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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TCFE : Contrôle (dérivation et statistiques)}}\end{center}

\subsection{}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

%\noindent  Un artisan fabrique des objets. Il ne peut pas en produire plus de 70 par semaine, On suppose que tout objet fabriqué est vendu. \\
%Le coût de production de $x$ \textbf{dizaines} d'objets, en milliers d'euros, est modélisé par la fonction $f$, définie sur l'intervalle [0~;~7]. Sa courbe représentative $\mathscr{C}$ est donnée à la fin de l'exercice. 

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item % Par lecture graphique, donner le coût de production de 50 objets. 
50 objets correspondent à $x=5$ ; par lecture graphique, on trouve une ordonnée correspondante de $y\approx 3,8$ qui correpond à environ \fbox{\textcolor{red}{\numprint{3800} \euro}}.

\item %Par lecture graphique, donner le nombre d'objets  produits pour un coût de \numprint{3000} euros . 
\numprint{3000} euros correspondent à $y=3$. Le point de la courbe ayant pour ordonnée 3 a une abscisse environ égale à 4,3, qui correspond à \fbox{\textcolor{red}{43}} objets.

\end{enumerate}

\item Chaque objet est vendu 80 euros. On note $g(x)$ la recette obtenue par la vente de $x$ dizaines d'objets, en milliers d'euros. 

\begin{enumerate}
\item %Justifier que $g(x) =0,8x$.
Un objet est vendu 80 \euro, donc 10 objets sont vendus 800 \euro, soit 0,8 milliers d'euros. Par conséquent, $\boxed{\textcolor{red}{g(x)=0,8x}}$.

\item %Tracer dans le repère de l'annexe la droite $\mathscr{D}$ d'équation $y=0,8x$.
Voir graphique.

\item %Par lecture graphique. déterminer à quel intervalle doit  appartenir $x$ pour que l'artisan réalise un bénéfice. 
L'artisan réalise un bénéfice lorsque le prix de vente est supérieur au coût de fabriaction, donc lorsque la droite que l'on vient de tracer est au-dessus de la courbe de coût ; on trouve que $x$ doit appartenir à \fbox{\textcolor{red}{[0,5~;~5,4]}} environ, donc pour une fabrication comprise entre 5 et 54 objets.
\end{enumerate}

\item On admet que la fonction $f$ est définie, pour $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~7], par :\[f(x)=0,1x^{2} + 0,2x + 0,3.\] 
Le bénéfice réalisé par la production et la vente de $x$ dizaines d'objets, en milliers d'euros, est modélisé par une fonction $B$ définie sur l'intervalle [0~;~7]·
\begin{enumerate}
\item %Montrer que \[B(x) = - 0,1x^{2} + 0,6x + 0,3.\]
Le bénéfice est $B(x)=g(x)-f(x)\\
=0,8x-\left(0,1x^{2} + 0,2x + 0,3\right)\\
=0,8x-0,1x^{2}-0,2x-0,3=\boxed{\textcolor{red}{-0,1x^{2}+0,6x-0,3}}$.

\item %Calculer $B'(x)$ où $B'$ est la dérivée de la fonction $B$.
$B'(x)=-0,1\times 2x+0,6\times 1$ donc $\boxed{\textcolor{red}{B'(x)=-0,2x+0,6}}$.

%\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans !'évaluation.}\\
%Pour quel nombre d'objets fabriqués et vendus le bénéfice est-il maximal? 
Étudions les variations de $B$ en étudiant le signe de $B'$.\\
$B'$ est une fonction affine décroissante (coefficient directeur négatif) ; $B'(x)=0$ pour $x=3$.\\
Tableau de variation sur [0~;~7] :
\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&3&&7\\
\hline
B'(x)&&+&\z&-&\\
\hline
\m{B(x)}&_{0,3}&\c&\h{0,6}&\d&-1\\
\end{variations}
\end{center}
Le bénéfice est maximal pour $x=3$ et vaut 0,6 ; il est donc de 600 euros pour la vente de 30 objets.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.9cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(9,7)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-1)(9,7)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](0,0)(-1,-1)(9,8)%grille
\uput[dl](0,0){$O$}
\psplot[plotpoints=200,linewidth=1.5pt,linecolor=red]{0.0}{7.0}{0.1*x^2+0.2*x+0.3}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](5,3.8)(0,3.8)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](5,3.8)(5,0)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](4.3,3)(0,3)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](4.3,3)(4.3,0)
\psplot{0}{7}{0.8*x}
\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(3,1.8)(3,2.4)
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}

\subsection{}
Le tableau suivant donne le nombre de clients du téléphone mobile en France atteint à la
fin de chaque année.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Année&1998&1999&2000&2001&2002&2003&2004&2005\\
\hline
Rang de l'année $x_{i}$&0&1&2&3&4&5&6&7\\
\hline
Nombre de clients en millions $y_{i}$&11,5&20,6&29,7&37,0&39,6&41,7&44,5&48,0\\
\hline
\end{tabularx}
\hfill Source : ARCEP observatoire des mobiles

\end{center}



%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}
\item %Déterminer le taux d'évolution du nombre de clients de téléphonie mobile de 1998 à 2005.\\
%On arrondira le résultat à 0.1\:\%.
Le taux d'évolution du nombre de clients de téléphonie mobile de 1998 à 2005 est : \\
$\dfrac{48-11,5}{11,5}\approx 3,1739$ donc environ 317,39\:\%.

\item %Donner les coordonnées du point moyen $G$ du nuage associé à la série statistique.\\
%On arrondira les valeurs au dixième. On ne demande pas de justifier.
Les coordonnées du point moyen sont G(3,5~;~34,1) (arrondies au dixième).

\item %Représenter le nuage de points associée à la série dans un repère orthogonal. Placer le point $G$.
Nuage de points :
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.05,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-10)(10,80)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-1,-10)(10,75)%grille
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Dy=10]{->}(0,0)(10,75)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](0,11.5)(1,20.6)(2,29.7)(3,37)(4,39.6)(5,41.7)(6,44.5)(7,48)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=red](3.5,34.1)
\uput[d](3.5,34.1){G}
\psplot[linecolor=blue]{0}{9}{4.92*x+16.84}
\psplot[linecolor=red]{0}{7}{5.21*x+11.5}
\uput[d](0,11.5){A}
\uput[d](7,48){B}
\end{pspicture}

\end{center}

\item %Déterminer une équation de la droite $\mathscr{D}$ d'ajustement  obtenue par la méthode des moindres carrés. (Arrondir les coefficients au centième).
Une équation de la droite $\mathscr{D}$ d'ajustement  obtenue par la méthode des moindres carrés, obtenue à la calculatrice est : \[y=4,92x+16,84.\]

\item %Tracer $\mathscr{D}$ dans le repère précédent.
On trace $\mathscr{D}$ dans le repère précédent.
	
\item %En supposant que ce modèle reste valable pour 2006 et 2007, prévoir le nombre de clients pour la fin de l'année 2007. Indiquer la méthode utilisée.
On suppose que le modèle reste valable piur les deux années suivantes ; pour prévoir le nombre de clients en 2007 qui correspond à un rang 9, on remplace $x$ par 9 dans l'équation obtenue :\\
$4,92\times 9+16,84\approx 61,1$

\item On note A(0~;~11.5) et B(7~;~48) les points extrêmes du nuage.
\begin{enumerate}
\item %Déterminer le coefficient directeur de la droite (AB).\\
Le coefficient directeur de la droite (AB) est $\dfrac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{36,5}{7}}}$.\\
On admet que la droite (AB) a pour équation approximativement $y=5.21x+11.5$.

\item %En déduire une nouvelle estimation du nombre de clients du téléphone mobile pour la fin 2007.\\
Une nouvelle estimation du nombre de clients du téléphone mobile pour la fin 2007 obtenue avec cette nouvelle droite est \\
$5.21\times 9+11.5=\boxed{\textcolor{red}{58,39}}$.
\end{enumerate}

\item %À la fin de l'année 2007, on a dénombré 58.7 millions de clients du téléphone mobile.
%Quelle était la meilleure estimation ?
58,7 est plus proche de 58,39 que 61,1 donc la meilleure estimation a été obtenue avec la droite (AB).
\end{enumerate}

%\end{multicols}

\subsection{}%Nouvelle Calédonie novembre 2001
Le tableau ci-dessous donne la dépense de consommation finale des ménages
fran\c{c}ais en biens d'équipement pour les années 1993 à 1998.

\begin{center} \begin{tabular}{|l|*{6}{c|}}\hline
Année & 1993 & 1994 & 1995 & 1996 & 1997 &1998 \\ \hline
Rang de l'année $x_i$&	 1& 2&	3&   4&	5&	6\\ \hline
Dépense $y_i$ en milliards de francs&	34,6&	35,8& 38,8 & 40,5 & 41,5 & 
46,1\\ \hline
\end{tabular} \end{center}
\begin{flushright} {\tiny (Source INSEE, Comptes Nationaux)} 
\end{flushright}

%\noindent \textsl{Le détail des calculs statistiques, à effectuer à la machine, n'est
% pas demandé.}


\begin{enumerate} \item \begin{enumerate} 
\item Le nuage de points a été représenté ci-dessous.
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-0.5,28)(9,48)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=34,Dy=1]{->}(0,30)(9,48)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](1,34.6)(2,35.8)(3,38.8)(4,40.5)(5,41.5)(6,46.1)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](3.5,39.55)
\uput[d](3.5,39.55){G}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=red](2,36.4)
\uput[d](2,36.4){G$_{1}$}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=red](5,42.7)
\uput[d](5,42.7){G$_{2}$}
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](0,30)(9,48)%grille
\psplot[linecolor=red]{1}{7}{2.1*x+32.2}
\end{pspicture}

\end{center}


\item %Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage et placer ce point sur le graphique.
Les coordonnées du point moyen G du nuage sont : $\boxed{\textcolor{red}{\text{G}(3,5~;~39,55)}}$.
%On veut réaliser un ajustement affine de ce nuage de points afin d'obtenir une prévision pour l'année 1999 de la dépense des ménages fran\c{c}ais en biens d'équipement.

\end{enumerate}

\item Dans cette question on utilise la méthode d'ajustement dite de la droite de
Mayer.

\begin{enumerate} \item %On désigne par G$_1$ le point moyen des trois premiers points (M$_1$, 
%M$_2$ et M$_3$) du nuage et par G$_2$ le point moyen des trois derniers points 
%(M$_4$, M$_5$ et M$_6$) du nuage.

%Calculer les coordonnées de G$_1$ et G$_2$ puis placer ces deux points sur le graphique.
Les coordonnées de G$_1$ et G$_2$ sont : $\boxed{\textcolor{red}{\text{G}_{1}(2~;~36,4)}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{\text{G}_{2}(5~;~42,7)}}$

\item %Démontrer que l'équation réduite de la droite (G$_1$G$_2$) est $y = 2,1x +  32,2$.
Le coefficient directeur de la droite $\left(\text{G}_{1}\text{G}_{2}\right)$ est : \\
$m=\dfrac{y_{G_{1}}-y_{G_{2}}}{x_{G_{1}}-x_{G_{2}}}=\dfrac{42,7-36,4}{5-2}=\dfrac{6,3}{3}=2,1$.\\
L'équation de la droite est alors $y=2,1x+p$.\\
Comme $G_{1}$ appartient à cette droite, ses coordonnées vérifient l'équation :\\
$2,1\times 2+p=36,4$ donc $p=36,4-4,2=32,2$.\\
L'équation de la droite de Mayer est $\boxed{\textcolor{red}{y = 2,1x +  32,2}}$.
Tracer (G$_1$G$_2$) sur le graphique.

\item %Calculer la prévision pour l'année 1999 de la dépense des ménages fran\c{c}ais en biens d'équipement obtenue en utilisant la droite (G$_1$G$_2$).
1999 correspond à un rang égal à 7 ; pour avoir une estimation de la dépense des ménages, on remplace $x$ par 7 dans l'équation de la droite de Mayer : \\
$2,1\times 7+32,2=14,7+32,2=\boxed{\textcolor{red}{46,9}}$.\\
On peut prévoir une dépense des ménages fran\c cais de 45,9 milliards de francs en 1999.

\end{enumerate}

\end{enumerate}





\label{fin}
\end{document}  