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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du sujet A}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}

Calculer les dérivées des fonctions suivantes : 

\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=2x^{3}+5x^{2}+3x-7$ sur $\mathbb{R}$\\
$f'(x)=2\times 3x^{2}+5\times 2x+3=6x^{2}+10x+3$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=6x^{2}+10x+3}}$

\item $f(x)=\dfrac{7}{x^{4}}=7\times \dfrac{1}{x^{4}}$ sur $]0~;~+\infty[$\\
$f'(x)=7\times \left(-\dfrac{4}{x^{5}}\right)=-\dfrac{28}{x^{5}}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=-\dfrac{28}{x^{5}}}}$

\item $f(x)=3x-\dfrac{5}{x}=3x-5\times \dfrac{1}{x}$ sur $\left]0~;~+\infty\right[$\\
$f'(x)=3-5\times \left(-\dfrac{1}{x^{2}}\right)=3+\dfrac{5}{x^{2}}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=3+\dfrac{5}{x^{2}}}}$

\item $f(x)=\dfrac{2x+1}{3x-7}$ sur $\left]\dfrac{7}{3}~;~+\infty\right[$\\
$f=\dfrac{u}{v}$ avec $\left\{\begin{array}{l}u(x)=2x+1\\v(x)=3x-7\end{array}\right.$\\
$f'=\dfrac{u'v-v'u}{v^{2}}$ avec $\left\{\begin{array}{l}u'(x)=2\\v'(x)=3\end{array}\right.$.\\
$f'(x)=\dfrac{2(3x-7)-3(2x+1)}{(3x-7)^{2}}=\dfrac{6x-14-6x-3}{(3x-7)^{2}}\\
=-\dfrac{17}{(3x-7)^{2}}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=-\dfrac{17}{(3x-7)^{2}}}}$

\item $f(x)=\left(3x^{2}+5x-1\right)^{5}$\\
$f=u^{n}$ avec $u(x)=3x^{2}+5x-1$ et $n=5$.\\
$f'=nu'u^{n-1}$ avec $u'(x)6x+5$\\
Donc : $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=5(6x+5)\left(3x^{2}+5x-1\right)^{4}}}$
\end{enumerate}

\subsection{}

%On donne ci-dessous la courbe représentative de $f$ dans un repère $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$, ainsi que la tangente T au point d'abscisse 3.\\
%\textbf{Lire graphiquement} la valeur de $f'(3)$ (les points marqués sur la tangente sont à coordonnées entières).
\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-4)(4,5)
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-3)(4,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-2,-4)(4,5)%grille
\uput[dl](0,0){$O$}
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0.7,0){$\overrightarrow{i}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}
\psplot[plotpoints=200,linewidth=1.5pt,linecolor=red]{-1.0}{4.0}{x^2-3*x+1}
\psplot{-1}{4}{(-8--3*x)/1}
\psdots(3,1)(2,-2)
\uput[r](-1,4.5){$\mathscr{C}_{f}$}
\uput[r](2,-2){T}
\end{pspicture*}
\end{center}
La tangente passe par les points de coordonnées (2~;~-2) et (3~;~1) donc le coefficient directeur de la tangente est $\dfrac{1-(-2)}{3-2}=\dfrac{3}{1}=3$. Or, le coefficient directeur de la tangente à la courbe en 3 est $f'(3)$, donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(3)=3}}$.

\subsection{}

Une fonction $f$ dérivable en 5 est telle que : \[f (5) = -3\text{ et }f'(5) =\dfrac{1}{2}.\]
%Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative $\mathscr{C}_{f}$ de $f$ en 5.
L'équation réduite de la tangente est \\
$y=f'(a)(x-a)+f(a)$ avec $a=5$, donc \\
$y=f'(5)(x-5)+f(5)$.\\
On en déduit $y=\dfrac{1}{2}(x-5)$+(-3) donc $\boxed{\textcolor{red}{y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{11}{2}}}$.

\subsection{}
Soient les fonctions $f$ et $g$ définies sur $]-\infty~;~0[$ par :
\[f(x)=x^2-x\text{ et }g(x)=\frac3x+5.\]
%On appelle $\mathscr{C}_{f}$ et $\mathscr{C}_{g}$ les courbes représentatives de $f$ et $g $ sur $]-\infty~;~0[$.\\
%Les deux courbes sont représentées ci-dessous.

\begin{enumerate}
\item Soit $A$ le point de $\mathscr{C}_{f}$ d'abscisse -1.\\
%Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe $\mathscr{C}_{f}$ en $A$.
L'équation réduite de la tangente à $\mathscr{C}_{f}$ en $A$ est :\\
$y=f'(-1)(x-(-1))+f(-1)$.\\
$f[-1]=(-1)^{2}-(-1)=1+1=2$ ; $f'(x)=2x-1$ donc $f'(-1)=-3$.\\L'équation de la tangente est alors : \\
$y=-3(x+1)+2$ donc $\boxed{\textcolor{red}{y=-3x-1}}$.

\item %Montrer que $A$ appartient aussi à la courbe $\mathscr{C}_{g}$.
$g(-1)=\dfrac{3}{-1}+5=-3+5=2=y_{A}$ donc $A\in\mathscr{C}_{g}$.

\item %Déterminer  l'équation réduite de la tangente à la courbe $\mathscr{C}_{g}$ en $A$.
L'équation réduite de la tangente à la courbe $\mathscr{C}_{g}$ en $A$ est $y=g'(-1)(x+1)+g(-1)$ avec $g(-1)=2$, $g'(x)=-\dfrac{3}{x^{2}}$ donc $g'(-1)=-3$.\\
L'équation de cette tangente est donc \\
$y=-3(x+1)+2$ donc $\boxed{\textcolor{red}{y=-3x-1}}$.

\item %Que remarque-t-on ?
Les deux tangentes ont la même équation, donc les deux courbes ont la même tangente en $A$ ; elles sont tangentes en $A$.
\end{enumerate}

%\begin{center}
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-5,-3)(1,5)
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-5,-3)(1,5)
%\psplot[plotpoints=200]{-5.0}{0.0}{x^2-x}
%\psplot[plotpoints=200]{-5.0}{-0.1}{3/x+5}
%\uput[r](-1.5,3.25){$\mathscr{C}_{f}$}
%\uput[d](-3,4){$\mathscr{C}_{g}$}
%\end{pspicture*}
%\end{center}




\subsection{}

%Pour chacune des fonctions, calculer $f'(x)$, étudier son signe et en déduire les variations de $f$ sur l'intervalle considéré.

\begin{enumerate}
\item $f(x)=x^{2}+5x-4$ sur $[-5~;~5]$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=2x+5}}$ ; $f'(x)=0$ pour $x=-\dfrac{5}{2}$.\\
On en déduit le tableau de variation :\\
$\begin{variations}
x&-5&&-\dfrac{5}{2}&&5\\
\hline
f'(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\h{-4}&\d&-\dfrac{41}{4}&\c&\h{46}\\
\end{variations}$

\item $f(x)=\dfrac{2x+3}{5x-4}$ sur $\left]\dfrac{4}{5}~;~10\right]$\\
$f'(x)=\dfrac{2(5x-4)-5(2x+3)}{((5x-4)^{2})}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{23}{(5x-4)^{2}}}}$\\
$f'(x)<0$ donc $f$ est décroissante sur $\left]\dfrac{4}{5}~;~10\right]$.
\begin{center}
\begin{variations}
x&\bb&\dfrac{4}{5}&&10\\
\hline
f'(x)&\bb&&-&\\
\hline
\m{f(x)}&\bb&&\d&\dfrac{1}{2}\\
\end{variations}
\end{center}

\item $f(x)=\dfrac{x^{2}}{2x+3}$ sur $\left]-\dfrac{3}{2}~;~10\right]$\\
$f'(x)=\dfrac{2x(2x+3)-2x^{2}}{(2x+3)^{2}}=\dfrac{4x^{2}+6x-2x^{2}}{(2x+3)^{2}}\\
=\dfrac{2x^{2}+6x}{(2x+3)^{2}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2x(x+3)}{(2x+3)^{2}}}}$\\
$2x=0$ pour $x=0$ et $x+3=0$ pour $x=-3$.\\
Tableau de variation :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\bb&-\dfrac{3}{2}&&0&&10\\
\hline
2x&\bb&&-&\z&-&\\
\hline
x+3&\bb&&+&\l&+&\\
\hline
(2x+3)^{2}&\bb&&+&\l&+&\\
\hline
f'(x)&\bb&&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\bb&&\d&0&\c&\h{\dfrac{100}{23}}\\
\end{variations}
\end{center}

\columnbreak
\item $f(x)=\dfrac{-x}{x^{2}+5x+9}$ sur $[-2~;~2]$\\
$f'(x)=\dfrac{-1\times \left(x^{2}+5x+9\right)+(2x+5)\times (-1)}{\left(x^{2}+5x+9\right)^{2}}\\
=\dfrac{x^{2}-9}{\left(x^{2}+5x+9\right)^{2}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{(x+3)(x-3)}{\left(x^{2}+5x+9\right)^{2}}}}$.\\

$x+3=0$ pour $x=-3$ ; $x-3=0$ pour $x=-3$.\\
-3 et 3 sont en dehors de l'intervalle [-2~;~2].\\
\begin{center}
\begin{variations}
x&-2&&2\\
\hline
x+3&&+&\\
\hline
x-3&&-&\\
\hline
\left(x^{2}+5x+9\right)^{2}&&+&\\
\hline
f'(x)&&-&\\
\hline
\m{f(x)}&\h{\dfrac{2}{3}}&\d&-\dfrac{2}{23}\\
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}


\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  