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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TCFE : devoir \no 2}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Un industriel a acheté chez un fabricant, en 1999, une machine de type \og{}M\fg{}, neuve, pour un prix de \numprint{45000} \euro{}.


\begin{enumerate}
\item On appelle \og{} valeur de reprise\fg{} le prix de rachat par le fabricant de la machine M, usagée, pour l'achat d'une nouvelle machine M, neuve. cette valeur de reprise diminue chaque année de 20\:\% de la valeur qu'elle avait l'année précédente.\\
On note $R_{n}$ cette valeur de reprise, exprimée en euros, $n$ années après l'achat de la machine neuve. On admet que, lorsque la machine vient d'être achetée, sa valeur de reprise est égale au prix d'achat. Ainsi, $R_{0}=\numprint{45000}$.

\begin{enumerate}
\item  Vérifier que $R_{1}=\numprint{36000}$.

\item Donner l'expression de $R_{n+1}$ en fonction de $R_{n}$.

\item En déduire la nature de la suite $\left(R_{n}\right)$, puis exprimer $R_{n}$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}

\item Chez le fabricant, le prix de vente de la machine M neuve, exprimée en euros, augmentée de 1000 \euro{} chaque année. On note $P_{n}$ ce prix l'année \og{}1999+n\fg{}.\\
$P_{0}$ étant égal à \numprint{45000}, exprimer $P_{n+1}$ en fonction de $P_{n}$, puis $P_{n}$ en fonction de $n$.

\item Cinq ans se sont écoulés. On suppose que l'industriel projette d'acheter à nouveau une machine M, neuve, identique à celle achetée en 1999, tout en revendant cette dernière au fabricant.\\
Ces transactions s'effectuant dans les conditions des questions 1. et 2., quelle somme, en euros, l'industriel doit-il débourser ?

\item On constate qu'après 10 années écoulées, l'industriel serait obligé de débourser environ \numprint{50168} \euro{} pour acheter une machine M neuve, dans les conditions des questions 1. et 2.

\begin{enumerate}
\item  Donner le détail des calculs aboutissant à ce résultat.

\item Quel serait alors le pourcentage d'augmentation entre la dépense en 1999 et la dépense en 2009 ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}%Métropole, septembre 2007
Pierre se constitue une tirelire afin d'acheter un vélo qui coûte 150 ~\euro. 

Après un dépôt initial dans cette tirelire de 8~\euro, il décide qu'à la fin de chaque mois, il déposera une somme de plus en plus grande : la somme déposée à la fin de chaque mois sera augmentée de 2~\euro{} par rapport à celle du mois précédent. Ainsi, à la fin du premier mois, il déposera 10~\euro{} et la tirelire contiendra 18~\euro. 

\medskip

On note $p(0)$ le dépôt initial et $p(n)$ la somme déposée à la fin du $n$-ième mois. On obtient ainsi une suite notée $p$. 

\begin{enumerate}
\item  Calculer $p(1)$ et $p(2)$. 
\item  Montrer que la suite $p$ est arithmétique et donner sa raison. En déduire que $p(n) = 2n + 8$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle somme totale contiendra la tirelire au bout de deux mois ? 
		\item 	Montrer que la somme totale contenue dans la tirelire au bout de $n$ mois est $(n + 1)(n + 8)$. 
		\end{enumerate}
\item Un ami de Pierre lui fait remarquer qu'il devra attendre 9~mois pour pouvoir acheter son vélo. 

Justifier cette affirmation. 
\end{enumerate}

\subsection{}%Mercatique Antiles-Guyane septembre 2012
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
 
Pour chaque question, quatre réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte.
 
On vous demande de recopier sur votre copie celle que vous pensez correcte. \\
\textbf{\textcolor{red}{Vous justifierez chaque réponse.} }
 
\begin{center}\textbf{\textcolor{blue}{Dans cet exercice les pourcentages sont arrondis à \boldmath$0,01$ \unboldmath\,\%}}\end{center}
 
Entre 2009 et 2010 une entreprise a vu son chiffre d'affaire diminuer de 23\,\%. 

Entre 2010 et 2011 son chiffre d'affaire a augmenté de 6,15\,\%. 

En 2009 le chiffre d'affaire était de 572 128~\euro.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On doit multiplier le chiffre d'affaire de 2009 pour obtenir le chiffre d'affaire de 2010 par :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~}0,23 	&\textbf{b.~~}0,77 	&\textbf{c.~~} $- 0,23$ 	&\textbf{d.~~} 1,23\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Le taux d'évolution entre 2011 et 2012 pour que le chiffre d'affaire de 2012 soit le même que celui de 2010 est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}  
\textbf{a.~~}  $- 6,15$\,\% &\textbf{b.~~} $- 5,79$\,\% &\textbf{c.~~} $- 0,06$\,\% 
&\textbf{d.~~} 0,94\,\%\\
\end{tabularx}

\medskip 
\item Le taux d'évolution global entre 2009 et 2011 est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}  
\textbf{a.~~} $16,85$\,\% 	&\textbf{b.~~} $- 16,85$\,\% 	&\textbf{c.~~} $18,26$\,\%&\textbf{d.~~} $- 18,26$\,\%\\
\end{tabularx}

\medskip 
\item Le taux moyen semestriel entre 2009 et 2010 est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}  
\textbf{a.~~} - 11,5\,\% 	&\textbf{b.~~} 11,5\,\% 	&\textbf{c.~~} $- 12,25$\,\%& 
\textbf{d.~~}$- 4,26$\,\%\\
\end{tabularx}

\end{enumerate}


\subsection{}%Mercatique Nouvelle Calédonie 2012
Un potier fabrique des théières et des coupes à fruits originales. Les théières et les coupes à fruits sont munies chacune d'une anse en rotin, fournie par un autre artisan. La fabrication d'une théière nécessite 1,8~kg de terre et 1~h de main d'?uvre. Tandis que celle d'une coupe à fruits nécessite 3,6~kg de terre et 30~min de main d'{\oe}uvre.

\medskip
 
Étant en rupture de stock, le potier ne dispose pour la semaine que de 162~kg de terre. Par ailleurs il n'a en réserve que 30~anses à théière et 40~anses à coupe à fruits. Enfin, il ne souhaite pas travailler plus de 39~h au cours de la semaine.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer un système d'inéquations traduisant les contraintes pour la fabrication dans la semaine de $x$ théières et $y$ coupes à fruits. 
\item Les solutions du système précédent sont les coordonnées de certains points appartenant à la région grisée donnée en annexe 1.
 
Le potier peut-il fabriquer 15~théières et 38~coupes à fruits ? 
\item Le prix de vente d'une théière est de 45~\euro{} et celui d'une coupe à fruits de 63~\euro. Le potier souhaite maximiser son chiffre d'affaires. Il utilise un tableur pour déterminer le couple $(x~;~y)$ qui correspond au profit maximal.
 
Un extrait de la feuille de calcul est donné ci-dessous . 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle formule a été entrée dans la cellule B1, recopiée vers la droite, puis vers le bas sur la plage B1~:~L11 ? 
		\item On suppose que toute la production est vendue. Déterminer à l'aide du graphique et du tableau donnés en annexes 1 et 2 le nombre de théières et de coupes à fruits que le potier doit fabriquer dans la semaine pour obtenir un chiffre d'affaires maximal. 
		\item Quel est alors ce chiffre d'affaires ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{multicols}

\begin{center}
\psset{unit=.43}
\begin{pspicture}(-1,-2)(33,44)
\def\pshlabel#1{\footnotesize $#1$}
\def\psvlabel#1{\footnotesize $#1$}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange](0,0)(33,44)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(33,44)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=200,Dy=200](0,0)(-1,-2)(33,44)
\psdots[dotscale=1.2](0,40)(10,40)(22,34)(30,18)(30,0)
\psline(0,40)(10,40)(22,34)(30,18)(30,0)
\uput[u](30,0){Nombre de th\'ei\`eres}\uput[r](0,42){Nombre de coupes \`a fruits}
\end{pspicture}

\vspace{0,5cm}


\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{11}{>{\centering \arraybackslash \small }X|}}\hline
&A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L\\ \hline
1&40&\numprint{3195}&\numprint{3240}&\numprint{3285}&\numprint{3330}&\numprint{3375}&\numprint{3420}&\numprint{3465}&\numprint{3510}&\numprint{3555}&\numprint{3600}&\numprint{3645}\\ \hline
2&39&\numprint{3132}&\numprint{3177}&\numprint{3222}&\numprint{3267}&\numprint{3312}&\numprint{3357}&\numprint{3402}&\numprint{3447}&\numprint{3492}&\numprint{3537}&\numprint{3582}\\ \hline
3&38&\numprint{3069}&\numprint{3114}&\numprint{3159}&\numprint{3204}&\numprint{3249}&\numprint{3294}&\numprint{3339}&\numprint{3384}&\numprint{3429}&\numprint{3474}&\numprint{3519}\\ \hline
4&37&\numprint{3006}&\numprint{3051}&\numprint{3096}&\numprint{3141}&\numprint{3186}&\numprint{3231}&\numprint{3276}&\numprint{3321}&\numprint{3366}&\numprint{3411}&\numprint{3456}\\ \hline
5&36&\numprint{2943}&\numprint{2988}&\numprint{3033}&\numprint{3078}&\numprint{3123}&\numprint{3168}&\numprint{3213}&\numprint{3258}&\numprint{3303}&\numprint{3348}&\numprint{3393}\\ \hline
6&35&\numprint{2880}&\numprint{2925}&\numprint{2970}&\numprint{3015}&\numprint{3060}&\numprint{3105}&\numprint{3150}&\numprint{3195}&\numprint{3240}&\numprint{3285}&\numprint{3330}\\ \hline
7&34&\numprint{2817}&\numprint{2862}&\numprint{2907}&\numprint{2952}&\numprint{2997}&\numprint{3042}&\numprint{3087}&\numprint{3132}&\numprint{3177}&\numprint{3222}&\numprint{3267}\\ \hline
8&33&\numprint{2754}&\numprint{2799}&\numprint{2844}&\numprint{2889}&\numprint{2934}&\numprint{2979}&\numprint{3024}&\numprint{3069}&\numprint{3114}&\numprint{3159}&\numprint{3204}\\ \hline
9&32&\numprint{2691}&\numprint{2736}&\numprint{2781}&\numprint{2826}&\numprint{2871}&\numprint{2916}&\numprint{2961}&\numprint{3006}&\numprint{3051}&\numprint{3096}&\numprint{3141}\\ \hline
10&31&\numprint{2628}&\numprint{2673}&\numprint{2718}&\numprint{2763}&\numprint{2808}&\numprint{2853}&\numprint{2898}&\numprint{2943}&\numprint{2988}&\numprint{3033}&\numprint{3078}\\ \hline
11&30&\numprint{2565}&\numprint{2610}&\numprint{2655}&\numprint{2700}&\numprint{2745}&\numprint{2790}&\numprint{2835}&\numprint{2880}&\numprint{2925}&\numprint{2970}&\numprint{3015}\\ \hline
12&y/x&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}


\label{fin}
\end{document}  