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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du contrôle (sujet B)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Calculer les dérivées des fonctions suivantes : 
\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=3x^{3}+4x^{2}+5x-5$ sur $\mathbb{R}$\\
$f'(x)=3\times 3x^{2}+4\times 2x+5$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=9x^{2}+8x+5}}$

\item $f(x)=\dfrac{3}{x^{5}}=3\times \dfrac{1}{x^{5}}$ sur $]0~;~+\infty[$\\
$f'(x)=3\times \left(-\dfrac{5}{x^{6}}\right)=-\dfrac{15}{x^{6}}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=-\dfrac{15}{x^{6}}}}$.

\item $f(x)=2x-\dfrac{7}{x}=2x-7\times \dfrac{1}{x}$ sur $\left]0~;~+\infty\right[$\\
$f'(x)=2-7\times \left(-\dfrac{1}{x^{2}}\right)=\boxed{\textcolor{red}{2+\dfrac{7}{x^{2}}}}$.

\item $f(x)=\dfrac{3x+1}{2x-7}$ sur $\left]\dfrac{7}{3}~;~+\infty\right[$\\
$f=\dfrac{u}{v}$ avec $\left\{\begin{array}{l}u(x)=3x+1\\v(x)=2x-7\end{array}\right.$.\\
$f'=\dfrac{u'v-v'u}{v^{2}}$ avec $\left\{\begin{array}{l}u'(x)=3\\v'(x)=2\end{array}\right.$\\
Alors $f'(x)=\dfrac{3(2x-7)-2(3x+1)}{(2x-7)^{2}}=\dfrac{6x-21-6x-2}{(2x-7)^{2}}\\
=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{23}{(2x-7)^{2}}}}$

\item $f(x)=\left(5x^{2}+4x-1\right)^{5}$\\
$f'(x)=u^{n}$ avec $u(x)=5x^{2}+4x-1$ et $n=5$.\\
$f'=nu'u^{n-1}$ avec $u'(x)=10x+4$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=5(10x+4)\left(5x^{2}+4x-1\right)^{4}}}$
\end{enumerate}


\subsection{}

%On donne ci-dessous la courbe représentative de $f$ dans un repère $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$, ainsi que la tangente T au point d'abscisse 3.\\
%\textbf{Lire graphiquement} la valeur de $f'(3)$ (les points marqués sur la tangente sont à coordonnées entières).
\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-4)(4,5)
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-3)(4,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-2,-4)(4,5)%grille
\uput[dl](0,0){$O$}
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0.7,0){$\overrightarrow{i}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}
\psplot[plotpoints=200,linewidth=1.5pt,linecolor=red]{-1.0}{4.0}{x^2-3*x+1}
\psplot{-1}{4}{(-8--3*x)/1}
\psdots(3,1)(2,-2)
\uput[r](-1,4.5){$\mathscr{C}_{f}$}
\uput[r](2,-2){T}
\end{pspicture*}
\end{center}
La tangente passe par les points de coordonnées \\
(2~;~-2) et (3~;~1) donc le coefficient directeur de la tangente est $\dfrac{1-(-2)}{3-2}=\dfrac{3}{1}=3$. Or, le coefficient directeur de la tangente à la courbe en 3 est $f'(3)$, donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(3)=3}}$.

\subsection{}

Une fonction $f$ dérivable en 3 est telle que : \[f (3) = -2\text{ et }f'(3) =\dfrac{1}{3}.\]
%Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative $\mathscr{C}_{f}$ de $f$ en 3.
L'équation réduite de la tangente est \\
$y=f'(a)(x-a)+f(a)$ avec $a=3$ donc \\
$y=f'(3)(x-3)+f(3)$.\\
Donc $y=\dfrac{1}{3}(x-3)+(-2)$ donc $y=\dfrac{1}{3}(x-3)-2$ d'où \\
$\boxed{\textcolor{red}{y=-\dfrac{1}{3}x-3}}$


\subsection{}
Soient les fonctions $f$ et $g$ définies sur $]-\infty~;~0[$ par :
\[f(x)=x^2-x\text{ et }g(x)=\frac3x+5.\]
%On appelle $\mathscr{C}_{f}$ et $\mathscr{C}_{g}$ les courbes représentatives de $f$ et $g $ sur $]-\infty~;~0[$.\\
%Les deux courbes sont représentées ci-dessous.

\begin{enumerate}
\item Soit $A$ le point de $\mathscr{C}_{f}$ d'abscisse -1.\\
%Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe $\mathscr{C}_{f}$ en $A$.
L'équation réduite de la tangente à $\mathscr{C}_{f}$ en $A$ est :\\
$y=f'(-1)(x-(-1))+f(-1)$.\\
$f[-1]=(-1)^{2}-(-1)=1+1=2$ ; $f'(x)=2x-1$ donc $f'(-1)=-3$.\\L'équation de la tangente est alors : \\
$y=-3(x+1)+2$ donc $\boxed{\textcolor{red}{y=-3x-1}}$.

\item %Montrer que $A$ appartient aussi à la courbe $\mathscr{C}_{g}$.
$g(-1)=\dfrac{3}{-1}+5=-3+5=2=y_{A}$ donc $A\in\mathscr{C}_{g}$.

\item %Déterminer  l'équation réduite de la tangente à la courbe $\mathscr{C}_{g}$ en $A$.
L'équation réduite de la tangente à la courbe $\mathscr{C}_{g}$ en $A$ est $y=g'(-1)(x+1)+g(-1)$ avec $g(-1)=2$, $g'(x)=-\dfrac{3}{x^{2}}$ donc $g'(-1)=-3$.\\
L'équation de cette tangente est donc $y=-3(x+1)+2$ donc $\boxed{\textcolor{red}{y=-3x-1}}$.

\item %Que remarque-t-on ?
Les deux tangentes ont la même équation, donc les deux courbes ont la même tangente en $A$ ; elles sont tangentes en $A$.
\end{enumerate}


\subsection{}

Pour chacune des fonctions, calculer $f'(x)$, étudier son signe et en déduire les variations de $f$ sur l'intervalle considéré.



\begin{enumerate}
\item $f(x)=x^{2}+3x-4$ sur $[-5~;~5]$\\
$\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=2x+3}}$\\
$2x+3=0$ pour $x=-\dfrac{3}{2}$.\\
On en déduit la tableau de variation :
\begin{center}
\begin{variations}
x&-5&&-\dfrac{3}{2}&&5\\
\hline
f'(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\h{6}&\d&-\dfrac{25}{4}&\c&\h{36}\\
\end{variations}
\end{center}

\item $f(x)=\dfrac{3x+2}{5x-4}$ sur $\left]\dfrac{4}{5}~;~10\right]$\\
$f'(x)=\dfrac{3(5x-4)-5(3x+2)}{(5x-4)^{2}}=\dfrac{15x-12-15x-10}{(5x-4)^{2}}\\
=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{22}{(5x-4)^{2}}}}$.\\$f'(x)<0$.\\
$f$ est donc décroissante sur $\left]\dfrac{4}{5}~;~10\right]$.\\
Tableau de variation :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\bb&\dfrac{4}{5}&&10\\
\hline
f'(x)&\bb&&-&\\
\hline
\m{f(x)}&\bb&&\d&\dfrac{17}{21}\\
\end{variations}
\end{center}

\item $f(x)=\dfrac{x^{2}}{3x+2}$ sur $\left]-\dfrac{3}{2}~;~10\right]$\\
$f'(x)=\dfrac{2x(3x+2)-3x^{2}}{(3x+2)^{2}}=\dfrac{6x^{2}+4x-3x^{2}}{(3x+2)^{2}}\\
=\dfrac{3x^{2}+4x}{[3x+2]^{2}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{x(3x+4)}{(3x+2)^{2}}}}$\\
$3x+4=0$ pour $x=-\dfrac{4}{3}$ qui n'est pas dans l'intervalle $\left]-\dfrac{3}{2}~;~10\right]$.\\
Tableau de variation
\begin{center}
\begin{variations}
x&\bb&-\dfrac{2}{3}&&0&&10\\
\hline
x&\bb&&-&\z&+&\\
\hline
3x+2&\bb&&+&\l&+&\\
\hline
(3x+2)^{2}&\bb&&+&\l&+&\\
\hline
f'(x)&\bb&&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\bb&&\d&0&\c&\h{\dfrac{25}{8}}\\
\end{variations}
\end{center}

\columnbreak
\item $f(x)=\dfrac{-x}{x^{2}+5x+16}$ sur $[-2~;~2]$\\
On obtient $f'(x)=\dfrac{-\left(x^{2}+5x+16\right)-(2x+5)\times (-x)}{\left(x^{2}+5x+16\right)^{2}}\\
=\dfrac{-x^{2}-5x-16+2x^{2}+5x}{\left(x^{2}+5x+16\right)^{2}}\\
=\dfrac{x^{2}-16}{\left(x^{2}+5x+16\right)^{2}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{(x+4)(x-4)}{\left(x^{2}+5x+16\right)^{2}}}}$.\\
$x+4$ s'annule en $-4$ qui est hors de $[-2~;~2]$.\\
$x-4$ s'annule en $4$ qui est hors de $[-2~;~2]$.\\
Tableau de variations :
\begin{center}
\begin{variations}
x&-2&&2\\
\hline
x+4&&-&\\
\hline
x-4&&-&\\
\hline
\left(x^{2}+5x+16\right)^{2}&&+&\\
\hline
f'(x)&&-&\\
\hline
\m{f(x)}&\h{\dfrac{1}{5}}&\d&-\dfrac{1}{15}\\
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  