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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TCFE : contrôle sur la fonction $\ln$}}\end{center}

\subsection{}
Exprimer à l'aide de $\ln(2)$ les nombres suivants :\\
a) $\ln(8)\qquad~;~\qquad b) \ln\left(\dfrac{1}{16}\right)\qquad~;~\qquad c) \ln(\sqrt{2})$

\subsection{}
On place un capital de \numprint{1000} \euro{} à intérêts composés au taux annuel de 3\:\%.\\
On note $C_{n}$ la valeur acquise par ce capital au bout de $n$ années.

\begin{enumerate}

\item Exprimer $C_{n}$ en fonction de $n$.

\item Déterminer la plus petite valeur de $n$ pour laquelle la valeur acquise sera supérieure à \numprint{2500} \euro.\\
\emph{On utilisera les logarithmes pour répondre à la question.}

\end{enumerate}



\subsection{}

Calculer les dérivées des fonctions suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=\ln(x)+3x^{2}-5$ sur $]0~;~+\infty[$

\item $f(x)=\ln(2x+1)$ sur $\left]-\dfrac{1}{2}~;~+\infty\right[$

\item $f(x)=\ln\left(3x^{2}+5x+7\right)$ sur $\mathbb{R}$
\end{enumerate}

\subsection{}%Antilles septembre 2008
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [1~;~13] par :

\[ f(x) = x \ln (x) - 3x + 10. \]

Une entreprise fabrique du dissolvant chimique. Lorsque l'entreprise fabrique $x$ centaines de litres par jour, le \textbf{coût moyen} de production du litre est égal à $f(x)$ ($x$ est compris entre 1 centaine et 13 centaines). Ce coût est exprimé en euros. 

\begin{enumerate}
\item Si l'entreprise produit 500~litres par jour, quel sera le coût moyen de production du litre, en euros, arrondi au centime ? 
\item Montrer que $f'(x) = \ln(x) - 2$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle [1~;~13]. 

\item Rappel ; on note $\mathrm{e}$ le nombre tel que $\ln(\mathrm{e})=1$ $(\mathrm{e}\approx 2,72)$.\\
Montrer que $f'(x)$ s'annule pour $x=\mathrm{e}^{2}$.

\item Étudier le signe de $f'(x)$ puis établir le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle [1~;~13]. 
\item En déduire le nombre de litres à produire par jour pour que le coût moyen de production du litre soit minimum. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée au litre près. 

Préciser alors la valeur arrondie au centime du coût moyen de production du litre correspondant. 
\end{enumerate}

\newpage


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Une entreprise fabrique des pièces de haute technologie. La fabrication hebdomadaire est limitée à \nombre{2000}~pièces. Le prix de vente de $100$~pièces est fixé à \nombre{15000}~\euro.

 La recette en milliers d'euros, obtenue pour la vente de $x$ centaines de pièces est donc $R(x) =15x$.
 
 Le graphique fourni en annexe donne la représentation graphique $R_{1}$ de la fonction $R$ et la représentation graphique $C_{1}$ de la fonction coût de production notée $C$ sur l'intervalle [0~;~ 20].

\medskip

\textbf{Partie A :  lectures graphiques}

Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes :

\begin{enumerate}
\item  Quel est le coût de production de $900$~pièces ?

\item  Quelle fabrication hebdomadaire correspond à un coût de production de \nombre{90000}~\euro ?

\item  Combien l'entreprise doit-elle fabriquer et vendre dc pièces pour être bénéficiaire ?
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

On admet que la fonction $C$ définie sur l'intervalle [0 ; 20] est donnée par :
\[ C(x) = 0,5x^2 + 6,5x + 10 + 4,5\ln (x + 1).\]

On rappelle que le coût de production, en milliers d'euros, est le nombre $C(x),~ x$ étant le nombre de centaines de pièces produites ($x$ est compris entre $0$ et $20$~centaines de pièces). On admet que toutes les pièces produites sont vendues.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que le bénéfice est donné par la fonction $B$, définie sur [0 ~;~ 20] par :
		
\[B(x) = - 0,5x^2 + 8,5x - 10 - 4,5\ln (x + 1).\]

On note $B'$ la fonction dérivée de $B$ sur l'intervalle [0 ~;~ 20].
		\item  Calculer $B'(x)$.
		\item  Vérifier que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0 ; 20], $B'(x) = \dfrac{(x + 0,5)(8 - x)}{x+1}$.
	
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier que le signe de $B'(x)$ est celui de $(8 - x)$ sur l'intervalle [0 ~;~  20].
		\item  En déduire le signe de $B'(x)$ puis le tableau de variation de $B$ sur l'intervalle [0 ~;~ 20].
 	\end{enumerate}
\item Pour quelle fabrication hebdomadaire le bénéfice est-il maximal ? Quel est ce bénéfice maximal à l'euro près ?
\end{enumerate}

\end{multicols}
	
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.04cm}
\begin{pspicture}(-1,-10)(21,340)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=20]{->}(0,0)(-1,-10)(21,320)
\multido{\n=0+0.5}{43}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.6pt](\n,-10)(\n,320)}
\multido{\n=-10+10}{34}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.6pt](-1,\n)(21,\n)}
\uput[d](21,0){$x$} \uput[l](0,320){$y$} \uput[u](18,0){Nombre de centaines de pièces}\rput{90}(-2.5,300){milliers d'euros}
\psplot{0}{18.5}{x 2 exp 0.5 mul 6.5 x mul add 10 add x 1 add ln 4.5 mul add}
\psplot{0}{20}{15 x mul}
\uput[d](19,280){$R_{1}$} \uput[d](18.8,320){$C_{1}$}
\end{pspicture}

\end{center}
\label{fin}
\end{document}  