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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TCFE : Contrôle (dérivation et statistiques)}}\end{center}

\subsection{}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\noindent  Un artisan fabrique des objets. Il ne peut pas en produire plus de 70 par semaine, On suppose que tout objet fabriqué est vendu. \\
Le coût de production de $x$ \textbf{dizaines} d'objets, en milliers d'euros, est modélisé par la fonction $f$, définie sur l'intervalle [0~;~7]. Sa courbe représentative $\mathscr{C}$ est donnée à la fin de l'exercice. 

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item  Par lecture graphique, donner le coût de production de 50 objets. 

\item Par lecture graphique, donner le nombre d'objets  produits pour un coût de \numprint{3000} euros . 

\end{enumerate}

\item Chaque objet est vendu 80 euros. On note $g(x)$ la recette obtenue par la vente de $x$ dizaines d'objets, en milliers d'euros. 

\begin{enumerate}
\item Justifier que $g(x) =0,8x$.

\item Tracer dans le repère de l'annexe la droite $\mathscr{D}$ d'équation $y=0,8x$.

\item Par lecture graphique. déterminer à quel intervalle doit  appartenir $x$ pour que l'artisan réalise un bénéfice. 

\end{enumerate}

\item On admet que la fonction $f$ est définie, pour $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~7], par :\[f(x)=0,1x^{2} + 0,2x + 0,3.\] 
Le bénéfice réalisé par la production et la vente de $x$ dizaines d'objets, en milliers d'euros, est modélisé par une fonction $B$ définie sur l'intervalle [0~;~7]·
\begin{enumerate}
\item Montrer que \[B(x) = - 0,1x^{2} + 0,6x + 0,3.\]

\item Calculer $B'(x)$ où $B'$ est la dérivée de la fonction $B$.

\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans !'évaluation.}\\
Pour quel nombre d'objets fabriqués et vendus le bénéfice est-il maximal? 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.9cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(9,7)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-1)(9,7)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](0,0)(-1,-1)(9,8)%grille
\uput[dl](0,0){$O$}
\psplot[plotpoints=200,linewidth=1.5pt,linecolor=red]{0.0}{7.0}{0.1*x^2+0.2*x+0.3}
%\psplot{0}{7}{0.8*x}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}

\subsection{}
Le tableau suivant donne le nombre de clients du téléphone mobile en France atteint à la
fin de chaque année.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Année&1998&1999&2000&2001&2002&2003&2004&2005\\
\hline
Rang de l'année $x_{i}$&0&1&2&3&4&5&6&7\\
\hline
Nombre de clients en millions $y_{i}$&11,5&20,6&29,7&37,0&39,6&41,7&44,5&48,0\\
\hline
\end{tabularx}
\hfill Source : ARCEP observatoire des mobiles

\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}
\item Déterminer le taux d'évolution du nombre de clients de téléphonie mobile de 1998
à 2005.\\
On arrondira le résultat à 0.1\:\%.

\item Donner les coordonnées du point moyen $G$ du nuage associé à la série statistique.\\
On arrondira les valeurs au dixième. On ne demande pas de justifier.

\item Représenter le nuage de points associée à la série dans un repère orthogonal. Placer
le point $G$.

\item Déterminer une équation de la droite $\mathscr{D}$ d'ajustement  obtenue par la méthode des moindres carrés. (Arrondir les coefficients au centième).

\item Tracer $\mathscr{D}$ dans le repère précédent.

\item En supposant que ce modèle reste valable pour 2006 et 2007, prévoir le nombre de
clients pour la fin de l'année 2007. Indiquer la méthode utilisée.

\item On note A(0~;~11.5) et B(7~;~48) les points extrêmes du nuage.
\begin{enumerate}
\item Déterminer le coefficient directeur de la droite (AB).\\
On admet que la droite (AB) a pour équation approximativement $y=5.21x+11.5$.

\item En déduire une nouvelle estimation du nombre de clients du téléphone mobile
pour la fin 2007.
\end{enumerate}

\item À la fin de l'année 2007, on a dénombré 58.7 millions de clients du téléphone mobile.
Quelle était la meilleure estimation ?

\end{enumerate}

\end{multicols}

\subsection{}%Nouvelle Calédonie novembre 2001
Le tableau ci-dessous donne la dépense de consommation finale des ménages
fran\c{c}ais en biens d'équipement pour les années 1993 à 1998.

\begin{center} \begin{tabular}{|l|*{6}{c|}}\hline
Année & 1993 & 1994 & 1995 & 1996 & 1997 &1998 \\ \hline
Rang de l'année $x_i$&	 1& 2&	3&   4&	5&	6\\ \hline
Dépense $y_i$ en milliards de francs&	34,6&	35,8& 38,8 & 40,5 & 41,5 & 
46,1\\ \hline
\end{tabular} \end{center}
\begin{flushright} {\tiny (Source INSEE, Comptes Nationaux)} 
\end{flushright}

\noindent \textsl{Le détail des calculs statistiques, à effectuer à la machine, n'est
 pas demandé.}


\begin{enumerate} \item \begin{enumerate} 
\item Le nuage de points a été représenté ci-dessous.
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.9cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.5,28)(9,45)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=30,Dy=1]{->}(0,30)(9,45)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3](1,34.6)(2,35.8)(3,38.8)(4,40.5)(5,41.5)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](0,30)(9,45)%grille
\end{pspicture}

\end{center}


\item Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage et placer ce point sur
le graphique.

On veut réaliser un ajustement affine de ce nuage de points afin d'obtenir une
prévision pour l'année 1999 de la dépense des ménages fran\c{c}ais en biens
d'équipement.

\end{enumerate}

\item Dans cette question on utilise la méthode d'ajustement dite de la droite de
Mayer.

\begin{enumerate} \item On désigne par G$_1$ le point moyen des trois premiers points (M$_1$, 
M$_2$ et M$_3$) du nuage et par G$_2$ le point moyen des trois derniers points 
(M$_4$, M$_5$ et M$_6$) du nuage.

Calculer les coordonnées de G$_1$ et G$_2$ puis placer ces deux points sur le graphique.

\item Démontrer que l'équation réduite de la droite (G$_1$G$_2$) est $y = 2,1x + 
32,2$.

Tracer (G$_1$G$_2$) sur le graphique.

\item Calculer la prévision pour l'année 1999 de la dépense des ménages fran\c{c}ais
en biens d'équipement obtenue en utilisant la droite (G$_1$G$_2$).

\end{enumerate}

\end{enumerate}





\label{fin}
\end{document}  