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%Sujet aimablement fourni par l'académie de Martinique
%Tapuscrit Denis Vergès
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\def\e{\text{e}}
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\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du devoir \no 2}}\end{center}

\subsection{}
\begin{enumerate}
\item La valeur de reprise baisse de 20\\\% par an : le coefficient multiplicateur associé est $c=1-\dfrac{20}{100}=0,8$.
\begin{enumerate}
\item On en déduit que $R_{1}=R_{0}\times 0,8=\numprint{45000}\times 0,8=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{36000}}}$.

\item Pour tout $n$, on a $R_{n+1}=R_{n}\times 0,8$ donc la suite $\left(R_{n}\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{géométrique}}, de raison $q=0,8$ et de premier terme $R_{0}=\numprint{45000}$.

\item On en déduit que, pour tout $n$ : $R_{n}=R_{0}q^{n}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{R_{n}=\numprint{45000}\times 0,8^{n}}}$.
\end{enumerate}

\item Le prix de la machine augmente de \numprint{1000} \euro{} par an.\\
On a $P_{0}=\numprint{45000}$ ; pour tout $n$, $P_{n+1}=P_{n}+\numprint{1000}$ donc la suite $\left(P_{n}\right)$ est arithmétique, de raison $r=\numprint{1000}$ et de premier terme $P_{0}=\numprint{45000}$.\\
On en déduit : $P_{n}=P_{0}+nr$ donc $\boxed{\textcolor{red}{P_{n}=\numprint{45000}+\numprint{1000}n}}$.

\item Cinq ans se sont écoulés, donc $n=5$.\\
Le prix de la machine est alors $P_{5}=\numprint{45000}+5\times \numprint{1000}=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{50000}}}$.\\
La valeur de reprise est $R_{5}=\numprint{45000}\times 0,8^{5}= \numprint{14745.6}$.\\
Il doit donc débourser la différence, soit $50000-14745,6=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{35524,40}\text{ \euro}}}$.

\item 
\begin{enumerate}
\item Au bout de 10 ans, la somme qu'il doit débourser est :\\
$P_{10}-R_{10}=\left(\numprint{45000}+10\times \numprint{1000}\right)-\numprint{45000}\times 0,8^{10}\approx \numprint{50168}$.

\item Le pourcentage d'augmentation entre les dépenses de 1999 et 2009 est : \\
$\dfrac{\numprint{50168}-\numprint{45000}}{\numprint{45000}}\approx \boxed{\textcolor{red}{11,4\:\%}}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}
Le dépôt initial est $p(0)=8$ \euro{} et chaque mois, le dépôt augmente de 2 \euro.\\
$p(n)$ est le dépôt à la fin du $n$\ieme{} mois.
\begin{enumerate}
\item On a $p(1)=8+2=\boxed{\textcolor{red}{10}}$ et $p(2)=p(1)+2=\boxed{\textcolor{red}{12}}$.

\item Pour tout $n$, $P(n+1)p(n)+2$ donc la suite $\left(p(n)\right)$ est arithmétique de raison $r=2$ et de premier terme $p(0)=8$.\\
Pour tout $n$, $p(n)=p(0)=nr$ donc $\boxed{\textcolor{red}{p(n)=8+2n}}$.

\item 
\begin{enumerate}
\item La somme totale contenue dans la tirelire au bous de deux mois est $p(0)+p(1)+p(2)=8+10+12=\boxed{\textcolor{red}{30}}~\euro$.

\item Au bout de $n$ mois, la somme contenue dans la tirelire est :\\
$S(n)=p(0)+p(1)+\cdots+p(n)$ ; c'est la somme de $n+1$ termes consécutifs d'une suite arithmétique, donc :\\
$S_{n}=\dfrac{(n+1)\left(p(0)+p(n)\right)}{2}=\dfrac{[n+1](8+2n+8)}{2}=\dfrac{(n+1)(2n+16)}{2}=\boxed{\textcolor{red}{(n+1)(n+8)}}$.
\end{enumerate}

\item Au bout de 9 mois, la somme contenue dans la tirelire est $(9+1)\times (9+8)=170$ \euro, alors qu'au bout de 8 mois, il n'aurait que $(8+1)(8+8)=9\times 16=144$ \euro.\\
Il doit bien attendre 9 mois pour acheter son vélo.
\end{enumerate}

\subsection{}
\begin{enumerate}
\item On doit multiplier le chiffre d'affaire de 2009 pour obtenir le chiffre d'affaire de 2010 par :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~}\cancel{0,23} 	&\textbf{b.~~}\ovalbox{0,77} 	&\textbf{c.~~} \cancel{$- 0,23$} 	&\textbf{d.~~} \cancel{1,23}\\
\end{tabularx}
{\scriptsize le coefficient multiplicateur associé à un taux d'évolution $t$ est $1+t$ ; ici $t=-0.23$}
\medskip
 
\item Le taux d'évolution entre 2011 et 2012 pour que le chiffre d'affaire de 2012 soit le même que celui de 2010 est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}  
\textbf{a.~~}  \cancel{$- 6,15$\,\% }&\textbf{b.~~}\ovalbox{ $- 5,79$\,\% }&\textbf{c.~~}\cancel{ $- 0,06$\,\%}&\textbf{d.~~} \cancel{0,94\,\%}\\
\end{tabularx}
{\scriptsize $\np{1.0615}\times (1+t)=1 $ d'où $t= \dfrac{1}{\np{1.0615}}-1\approx -\np{0.05793}$}
\medskip 
\item Le taux d'évolution global entre 2009 et 2011 est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}  
\textbf{a.~~} \cancel{$16,85$\,\% }	&\textbf{b.~~} \cancel{$- 16,85$\,\%} 	&\textbf{c.~~}\cancel{ $18,26$\,\%}&\textbf{d.~~}\ovalbox{ $- 18,26$\,\%}\\
\end{tabularx}
{\scriptsize le coefficient multiplicateur global est $\np{0.77}\times \np{1.0615}\approx \np{0.81735}$ d'où  $t= \np{0.8174}-1=-\np{0.1826}$}
\medskip 
\item Le taux moyen semestriel entre 2009 et 2010 est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}  
\textbf{a.~~} \cancel{- 11,5\,\% }	&\textbf{b.~~} \cancel{11,5\,\% }	&\textbf{c.~~} \ovalbox{$- 12,25$\,\%}& \textbf{d.~~}\cancel{$- 4,26$\,\%}\\
\end{tabularx}
{\scriptsize Le coefficient multiplicateur pour l'année est \np{0,77}. Il y a deux semestres.  $(1 + t_m)^2=\np{0,77}$ d'où $t_m = 0,77^{\tfrac{1}{2}} - 1 \approx -\np{12,25}$.}
\medskip 

\end{enumerate}

\subsection{}
Un potier fabrique des théières et des coupes à fruits originales. Les théières et les coupes à fruits sont munies chacune d'une anse en rotin, fournie par un autre artisan. La fabrication d'une théière nécessite 1,8~kg de terre et 1~h de main d'\oe uvre. Tandis que celle d'une coupe à fruits nécessite 3,6~kg de terre et 30~min de main d'{\oe}uvre.

\medskip
 
Étant en rupture de stock, le potier ne dispose pour la semaine que de 162~kg de terre. Par ailleurs il n'a en réserve que 30~anses à théière et 40~anses à coupe à fruits. Enfin, il ne souhaite pas travailler plus de 39~h au cours de la semaine.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminons un système d'inéquations traduisant les contraintes pour la fabrication dans la semaine de 

$x$ théières et $y$ coupes à fruits. 

Le nombre de théières  ou de coupes fabriquées doit être entier. $x\in\N,\quad y\in\N$.

\'Ecrivons l'inéquation correspondant à la contrainte terre : $\np{1.8}x+\np{3.6}y\leqslant 162$ ou en simplifiant $x+2y\leqslant 90$.

\'Ecrivons l'inéquation correspondant à la contrainte main d'\oe uvre : $x+\np{0.5}y\leqslant 39$ ou  $2x+y\leqslant 78$.

\'Ecrivons les inéquations correspondant à la contrainte anse : $0\leqslant x\leqslant 30$ et $0\leqslant y\leqslant 40$ 
 
Le système  d'inéquations est donc $\begin{cases}x\in\N,\quad y\in\N\\x+2y\leqslant 90\\2x+y\leqslant 78\\0\leqslant x\leqslant 30\\0\leqslant y\leqslant 40

\end{cases}$



\item Les solutions du système précédent sont les coordonnées de certains points appartenant à la région grisée donnée en annexe 1.
 
Le potier ne peut pas fabriquer 15~théières et 38~coupes à fruits car le point correspondant  n'appartient pas à la zone grisée. L'inéquation  $x+2y\leqslant 90$ n'est pas vérifiée : $15+76=91$.
\item Le prix de vente d'une théière est de 45~\euro{} et celui d'une coupe à fruits de 63~\euro. Le potier souhaite maximiser son chiffre d'affaires. Il utilise un tableur pour déterminer le couple $(x~;~y)$ qui correspond au profit maximal.
 
Un extrait de la feuille de calcul est donné en annexe 2. 
	\begin{enumerate}
		\item La formule, entrée dans la cellule B1, recopiée vers la droite, puis vers le bas sur la plage B1~:~L11 est :  =45B\$12+63\$A1.
		\item On suppose que toute la production est vendue. Le potier doit fabriquer dans la semaine pour obtenir un chiffre d'affaires maximal 22 théières et 34 coupes à fruits. Le point de coordonnées (22,34) est le point d'intersection des droites frontières  des contraintes terre  et main d'\oe uvre. Il ne peut fabriquer plus  car  il a épuisé la quantité de terre  et d'heures dont il disposait. En traçant la droite d'équation $45x+63y=\np{3132}$
		nous pouvons constater  que, s'il fabrique moins de théières ou de coupes le  bénéfice  sera moindre. Les droites de bénéfice  sont toutes parallèles entre  elles.
		\item Son chiffre d'affaires est alors de \np{3132}~\euro.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=0.35cm,yunit=0.24cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(33,44)
\def\pshlabel#1{\footnotesize $#1$}
\def\psvlabel#1{\footnotesize $#1$}
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\psline(0,40)(10,40)(22,34)(30,18)(30,0)
\uput[u](30,0){Nombre de th\'ei\`eres}\uput[r](0,42){Nombre de coupes \`a fruits}
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\end{pspicture}

\end{center}

\label{fin}
\end{document}  