquelle la valeur acquise sera supérieure à \numprint{2500} \euro est $\boxed{\textcolor{red}{n=31}}$.

\end{enumerate}



\subsection{}

Calculer les dérivées des fonctions suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=\ln(x)+3x^{2}-5$ sur $]0~;~+\infty[$.\\
$f'(x)=\dfrac{1}{x}+3\times 2x=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{x}+6x}}$.

\item $f(x)=\ln(2x+1)$ sur $\left]-\dfrac{1}{2}~;~+\infty\right[$.\\
$f(x)=\ln(u(x))$ avec $u(x)=2x+1$ donc $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}$ avec $u'(x)=2$.\\
On en déduit que : $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=\dfrac{2}{2x+1}}}$.

\item $f(x)=\ln\left(3x^{2}+5x+7\right)$ sur $\mathbb{R}$.\\
De même : $\boxed{\textcolor{red}{?'(x)=\dfrac{6x+5}{3x^{2}+5x+7}}}$.
\end{enumerate}

\subsection{}%Antilles septembre 2008
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [1~;~13] par :

\[ f(x) = x \ln (x) - 3x + 10. \]

%Une entreprise fabrique du dissolvant chimique. Lorsque l'entreprise fabrique $x$ centaines de litres par jour, le \textbf{coût moyen} de production du litre est égal à $f(x)$ ($x$ est compris entre 1 centaine et 13 centaines). Ce coût est exprimé en euros. 

\begin{enumerate}
\item %Si l'entreprise produit 500 litres par jour, quel sera le coût moyen de production du litre, en euros, arrondi au centime ? 
500 litres correspondent à $x=5$ ; le coût moyen correspondant est $f(5)=5\ln(5)-5\approx \boxed{\textcolor{red}{3,05\text{ \euro}}}$.

\item %Montrer que $f'(x) = \ln(x) - 2$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle [1~;~13]. 
$f=uv+w$ avec $º(x)=x$, $v(x)=\ln(x)$ et $w(x)=-3x=10$.\\
Alors $f'=(ux+w)'=(uv)'+w'=u'v+uv'+w'$ avec $u'(x)=1$, $v'(x)=\dfrac{1}{x}$ et $w'(x)=-3$.\\
Par conséquent : $f'(x)=1\times \ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}-3=\ln(x)+1-3=\boxed{\textcolor{red}{\ln(x)-2}}$.

\item %Rappel ; on note $\mathrm{e}$ le nombre tel que $\ln(\mathrm{e})=1$ $(\mathrm{e}\approx% 2,72)$.\\
%Montrer que $f'(x)$ s'annule pour $x=\mathrm{e}^{2}$.
$f'(x)=0\Leftrightarrow \ln(x)-2=0\Leftrightarrow \ln(x)=2$ ; or $\ln\left(\mathrm{e}^{2}\right)=2\ln(\mathrm{e})=2\times 1=2$ donc $f'(x)=2$ pour $\boxed{\textcolor{red}{x=\mathrm{e}^{2}}}$.

\item %Étudier le signe de $f'(x)$ puis établir le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle [1~;~13].
$f'(x)\geqslant 0\Leftrightarrow \ln(x)-2\geqslant 0\Leftrightarrow \ln(x)\geqslant 2\leqslant x\geqslant \mathrm{e}^{2}$ car la fonction $\ln$ est croissante.

\item %En déduire le nombre de litres à produire par jour pour que le coût moyen de production du litre soit minimum. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée au litre près. 
On en déduit le tableau de variation de $f$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&1&&\mathrm{e}^{2}&&13\\
\hline
f'(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&7&\d&f\left(\mathrm{e}^{2}\right)\approx 2,6&\c&&\\
\end{variations}
\end{center}
%Préciser alors la valeur arrondie au centime du coût moyen de production du litre correspondant. 
Le nombre de litres à produire par jour pour que le coût moyen soit minimum est 7389 (car $\mathrm{e}^{2}\approx 7,389$) ; le prix moyen correspondant est alors  d'environ 2,6 \euro.
\end{enumerate}

%\newpage


%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

%Une entreprise fabrique des pièces de haute technologie. La fabrication hebdomadaire est limitée à \nombre{2000}~pièces. Le prix de vente de $100$~pièces est fixé à \nombre{15000}~\euro.
%
% La recette en milliers d'euros, obtenue pour la vente de $x$ centaines de pièces est donc $R(x) =15x$.
% 
% Le graphique fourni en annexe donne la représentation graphique $R_{1}$ de la fonction $R$ et la représentation graphique $C_{1}$ de la fonction coût de production notée $C$ sur l'intervalle [0~;~ 20].

\medskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie A :  lectures graphiques}}

%Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes :

\begin{enumerate}
\item  %Quel est le coût de production de $900$~pièces ?
Le coût de production de $900$~pièces est environ égal à 120 milliers d'euros.

\item  %Quelle fabrication hebdomadaire correspond à un coût de production de \nombre{90000}~\euro ?
La fabrication hebdomadaire correspondant à un coût de production de \nombre{90000}~\euro{} est d'environ 7 centaines, sit environ 700 pièces.

\item  %Combien l'entreprise doit-elle fabriquer et vendre de pièces pour être bénéficiaire ?
Pour que l'entreprise soit bénéficiaire, il faut que la recette soit supérieure au coût, donc pour x compris entre 2 et 14, soit entre 200 et 1400 pièces environ.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

On admet que la fonction $C$ définie sur l'intervalle [0 ; 20] est donnée par :
\[ C(x) = 0,5x^2 + 6,5x + 10 + 4,5\ln (x + 1).\]

%On rappelle que le coût de production, en milliers d'euros, est le nombre $C(x),~ x$ étant le nombre de centaines de pièces produites ($x$ est compris entre $0$ et $20$~centaines de pièces). On admet que toutes les pièces produites sont vendues.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que le bénéfice est donné par la fonction $B$, définie sur [0 ~;~ 20] par :
		
%\[B(x) = - 0,5x^2 + 8,5x - 10 - 4,5\ln (x + 1).\]
Le bénéfice est $B(x)=R(x)-C(x)\\
=15x-\left(0,5x^2 + 6,5x + 10 + 4,5\ln (x + 1)\right)\\
=15x-0,5x^2 - 6,5x - 10 - 4,5\ln (x + 1)\\
=\boxed{\textcolor{red}{- 0,5x^2 + 8,5x - 10 - 4,5\ln (x + 1)}}$.

On note $B'$ la fonction dérivée de $B$ sur l'intervalle [0 ~;~ 20].
		\item  %Calculer $B'(x)$.
		$B'(x)=-0,5\times 2x+8,5-4,5\times \dfrac{1}{x+1}\\
		=\boxed{\textcolor{red}{-x+8,5-\dfrac{4,5}{x+1}}}$.
		
		\item  %Vérifier que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0 ; 20], $B'(x) = \dfrac{(x + 0,5)(8 - x)}{x+1}$.
	En mettant au même dénominateur, on obtient :\\
	$B'(x)=\dfrac{(-x+8,5)(x+1)-4,5}{x+1}\\
	=\dfrac{-x^{2}-x+8,5x+8,5-4,5}{x+1}=\dfrac{-x^{2}+7,5x+4}{x+1}$.\\
	Or : $ \dfrac{(x + 0,5)(8 - x)}{x+1}=\dfrac{8x-x^{2}+4-0,5x}{x+1}\\
	=\dfrac{-x^{2}+7,5x+4}{x+1}$.\\
	On en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{B(x)= \dfrac{(x + 0,5)(8 - x)}{x+1}}}$.
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  %Justifier que le signe de $B'(x)$ est celui de $(8 - x)$ sur l'intervalle [0 ~;~  20].
		Sur [0~;~20], $x+0,5$ est positif de même que $x+1$, donc $B'(x)$ est du signe de $8-x$.
		\item % En déduire le signe de $B'(x)$ puis le tableau de variation de $B$ sur l'intervalle [0 ~;~ 20].
		$8-x$ est positif pour $x\leqslant 8$ et négatif pour $x\geqslant 8$, nul pour $x=8$.\\
On en déduit le tableau de variation de $B$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&8&&20\\
\hline
B'(x)&&+&\z&-&\\
\hline
\m{B(x)}&-10&\c&\h{B(8)\approx 16,112}&\d&\approx -53,7\\
\end{variations}
\end{center}
 	\end{enumerate}
\item %Pour quelle fabrication hebdomadaire le bénéfice est-il maximal ? Quel est ce bénéfice maximal à l'euro près ?
Le bénéfice est maximal pour $x=8$, donc une fabrication hebdomadaire de 800 pièces ; ce bénéfice maximal est alors de 16,1212 milliers d'euros, soit environ \numprint{16112} euros
\end{enumerate}


\end{multicols}
{}
	
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.03cm}
\begin{pspicture}(-1,-10)(21,340)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=20]{->}(0,0)(-1,-10)(21,320)
\multido{\n=0+0.5}{43}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.6pt](\n,-10)(\n,320)}
\multido{\n=-10+10}{34}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.6pt](-1,\n)(21,\n)}
\uput[d](21,0){$x$} \uput[l](0,320){$y$} \uput[u](18,0){Nombre de centaines de pièces}\rput{90}(-2.5,300){milliers d'euros}
\psplot{0}{18.5}{x 2 exp 0.5 mul 6.5 x mul add 10 add x 1 add ln 4.5 mul add}
\psplot{0}{20}{15 x mul}
\uput[d](19,280){$R_{1}$} \uput[d](18.8,320){$C_{1}$}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](9,0)(9,119,36)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](9,119,36)(0,119,36)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](7.05,90)(0,90)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](7.05,90)(7.05,0)
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\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](13.79,206.88)(13.79,0)
\end{pspicture}

\end{center}
\label{fin}
\end{document}  