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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction des exercices du stage de révision}}\end{center}

\tableofcontents

\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Pondichéry avril 2014}}
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.
 
Pour tout entier naturel $n$, on note $A_{n}$ le point d'affixe $z_{n}$ défini par : 
$z_{0} = 1\quad  \text{et}\quad  z_{n+1} = \left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i}\right)z_{n}$

On définit la suite $\left(r_{n}\right)$ par $r_{n} = \left|z_{n}\right|$ pour tout entier naturel $n$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item% Donner la forme exponentielle du nombre complexe $\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i}$. 

$\left| \dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\i \right|=\sqrt{\left(\dfrac{3}{4}\right )^2+ \left(\dfrac{\sqrt 3}{4}\right )^2}=
\sqrt{\dfrac{9}{16}+\dfrac{3}{16}} = \sqrt{\dfrac{12}{16}} = \sqrt{\dfrac{3}{4}}= \dfrac{\sqrt 3}{2}$

$\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\i = \dfrac{\sqrt 3}{2}\left ( \dfrac{\dfrac{3}{4}}{\dfrac{\sqrt 3}{2}} + \dfrac{\dfrac{\sqrt 3}{4}}{\dfrac{\sqrt 3}{2}}\i \right ) = \dfrac{\sqrt 3}{2}\left ( \dfrac{3}{4}\times \dfrac{2}{\sqrt 3} + \dfrac{\sqrt 3}{4} \times \dfrac{2}{\sqrt 3} \i \right ) = \dfrac{\sqrt 3}{2}\left ( \dfrac{\sqrt 3}{2} + \dfrac{1}{2} \i\right )$

Or $\cos \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt 3}{2}$ et $\sin \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$.

Donc le nombre complexe $\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\i$ a pour module $\dfrac{\sqrt 3}{2}$ et pour argument $\dfrac{\pi}{6}$ donc sa forme exponentielle est $\dfrac{\sqrt 3}{2} \mathrm{e}^{\i\frac{\pi}{6}}$.


\item 

	\begin{enumerate}

		\item% Montrer que la suite $\left(r_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
$r_{n+1}= \left | z_{n+1} \right| = \left | \left ( \dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt 3}{4}\i\right ) z_n \right | 
= \left | \dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt 3}{4}\i\right | \times \left | z_n \right |
= \dfrac{\sqrt 3}{2} r_n$

Donc la suite $(r_n)$ est géométrique de raison $q=\dfrac{\sqrt 3}{2}$ et de premier terme $r_0 = \left | z_0 \right | = 1$.
 
		\item% En déduire l'expression de $r_{n}$ en fonction de $n$. 
La suite $(r_n)$ est géométrique donc, pour tout $n$, $r_n=r_0 \times q^n$, donc $r_n=\left (\dfrac{\sqrt 3}{2}\right )^n$.

		\item% Que dire de la longueur O$A_{n}$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ ?
$OA_n = \left |z_n\right | = r_n = \left (\dfrac{\sqrt 3}{2}\right )^n$ 		

$(r_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{\sqrt 3}{2}$; or $-1 < \dfrac{\sqrt 3}{2\rule[-5pt]{0pt}{12pt}} < 1$ donc la suite $(r_n)$ converge vers 0.
La longueur $OA_n$ tend donc vers 0 quand $n$ tend vers $+\infty$.
		
	\end{enumerate} 
	
\item% On considère l'algorithme suivant :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|l|X|}\hline 
%Variables& $n$ entier naturel\\  
%&$R$ réel\\ 
%&$P$ réel strictement positif\\ \hline 
%Entrée& Demander la valeur de $P$\\ \hline  
%Traitement &$R$ prend la valeur 1\\ 
%&$n$ prend la valeur 0\\ 
%&Tant que $R > P$\\ 
%&\hspace{0,5cm}$n$ prend la valeur $n + 1$\\ 
%&\hspace{0,5cm}$R$ prend la valeur $\dfrac{\sqrt{3}}{2}R$\\ 
%&Fin tant que\\ \hline 
%Sortie &Afficher $n$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center} 
%
	\begin{enumerate}

		\item% Quelle est la valeur affichée par l'algorithme pour $P = 0,5$ ? 
On fait tourner l'algorithme donné dans le texte en prenant pour $P$ la valeur $0,5$:


\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\sp{\hspace*{0.5cm}}
$\begin{array}{|l|*4{c|}}
\cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{} & \sp n \sp  & \sp R \sp & \sp P \sp & \sp R>P \sp\\
 \hline
\text{Initialisations} & 0 & 1 & 0,5 & \text{Vrai}\\
\hline
\text{Traitement} & 1 & 0,866 & 0,5 & \text{Vrai} \\[-5pt]
 & 2 & 0,75 & 0,5 & \text{Vrai} \\[-5pt]
 & 3 & 0,6495 & 0,5 & \text{Vrai}\\[-5pt]
 & 4 & 0,5625 & 0,5 & \text{Vrai}\\[-5pt]
 & 5 & 0,487 & 0,5 & \text{Faux}\\
\hline
\text{Sortie} & \multicolumn{4}{|c|}{\text{Afficher }5}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

La valeur affichée par l'algorithme pour $P=0,5$ est 5.

		\item% Pour $P = 0,01$ on obtient $n = 33$. Quel est le rôle de cet algorithme ?
Cet algorithme s'arrête dès que $R \leqslant  P$ et affiche alors $n$, c'est-à-dire qu'il affiche la plus petite valeur de $n$ pour laquelle $R$ donc $r_n=OA_n$ est inférieur ou égal à $P$. 

On peut donc dire que $OA_{32} > 0,01$ et que $OA_{33} \leqslant  0,01$.		

Vérification à la calculatrice: $r_{32}\approx \numprint{0,01002}$ et $r_{33} \approx \numprint{0,00868}$.

	\end{enumerate} 

\item 

	\begin{enumerate}

		\item% Démontrer que le triangle O$A_{n}A_{n+1}$ est rectangle en $A_{n+1}$. 
On considère le triangle $OA_nA_{n+1}$.

$OA_n=r_n$ donc $(OA_n)^2=r_n^2$

$OA_{n+1} = r_{n+1}=\dfrac{\sqrt 3}{2}r_n$ donc $(OA_{n+1})^2=\dfrac{3}{4}r_n^2$

$A_nA_{n+1}=\left | z_{n+1} - z_n \right | = \left | \left ( \dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt 3}{4}\i \right ) z_n -z_n \right | = \left | \left ( \dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt 3}{4}\i - 1 \right ) z_n \right |
= \left | -\dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt 3}{4}\i \right | \times \left |z_n \right |$
 
$\phantom{A_nA_{n+1}}= \sqrt{ \left (-\dfrac{1}{4}\right )^2 + \left (\dfrac{\sqrt 3}{4} \right )^2} \times r_n
= \sqrt{\dfrac{1}{16} + \dfrac{3}{16}} r_n
= \sqrt{\dfrac{4}{16}}r_n = \dfrac{1}{2}r_n$
donc $(A_nA_{n+1})^2=\dfrac{1}{4}r_n^2$

$(A_nA_{n+1})^2+(OA_{n+1})^2 = \dfrac{1}{4}r_n^2+ \dfrac{3}{4}r_n^2 = r_n^2= (OA_n)^2$

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $OA_nA_{n+1}$ est rectangle en $A_{n+1}$.

		\item On admet que $z_{n} = r_{n}\mathrm{e}^{\i\frac{n\pi}{6}}$.
		 
%Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles $A_{n}$ est un point de l'axe des ordonnées. 

Le point $A_n$, d'affixe $z_n$, appartient à l'axe des ordonnées si et seulement si son argument est $\dfrac{\pi}{2}$ ou $\dfrac{3\pi}{2}$ modulo $2\pi$, c'est-à-dire $\dfrac{\pi}{2}$ modulo $\pi$, donc il peut s'écrire $\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ où $k\in \mathbb{Z}$.

Le nombre $z_n$ a pour argument $\dfrac{n\pi}{6}$; 
$\dfrac{n\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \iff
n=3 +6k$.

Mais $n$ est un entier naturel donc $k$ doit être strictement positif donc appartenir à $\mathbb{N}$. 

Donc si $n$ s'écrit $3+6k$ avec $k\in \mathbb{N}$, alors le point $A_n$ appartient à l'axe des ordonnées.

		\item% Compléter la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie, en représentant les points $A_{6}, A_{7}, A_{8}$ et $A_{9}$.
		 
%Les traits de construction seront apparents.

Le point $A_6$ a pour affixe $z_6$ qui a pour argument $\dfrac{6\pi}{6} = \pi$; ce point est donc sur l'axe des abscisses.
Comme le triangle $OA_5A_6$ est rectangle en $A_6$, on trace le cercle de diamètre $\left[ OA_5 \right]$; le point $A_6$ est à l'intersection de ce cercle et de l'axe des abscisses.

Le point $A_7$ a pour affixe $z_7$ qui a pour argument $\dfrac{7\pi}{6}$; donc les points $A_1$, $O$ et $A_7$ sont alignés. Le point $A_7$ se trouve donc à l'intersection du cercle de diamètre $\left[ OA_6 \right]$ et de la droite $(OA_1)$.

Etc. (Voir figure en annexe)

Remarque: les points $A_3$ et $A_9$ appartiennent à l'axe des ordonnées, ce qui correspond bien à la réponse trouvée à la question \textbf{4.b.}

	\end{enumerate} 

\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{unit=6cm}
\begin{pspicture*}(-0.6,-0.4)(1.1,0.8)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20](0,0)(-0.6,-0.4)(1.1,0.8)
\psline[showpoints=true](1;0)(0.866;30)(0.75;60)(0.6495;90)(0.5625;120)(0.487139;150)
%\psline(1;0)(0.866;30)(0;0)(0.75;60)(0.866;30)
%\psline(0.75;60)(0.6495;90)(0;0)(0.5625;120)(0.6495;90)
%\psline(0.5625;120)(0.487139;150)(0;0)
\uput[ur](1;0){$A_{0}$} 
\psline(0,0)(0.866;30) \uput[ur](0.866;30){$A_{1}$} 
\psline(0,0)(0.75;60) \uput[ur](0.75;60){$A_{2}$} 
\uput[ur](0.6495;90){$A_{3}$} 
\psline(0,0)(0.5625;120) \uput[ul](0.5625;120){$A_{4}$} 
\psline(0,0)(0.487139;150) \uput[ul](0.487139;150){$A_{5}$} 
\uput[dr](0,0){O}
\psline[arrowsize=3pt 4]{->}(0,0)(1,0) 

% construction des points supplémentaires
\psset{linestyle=dashed, dash=2pt 2pt, linecolor=red}
{\red
\pscircle(0.243569;150){0.243569}
\pscircle(0.210937;180){0.210937}
\pscircle(0.18267;210){0.18267}
\pscircle(0.1582;240){0.1582}
\psline(0,0)(0.866;210)
\psline(0,0)(0.75;240)
\psline[showpoints=true,linestyle=solid](0.487139;150)(0.421875;180)(0.36535;210)(0.3164;240)(0.274;270)
\uput[dl](0.421875;180){$A_{6}$} 
\uput[d](0.36535;210){$A_{7}$} 
\uput[dr](0.3164;240){$A_{8}$} 
\uput[dr](0.274;270){$A_{9}$} 
}
\end{pspicture*}
\end{center}



\subsection{\textcolor{blue}{Liban mai 2014}}
On considère la suite de nombres complexes $(z_n)$ définie par $z_0=\sqrt{3}-\mathrm{i}$ et pour tout entier naturel $n$:

\[z_{n+1}=(1+\mathrm{i})z_n\]


\textbf{Partie A}
\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n=\vert z_n \vert$.
\medskip

\begin{enumerate}
\item $u_0=\vert z_0 \vert= \left\vert \sqrt3-\mathrm{i}\right\vert = 2$.
\item $u_{n+1}= \left\vert z_{n+1}\right\vert= \left\vert (1+\mathrm{i})z_n\right\vert= \vert 1+\mathrm{i}\vert \times \vert z_n \vert=\sqrt2\vert z_n \vert=\sqrt2 u_n $ 
\item D'après le cours, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n = 2\left(\sqrt2\right)^n$ ; 
$(u_n)$ est la suite géométrique de raison $\sqrt{2}$ et de premier terme $u_0=2$.
\item $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $\sqrt2>1$ et de premier terme strictement positif, elle diverge donc vers $+\infty$.
\medskip

\item 

\fbox{
\begin{tabular}{lcl}
\textbf{Variables}&: &$u$ est un réel\\
&&$p$ est un réel\\
&& $n$ est un entier\\
 \textbf{Initialisation}&:& Affecter à $n$ la valeur 0\\
&& Affecter à $u$ la valeur 2\\
  \textbf{Entrée}&:&  Demander la valeur de $p$ \\
   \textbf{Traitement}&:& Tant que $u \leqslant p$ Faire\\
   && Affecter à $n$ la valeur $n+1$\\
   && Affecter à $u$ la valeur $\sqrt2\times u$\\
   && Fin du Tant Que\\
  \textbf{Sortie}&:&  Afficher n\\
\end{tabular}
}

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $z_1=(1+\mathrm{i})\times (\sqrt3-\mathrm{i})= 1+\sqrt3 + \mathrm{i}(\sqrt3-1)$.
\item  $z_0=2\left(\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac12\right)=2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi\slash 6}$
\medskip

$1+\mathrm{i}=\sqrt2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi\slash 4}$.
\medskip
 
$z_1= 2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi\slash 6} \times \sqrt2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi\slash 4}=2\sqrt2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi\slash 12}$.
 
\item Des deux questions précédentes, on obtient que
\[1+\sqrt3 + \mathrm{i}(\sqrt3-1)=2\sqrt2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi\slash 12}= 2\sqrt2 \Big(\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)+\mathrm{i}\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\Big)
 \]
D'où \[\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)= \dfrac{1+\sqrt3}{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2+\sqrt6}{4}\]
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Métropole juin 2014}}
\begin{enumerate}
				\item Nous avons une équation de degré 2, à coefficients réels. On va donc calculer le discriminant $\Delta$ du trinôme du second degré.\\
				$\Delta = 4^2 - 4 \times 1 \times 16 = 16 - 4 \times 16 = -3 \times 16 = -48$.\\
				Le discriminant étant strictement négatif, l'équation admet deux solutions complexes conjuguées, qui sont :
				$Z_1 = \dfrac{-4 - \i \sqrt{48}}{2} = \dfrac{-4 - 4\i \sqrt{3}}{2} = -2 - 2\i \sqrt{3}$ et $Z_2 = \overline{Z_1} = -2 + 2\i\sqrt{3}$.\\
				Présentons maintenant ces nombres sous leur forme exponentielle, en commençant par calculer le module de $Z_1$ :
				$\left|Z_1\right| = \sqrt{(-2)^2 + \left(-2\sqrt{3}\right)^2} = \sqrt{4 + 12} = 4.$\\
				On peut donc écrire : $Z_1 = 4 \times \left(\dfrac{-2}{4} + \i \dfrac{-2\sqrt3}{4} \right) = 4 \times \left(\dfrac{-1}{2} + \i \dfrac{-\sqrt3}{2} \right)$.\\
				Un argument de $Z_1$ sera donc un angle dont le cosinus est $\dfrac{-1}2$ et le sinus est $\dfrac{-\sqrt3}{2}$, donc $\pi + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{4\pi}{3}$ dont la mesure principale est $\dfrac{-2\pi}{3}$.\\
				La forme exponentielle de $Z_1$ est donc : $Z_1 = 4\mathrm{e}^{\frac{-2\i\pi}3}$, et puisque $Z_2$ est le conjugué de $Z_1$, d'après les propriétés des modules et arguments : $Z_2 = 4\mathrm{r}^{\frac{2\i\pi}3}$.
				L'équation admet donc deux solutions, qui sous leurs formes exponentielles sont : $Z_1 = 4\mathrm{e}^{\frac{-2\i\pi}3}$ et $Z_2 = 4\mathrm{e}^{\frac{2\i\pi}3}$.
				
				\item Si $a$ a pour module 2 et pour argument $\dfrac{\pi}{3}$, alors $a = 2\mathrm{e}^{\frac{\i\pi}3}$ et donc, d'après les propriété du module et des arguments, $a^2 = 2^2\mathrm{e}^{2\times \frac{\i\pi}3}$, donc on a $a^2 = Z_2$ et donc la forme algébrique de $a^2$ est $-2 + 2\i\sqrt3$. \\
				Le nombre $a$ est donc une solution à l'équation dont on parle dans cette question. L'autre solution sera donc $-a$, car $(-a)^2 = a^2$, donc si $a$ est une solution, $-a$ en sera une aussi.
				On va donc présenter les deux solutions sous forme algébrique, comme demandé :\\
				$a = 2\mathrm{e}^{\frac{\i\pi}3} = 2 \times \left( \dfrac12 + \i \dfrac{\sqrt3}{2} \right) = 1 + \i \sqrt3$ et $-a = -1 + \i \times \left(-\sqrt3\right)$.
				
				\item Soient $z_1$ et $z_2$ deux nombres complexes. Il existe donc quatre nombres réels $x_1$; $y_1$; $x_2$ et $y_2$ tels que $z_1 = x_1 + \i y_1$ et $z_2 = x_2 + \i y_2$.\\
							\begin{tabular}[t]{@{} l @{$~=~$} l}
									On a alors $z_1 z_2$ & $(x_1 + \i y_1)(x_2 + \i y_2)$\\
									&$ x_1 x_2 + \i x_1 y_2 + \i y_1 x_2+ \i^2y_1y_2$\\
									&$ (x_1 x_2 - y_1y_2) + \i (x_1y_2 + x_2y_1)$\\
						\end{tabular}\\
					Comme les nombres $x_1$, $x_2$, $y_1$ et $y_2$ sont réels, alors on peut définir les nombres $x_3 = x_1x_2 - y_1 y_2$ et $y_3 = x_1y_2 + x_2y_1$, qui sont réels également.\\
					On a donc écrit le produit $z_1 z_2$ sous la forme $x_3 + \i y_3$, où $x_3$ et $y_3$ sont des nombres réels, donc le conjugué de $z_1z_2$ est : \\
					$\overline{z_1z_2} = x_3 -\i y_3 = (x_1 x_2 - y_1y_2) - \i (x_1y_2 + x_2y_1)$.\\
					Par ailleurs, calculons le produit : $\overline{z_1}~\overline{z_2} = (x_1 - \i y_1)\times(x_2 - \i y_2)$\\
						$\overline{z_1}~\overline{z_2} = x_1 x_2 - \i x_1 y_2 - \i y_2 x_1 + (-\i)^2y_1 y_2 = (x_1 x_2 - y_1y_2) - \i (x_1y_2 + x_2y_1)=\overline{z_1z_2} $\\
					Nous avons donc démontré que pour deux nombres complexes quelconques $z_1$ et $z_2$, on a : $\overline{z_1}~\overline{z_2}=\overline{z_1z_2} $.\\
					\smallskip
					La seconde propriété sera démontrée par récurrence. Posons, pour tout entier naturel $n$ non nul la propriété $\mathcal{P}_n$, qui dit que pour tout complexe $z$, on a $\overline{z^n} = \left(\overline{\vphantom{z^n}z}\right)^n$.\\
					\emph{Initialisation :} Pour $n=1$, on a $z^1=z$, donc $\overline{z^1} = \overline{z\vphantom{z^1}} = \left(\overline{\vphantom{z^1}z}\right)^1$ : \emph{la propriété $\mathcal{P}_1$ est donc vraie}.\\
					\emph{Hérédité :} Pour un entier $k$ naturel non nul, on suppose vraie la propriété $\mathcal{P}_k$, c'est à dire que l'on suppose que pour tout complexe $z$, on a $\overline{z^k} = \left(\overline{z\vphantom{z^n}}\right)^k$.\\
					On souhaite maintenant démontrer que si cette propriété est vraie, alors la propriété suivante doit être vraie aussi.\\
					Soit $z$ un nombre complexe. On s'intéresse donc à $\overline{z^{k+1}}$. 
					On a $z^{k+1} = z^k \times z$, donc :\\
					\begin{tabular}[t]{@{} l @{$~=~$} l l}
						$\overline{z^{k+1}}$ & $ \overline{z^k \times z}$\\
						& $\overline{z^k} \times \overline{\vphantom{z^k}z}$& application de la propriété précédente.\\
						& $\left(\overline{z}\right)^k \times \overline{z}$& par hypothèse de récurrence.\\
						& $\left(\overline{z}\right)^{k+1}$& ce qui constitue la propriété $\mathcal{P}_{k+1}$.\\
					\end{tabular}\\
				
					Nous avons donc démontré que si la propriété $\mathcal{P}_{k}$ est vraie, cela implique que $\mathcal{P}_{k+1}$ l'est également : \emph{la propriété est héréditaire}.\\
					\emph{Conclusion :} La propriété est vraie au rang 1 et est héréditaire, donc, on peut donc dire que pour tout entier $n$ naturel non nul, et pour tout nombre complexe $z$, on a  $\overline{z^n} = \left(\overline{\vphantom{z^n}z}\right)^n$.
					
					\item Soit $z$ une solution de l'équation $(E)$, cela signifie que l'on a : $z^4 + 4z^2 + 16 = 0$. Vérifions maintenant si le conjugué de $z$ est une solution de l'équation: \\
					\begin{tabular}[t]{@{} l @{$~=~$} l l}
					$\overline{z}^4 + 4\overline{z}^2 + 16$&$\overline{z^4} + 4\overline{z^2} + 16$&dernière propriété démontrée.\\
					&$\overline{z^4} + \overline{4z^2} + 16$& \begin{tabular}[t]{@{}l}première propriété démontrée\\sachant que $4 = \overline{4}$, car 4 est réel.\\ \end{tabular}\\
					&$\overline{z^4 + 4 z^2 + 16}$&somme des conjugués.\\
					&$\overline{0}$& car $z$ est solution de $(E)$.\\
					&$0$& car $0$ est réel, donc est son propre conjugué.\\
					\end{tabular}\\
					
					On a établi à la question \textbf{2.} que les nombres $a$ et $-a$ sont tels que $a^2 = Z_2$ et $(-a)^2 = Z_2$.\\
					Comme par ailleurs on a dit que $Z_2$ est solution de l'équation $Z^2 + 4Z + 16 = 0$, cela signifie que $\left(a^2\right)^2 + 4\left(a^2\right) + 16 = 0$, donc que $a^4 + 4a^2 + 16 =0$, donc $a$ est solution de $(E)$ et de la même façon, $-a$ est aussi une solution de cette équation.\\
					En appliquant la propriété démontrée au début de cette question, on en déduit que les nombres $\overline{a}$ et $\overline{-a}$ sont également des solutions à cette équation.
					Nous avons donc 4 solutions à l'équation, qui sont distinctes : 
					$a = 1 + \i \sqrt3$; $-a = - 1 - \i \sqrt3$; $\overline{a} = 1 - \i \sqrt3$ et $\overline{-a} = -1 + \i \sqrt3$, donc puisqu'il y a au maximum 4 solutions à l'équation, celle ce ne peut avoir d'autre solution que celles trouvées, et donc l'équation $(E)$ a été résolue.
					
					
			\end{enumerate}
			
\subsection{\textcolor{blue}{Antilles-Guyane septembre 2014}}
\subsubsection*{Partie A}

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle 
$\left[0~;~ + \infty\right]$ par 
$f(x) = x\text{e}^{- x}$.
 
\begin{enumerate}
\item% Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. 
D'après le cours, $\lim_{x \to +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x} = +\infty$; donc $\lim_{x \to +\infty}\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}} = 0$ ce qui équivaut à  $\lim_{x \to +\infty} x\mathrm{e}^{-x} = 0$.

Donc $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$


\item% Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur $\cd 0~;~ + \infty\cd$ et en déduire le tableau de variations de $f$ sur $\cd 0~;~ + \infty\cd$.
La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ donc sur $\left[ 0~;~ + \infty\right[$ et :

$f'(x)= 1\times \mathrm{e}^{-x} + x\left (-1\times \mathrm{e}^{-x}\right ) = \mathrm{e}^{-x} -x\mathrm{e}^{-x} = \left (1-x\right )\mathrm{e}^{-x}$

Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{-x}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $1-x$;
$f(0) = 0$ et $f(1) = \mathrm{e}^{-1} \approx 0,37$

D'o% le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\cd 0~;~ + \infty\cd$:
\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&1&&\pI\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&\\
\hline
\m{f(x)}&0&\c&\h{\mathrm{e}^{-1}}&\d&0\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\end{enumerate}
%
%\bigskip
% 
On donne  la courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan ainsi que la droite $\Delta$ d'équation $y = x$.

%\bigskip
% 
%\textbf{Partie B}
%
%\medskip

\subsubsection*{Partie B}

Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On place sur le graphique, en utilisant la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et la droite $\Delta$, les points $A_{0},\, A_{1}$ et $A_{2}$ d'ordonnées nulles et d'abscisses respectives $u_{0},\, u_{1}$ et $u_{2}$.% Laisser les tracés explicatifs apparents. 

\begin{figure}
\centering \label{fig1}
\psset{xunit=4cm,yunit=8cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.2,-0.1)(2.5,0.6)
\multido{\n=0+1}{3}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](\n,0)(\n,1.1)}
\multido{\n=0.0+0.5}{3}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](0,\n)(2.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.1,-0.1)(2.5,1.1)
\psplot[linewidth=1.25pt]{0}{1.1}{x}
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=5000,linecolor=blue]{0}{2.5}{x 2.71828 x exp div}
\uput[ul](0.5,0.5){$\Delta$}
\uput[u](1.8,0.35){$\mathcal{C}_{f}$}
\psset{linecolor=red,linestyle=dashed}
\psline(1,0)(1,0.368)(0,0.368)
\psline(0.368,0.368)(0.368,0)
\psline(0.368,0.255)(0,0.255)
\psline(0.255,0.255)(0.255,0)
\uput*[d](1,0){\red $A_0$}
\uput*[d](0.368,0){\red $A_1$}
\uput*[d](0.255,0){\red $A_2$}
\uput[l](0,0.368){\red $u_1$}
\uput[l](0,0.255){\red $u_2$}
\psdots[linecolor=red](1,0)(0.368,0)(0.255,0)
\end{pspicture*}
\end{figure}

\item% Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n,\: u_{n} > 0$.
Soit $\mathcal P_n$ la propriété $u_n>0$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $u_0=1>0$ donc la propriété est vraie au rang 0.

\item On suppose la propriété vraie au rang $p\geqslant  0$, c'est-à -dire $u_p>0$.

Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{-x}>0$ donc pour tout réel $x>0$, $x\mathrm{e}^{-x}>0$ donc $f(x)>0$.

Or $u_{p+1}=f(u_p)$ et $u_p>0$ (hypothèse de récurrence); donc $f(u_p)>0$ et donc $u_{p+1}>0$.

La propriété est vraie au rang $p + 1$.

\item La propriété est vérifiée au rang 0, et elle est héréditaire pour tout $p\geqslant  0$; elle est donc vraie pour tout $n \geqslant  0$.

\end{list}

On a donc démontré que, pour tout entier naturel $n$, $u_n>0$.

\item% Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante. 
Pour tout réel $x>0$: 

$\begin{array}{l @{\ \iff\ } l l}
-x < 0 & \mathrm{e}^{-x} < \mathrm{e}^{0} & \text{croissance de la fonction exponentielle}\\
 & \mathrm{e}^{-x} < 1\\
 & x\mathrm{e}^{-x} < x & \text{car } x>0\\
 & f(x)<x
\end{array}$

Donc, pour tout $x>0$, $f(x)<x$; or, pour tout $n$, $u_n>0$ donc $f(u_n)<u_n$ ce qui veut dire que $u_{n+1}<u_n$. La suite $(u_n)$ est donc décroissante.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item% Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. 
La suite $(u_n)$ est décroissante, minorée par 0, donc, d'après le théorème de la convergence monotone, la suite $(u_n)$ est convergente.
		\item On admet que la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ est solution de l'équation $x\text{e}^{- x} = x$. 

%Résoudre cette équation pour déterminer la valeur de cette limite.

On résout l'équation $x\mathrm{e}^{-x}=x$:

$\begin{array}{@{} l @{\ \iff \ } l @{\ \iff \ } l}
x\mathrm{e}^{-x}=x & x \left (\mathrm{e}^{-x}-1\right ) = 0 & x=0 \text{ ou } \mathrm{e}^{-x}-1 = 0 \\
 & x=0 \text{ ou } \mathrm{e}^{-x} = 1 & x=0 \text{ ou } -x = 0
\end{array}$

Donc la limite de la suite $(u_n)$ est égale à  0.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
%\bigskip
% 
%\textbf{Partie C}
%
%\medskip
\subsubsection*{Partie C}
 
On considère la suite $\left(S_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par 
$S_{n} = \displaystyle\sum_{k= 0}^{k=n} u_{k} = u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n}$

L'algorithme suivant donne $S_{100}$:

\begin{center}
\begin{tabular}{|@{\hspace*{0.5cm}} l l @{\hspace*{0.5cm}}|}
\hline
 & \\ 
Déclaration des variables: & $S$ et $u$ sont des nombres réels\\
 & $k$ est un nombre entier\\
Initialisation: & $u$ prend la valeur {\red 1}\\
 & $S$ prend la valeur $\red u$\\
Traitement: & Pour $k$ variant de 1 à  $\red 100$ \\
 & \begin{tabular}{@{\hspace*{1cm} }l} 
		$u$ prend la valeur $u \times  \text{e}^{- u}$\\
		$S$ prend la valeur $\red S+u$\\
	\end{tabular}\\
 & Fin Pour\\ 
 & Afficher $\red S$\\
 & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Polynésie septembre 2010}}
\textbf{Partie 1}

\medskip
 
%Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $g(x) = \text{e}^x - x\text{e}^x + 1$. 

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$.
On a $g(x) = \text{e}^x(1 - x) + 1$.

Or $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^x = + \infty$  et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} (1 - x) = - \infty$, donc par produit des limites : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = - \infty$.
\item %…tudier les variations de la fonction $g$.
La fonction $g$, somme de fonctions dérivables sur $[0~;~+\infty[$, est dérivable et sur $[0~;~+\infty[$ :

$g'(x) =  \text{e}^x - \text{e}^x - x\text{e}^x = - x\text{e}^x$.

Comme $\text{e}^x > 0$ et $x > 0$, on a $g'(x) < 0$ sur $[0~;~+\infty[$.

$g$ est donc décroissante sur $[0~;~+\infty[$ de $g(0) = 2$ à $- \infty$.
\item Donner le tableau de variations de $g$.

\medskip

\begin{center}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3)
\psline(0,2)(7,2) \psline(0,2.5)(7,2.5)
\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.15,2.5){$0$} \uput[u](6.5,2.5){$+ \infty$}
\rput(1,1){$g(x)$} \uput[u](1,2){$g'(x)$}\uput[u](4.5,2){$-$}
\uput[d](2.1,2){$2$}\uput[u](6.6,0){$- \infty$}
\psline{->}(2.5,1.7)(6.3,0.3) 
\end{pspicture}
\end{center}
 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet sur $[0~;~+\infty[$ une unique solution. On note $\alpha$ cette solution.
Sur $[0~;~+\infty[$, $g$ dérivable est donc continue, $g(0) > 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = - \infty$.\\
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe donc un réel  $\alpha \in [0~;~+ \infty[$ tel que $g(\alpha) = 0$. Comme $g$ est décroissante, cette solution est unique.

		\item %¿ l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$.
La calculatrice donne :

$\bullet~~$ $g(1) = 1$ et $g(2) \approx -6,4$, donc $1 < \alpha < 2$ ;

$\bullet~~$ $g(1,2) \approx  0,3$ et $g(1,3) \approx -0,1$, donc $1,2 < \alpha < 1,3$ ;

$\bullet~~$ $g(1,27) \approx 0,04$ et $g(1,28) \approx -0,007$, donc $1,27 < \alpha < 1,28$. 
		\item %Démontrer que $\text{e}^{\alpha} = \dfrac{1}{\alpha - 1}$.
		On a $g(\alpha) = 0 \iff \text{e}^{\alpha} - \alpha\text{e}^{\alpha} + 1 = 0 \iff \text{e}^{\alpha}(1 - \alpha) = - 1 \iff \text{e}^{\alpha} = \dfrac{1}{\alpha - 1}$.
	\end{enumerate} 
\item %Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
On a donc :
\begin{variations}
x&0&&\alpha&&\pI\\
\hline
g(x)&&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{enumerate}

\bigskip
\textbf{Partie 2}

\medskip
 
%Soit $A$ la fonction définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$ telle que $A(x) = \dfrac{4x}{\text{e}^x + 1}$. 

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que pour tout réel $x$ positif ou nul, $A'(x)$ a le même signe que $g(x)$, où $g$ est la fonction définie dans la partie 1.
La fonction $A$ quotient de fonctions dérivables sur $[0~;~+\infty[$ (le dénominateur ne s'annulant pas)  est dérivable et sur cet intervalle :

$A'(x) = \dfrac{4\left(\text{e}^x + 1 \right) - 4x \times \text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 1 \right)^2} = \dfrac{4\left(\text{e}^x - x\text{e}^x + 1 \right)}{\left(\text{e}^x + 1 \right)^2} = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{4g(x)}{\left(\text{e}^x + 1 \right)^2}}}$.

Comme  $\left(\text{e}^x + 1 \right)^2 > 0$ quel que soit $x$, le signe de $A'(x)$ est celui de $g(x)$.

D'après la précédente question on a donc :

$A'(x) > 0$ sur $[0~;~\alpha[$ ;

$A'(\alpha) = 0$ ;

$A' < 0$ sur $[\alpha~;~+ \infty[$. 
\item %En déduire les variations de la fonction $A$ sur $[0~;~+\infty[$.
On a donc :

$A$ est croissante sur $[0~;~\alpha[$  et décroissante sur $[\alpha~;~+ \infty[$, $A(\alpha)$ étant le maximum de la fonction.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie 3}

\medskip
 
%On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{4}{\text{e}^x + 1}$.

%On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé \Oij.

%La figure est donnée en annexe.
% 
%Pour tout réel $x$ positif ou nul, on note : 

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{description}
%\item[ ] $M$ le point de $(\mathcal{C})$ de coordonnées $(x~;~f(x))$,
%\item[ ] $P$ le point de coordonnées $(x~;~0)$,
%\item[ ] $Q$ le point de coordonnées $(0~;~f(x))$.
%\end{description}
%\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item %Démontrer que l'aire du rectangle O$PMQ$ est maximale lorsque $M$ a pour abscisse $\alpha$.
On sait que $x \geqslant 0$, donc l'aire du rectangle O$PMQ$ est égale à $x \times f(x) = \dfrac{4x}{\text{e}^x + 1} = A(x)$.

Or on a vu  que la fonction présente un maximum pour $x  = \alpha$.

%On rappelle que le réel $\alpha$ a été défini dans la partie 1. 
\item %Le point $M$ a pour abscisse $\alpha$.
 
%La tangente (T) en $M$ à la courbe $(\mathcal{C})$ est-elle parallèle à la droite $(PQ)$ ?
 
%\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
Le coefficient directeur de la droite ($PQ$) est égal à $-\dfrac{f(\alpha)}{\alpha} = -\dfrac{\frac{4}{\text{e}^{\alpha} + 1}}{\alpha} = -\dfrac{4}{\alpha\left(\text{e}^{\alpha} + 1 \right)}$.

Or on a vu que $\text{e}^{\alpha} = \dfrac{1}{\alpha - 1}$, donc le coefficient directeur est égal à :

$-\dfrac{4}{\alpha\left(\text{e}^{\alpha} + 1 \right)} = -\dfrac{4}{\alpha\left(\frac{1}{\alpha - 1}+ 1\right)} = -\dfrac{4(\alpha - 1)}{\alpha(1 + \alpha - 1)} = -\dfrac{4(\alpha - 1)}{\alpha^2}$.

La tangente en $M(\alpha~;~f(\alpha))$ a pour coefficient directeur $f'(\alpha)$.

Or $f'(x) = - \dfrac{4\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 1 \right)^2}$, donc 

$f'(\alpha) = - \dfrac{4\text{e}^{\alpha}}{\left(\text{e}^{\alpha} + 1 \right)^2} = -\dfrac{\frac{4}{\alpha - 1}}{\left(\frac{1}{\alpha - 1} + 1 \right)^2} = -\dfrac{4(\alpha - 1)}{(1 + \alpha - 1)^2} = -\dfrac{4(\alpha - 1)}{\alpha^2}.$

Les coefficients directeurs sont égaux : les droites sont \textbf{\textcolor{red}{parallèles}}.
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(4,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-2)(4,3)
\uput[d](4,0){$x$}\uput[l](0,3){$y$}\uput[ul](0,0){O}\uput[u](2.5,0.28){$\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4}{4 2.71828 x exp 1 add div}
\psline(1.278,0)(1.278,0.86)(0,0.86)(0,0)
\uput[ur](1.278,0.86){M}\uput[d](1.278,0){P}\uput[l](0,0.86){Q}
\uput[ur](1.278,0){$\alpha$}\uput[dr](0,0.86){$f(\alpha)$}
\multido{\n=-1.0+0.16667}{31}{\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=orange](\n,-2)(\n,3)}
\multido{\n=-1+1}{6}{\psline[linewidth=0.7pt,linecolor=orange](\n,-2)(\n,3)}
\multido{\n=-2.0+0.16667}{31}
{\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=orange](-1,\n)(4,\n)}
\multido{\n=-2+1}{6}
{\psline[linewidth=0.7pt,linecolor=orange](-1,\n)(4,\n)}
\end{pspicture}
\end{center}


\subsection{\textcolor{blue}{Réunion juin 2006}}
\noindent \textbf{Partie A}\\
$f (x) = \dfrac{x}{\ln x}$
\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item Comme $\displaystyle\lim_{x \to 1} \ln x  = 0_{+},~ \lim_{x \to 1} f(x) = + \infty$.\\
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}  \dfrac{x}{\ln x} = + \infty$.
\item $f$ quotient de fonctions dérivables, celle du dénominateur ne s'annulant pas, est dérivable et $f'(x) = \dfrac{\ln x - x\times \frac{1}{x}}{(\ln x)^2} = \dfrac{\ln x - 1}{(\ln x)^2}$qui est du signe de \\
$\ln x - 1$.\\
Des propriétés de la fonction $\ln$, on en déduit que $\ln \text{e} = 1$ et comme cette fonction est croissante sur $\mathbb{R}^{+}$, on en déduit le signe de la dérivée et le tableau de variations suivant :
\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&\mathrm{e}&&\pI\\
\hline
f'(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\h{+\infty}&\d&\mathrm{e}&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item voir à la fin


%\psset{unit=2cm}
%\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(5.5,5.2)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2](0,0)(-0.5,-0.5)(5.5,5.2)
%\psgrid[gridwidth=1.75pt,gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(5,5)
%\uput[dl](0,0){O} \uput[u](5.1,3.2){$\mathcal{C}$}
%\psplot{1.28}{5.2}{x x ln div}
%\psline[linecolor=blue](0,0)(5.2,5.2)
%\psline[linestyle=dashed](5,0)(5,3.1067)(3.1067,3.1067)(3.1067,0)(3.1067,2.7407)(2.7407,2.7407)(2.7407,0)
%\uput[dr](5,3.1067){$M_{0}$} \uput[dr](3.1067,2.7407){$M_{1}$} \uput[dr](2.7407,2.7184){$M_{2}$} 
%\uput[d](3.1067,0){$u_{1}$} \uput[d](2.7407,0){$u_{2}$}  \uput[d](5,0){$u_{0}$}
%\end{pspicture}

La suite semble converger \og{} rapidement\fg{}.
\item On a $u_{0} = 5 \geqslant \text{e}$. Pour$n> 0,~u_{n}$est une image par $f$  d'un réel. D'apr\`es le tableau de variations ci-dessus, $f(x) \geqslant \text{e}\Longrightarrow u_{n} \geqslant \text{e}$.
\item On calcule $u_{n+1} - u_{n} = \dfrac{u_{n}}{\ln u_{n}} - u_{n} = \dfrac{u_{n}(1 - \ln u_{n}}{\ln u_{n}}$.\\
On vient de voir que $u_{n} \geqslant \text{e} > 1 \Longrightarrow \ln u_{n} > 0$. La différence est donc du signe de $1 - \ln u_{n}$ qui est négative d'apr\`es la question 1. b.\\
$u_{n+1} - u_{n} < 0 \iff \left(u_{n}\right)$est une suite décroissante. C'est une suite décroissante et minorée par e : elle converge vers une limite $\ell \geqslant \text{e}$.\\
 \\
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\noindent \textbf{Partie B}\\
\begin{enumerate}
\item Or l'égalité $u_{n+1} = f(u_{n})$ donne \`a la limite $\ell = f(\ell)$.
\item $\ell = f(\ell) \iff \ell = \dfrac{\ell}{\ln \ell} \iff (\text{car} ~\ell \neq 0),~1 = \dfrac{1}{\ln \ell} \iff \ln\ell = 1 \iff \ell = \text{e}$.\\
La suite converge vers $\mathrm{e}$.
\end{enumerate}

\end{multicols}
\begin{center}
\psset{xunit=2cm , yunit=2cm}
\begin{pspicture*}(-0.6,-0.6)(5.6,5.6)
\def\xmin{-0.5} \def\xmax{5.5} \def\ymin{-0.5} \def\ymax{5.5}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-0.6,-0.6)(5.6,5.6)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=2cm,yunit=2cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=1.2pt, gridcolor=orange, subgridwidth=.8pt, subgridcolor=orange, subgriddiv=1](0,0)(-0.5,-0.5)(5.5,5.5)
\psset{xunit=2cm , yunit=2cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(5,0)(5,3.10667)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,linestyle=solid]{-}(5,0)(5,3.10667)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(5,3.10667)(0,3.10667)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,linestyle=solid]{-}(5,3.10667)(0,3.10667)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,3.10667)(3.10667,3.10667)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,linestyle=solid]{-}(0,3.10667)(3.10667,3.10667)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3.10667,3.10667)(3.10667,0)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,linestyle=solid]{-}(3.10667,3.10667)(3.10667,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3.10667,0)(3.10667,2.74065)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,linestyle=solid]{-}(3.10667,0)(3.10667,2.74065)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3.10667,2.74065)(0,2.74065)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,linestyle=solid]{-}(3.10667,2.74065)(0,2.74065)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,2.74065)(2.74065,2.74065)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,linestyle=solid]{-}(0,2.74065)(2.74065,2.74065)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.74065,2.74065)(2.74065,0)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,linestyle=solid]{-}(2.74065,2.74065)(2.74065,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.74065,0)(2.74065,2.71837)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,linestyle=solid]{-}(2.74065,0)(2.74065,2.71837)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.74065,2.71837)(0,2.71837)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,linestyle=solid]{-}(2.74065,2.71837)(0,2.71837)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,2.71837)(2.71837,2.71837)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,linestyle=solid]{-}(0,2.71837)(2.71837,2.71837)
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\end{pspicture*}
\end{center}

\label{fin}
\end{document}  