\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\everymath{\displaystyle}
\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\textcolor{red}{Statistiques}}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

\tableofcontents


\subsection{\textcolor{red}{Les indicateurs statistiques}}

\subsubsection{\textbf{}\textcolor{blue}{Effectif}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
L'effectif de la valeur d'un caractère est le nombre d'individus ayant cette valeur de caractère.
\end{bclogo}


\subsubsection{\textbf{}\textcolor{blue}{Fréquence}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
La fréquence $f$ d'une valeur d'un caractère est la proportion d'individus ayant cette valeur de caractère :\\
$f=\frac{n}{N}$, où n est l'effectif de la valeur du caractère et $N$ l'effectif total.
\end{bclogo}

\subsubsection{\textbf{}\textcolor{blue}{Étendue}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
L'étendue d'une série statistique est la différence entre les valeurs extrêmes du caractère.
\end{bclogo}


\subsubsection{\textbf{\textcolor{blue}{Mode}}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Le mode d'une série statistique est la valeur du caractère ayant l'effectif le plus grand.
\end{bclogo}

\subsubsection{\textbf{\textcolor{blue}{Moyenne (pondérée)}}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit une série statistique dont les valeurs du caractère sont $x_1, x_2,\cdots, x_k$ et $n_1,  n_2,\cdots, c_k$ effectifs associés.\\
La moyenne de la série statistique, notée $\bar x$, a pour valeur :
\[\bar x=\cfrac{n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+\cdots+n_{k}x_{k}}{n_{1}+n_{2}+\cdots+n_{k}}\]
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{blue}{Conséquence}} : Lorsqu'on présente la série statistique en ne donnant que la liste des valeurs, alors la moyenne est
\[\cfrac{x_1 +x_2+\cdots+x_k}{k}\]

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Si on appelle $f_i$ la fréquence de la valeur $x_i$ , alors :
\[\bar x = f_1 x_1 + f_2x_2 +... + f_kx_k.\]
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{La linéarité de la moyenne :}}\\
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $k$ un nombre réel. Soit $x_1, x_2, \cdots, x_n$ les valeurs du caractère d'une série statistique et $\bar x$ leur moyenne. Alors:\\
$\bullet$  la moyenne de la série $kx_1, kx_2,\cdots, kx_n$ est $k\bar x$;\\
$\bullet$  la moyenne de la série $x_1 +k, x_2+k,\cdots, x_i+k,\cdots, x_n+k$ est $\bar x +k$.
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples :}}\\
$\bullet$ Si la moyenne au contrôle de biologie dans une classe est de 8 sur 20 et que le professeur décide d'augmenter toutes les notes de 10\%, alors la nouvelle moyenne est de 8,8.\\
$\bullet$ Si la moyenne au contrôle d'histoire-géographie est de 8,7 sur 20 et que le professeur décide d'ajouter
1 point à tous les élèves, alors la nouvelle moyenne est de 9,7.

\subsubsection{\textbf{\textcolor{blue}{Médiane}}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
La médiane d'une série statistique est le nombre tel que : 	\\
50 \% au moins des individus ont une valeur du caractère inférieure ou égale à ce nombre et 50 \% au moins des individus ont une valeur supérieure ou égale à ce nombre.
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{blue}{Médiane d'un caractère quantitatif discret}}\\
On considère une série statistique dont les valeurs du caractère sont rangées par ordre croissant, chacune de ces valeurs figurant un nombre de fois égal à son effectif.\\
$\bullet$ Si le nombre de données est impair, donc de la forme $2n+1$, la médiane est le terme du milieu, c'est-à-dire le rang de terme $n+1$.\\
$\bullet$ Si le nombre de données est pair, donc de la forme $2n$, la médiane est la demi-somme des termes de rangs $n$ et $n+1$.

\subsubsection{\textbf{\textcolor{blue}{Quartiles}}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Le premier quartile d'une série statistique, noté $Q_{1} $ est la première valeur de la série, rangée par ordre croissant, tel que 25~\% des valeurs de la série soient inférieures ou égales à $Q_{1}$.\\
Le troisième quartile d'une série statistique, noté $Q_{3}$ est la première valeur de la série, rangée par ordre croissant, tel que 75~\% des valeurs de la série soient inférieures ou égales à $Q_{3}$.\\
Remarque : $Q_{1}$ est la valeur $x_{i}$ de la série dont l'indice $i$ est le premier entier supérieur ou égal à $\dfrac{n}{4}$ (si $n$ est l'effectif de la série).\\
$Q_{3}$ est la valeur $x_{i}$ de la série dont l'indice $i$ est le premier entier supérieur ou égal à $\dfrac{3n}{4}$ (si $n$ est l'effectif de la série).
\end{bclogo}


\subsection{\textcolor{red}{Diagramme en boîte (ou diagramme de Tukey ou boîte à moustaches)}}
Les deux quartiles $Q_{1}$, $Q_{3}$, la médiane $M$ d'une série statistique, associés aux valeurs extrêmes (minimum et maximum) permettent d'appréhender certaines caractéristiques  de la répartition des valeurs.\\

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}}\\
Voici la série des températures (en degré Celcius) relevées sous abri à différents moments de la journée. Elles sont classées par ordre croissant.\\
3 ; 3,8 ; 4,5 ; 4,8 ; 5 ; 5,5 ; 5,7 ; 5,8 ; 6,2 ; 7 ; 7,3 ; 8,2 ; 9 ; 9,2 ; 9,5 ; 9,7\\
Les valeurs extrêmes sont 3 et 9,7.\\
La médiane vaut 6 (moyenne entre 5,8 et 6,2).\\
Le premier quartile est $Q_{1}=4,8$ ; le troisième quartile est $Q_{3}=8,2$.
Le diagramme en boîte est alors : 
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.1,-0.8)(10.1,2.2)
\def\xmin{0} \def\xmax{10} \def\ymin{0} \def\ymax{1.4}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-0.1,-0.8)(10.1,2.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=1cm,yunit=2.4cm}
\psgrid[griddots=25,gridlabels=0pt,gridwidth=.8pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.8pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(0,0)(10,1.4)
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psframe[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid](4.8,0.8)(8.2,1.6)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(6,0.8)(6,1.6)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(3,1.2)(4.8,1.2)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(8.2,1.2)(9.7,1.2)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(3,1.05)(3,1.35)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(9.7,1.05)(9.7,1.35)
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt,Dx=1,Ox=\xmin,Oy=\ymin]{-}(\xmin,0)(\xmin,0)(\xmax,0.1)
\uput[u](3,1.3){Min}\uput[u](4.8,1.5){$Q_{1}$}\uput[u](6,1.5){M}\uput[u](8.2,1.5){$Q_{3}$}\uput[u](9.7,1.3){Max}
\end{pspicture*}
\end{center}
Les diagrammes en boîte servent à faire des comparaisons de deux séries statistiques.\\\\
\textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}}\\
Les séries suivantes donnent les précipitations moyennes mensuelles en millimètres à Nice et à Paris :
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{12}{c|}c|}
\hline
&J&F&M&A&M&J&J&A&S&O&N&D\\
\hline
Nice&67&83&71&70&39&37&21&38&83&109&158&92\\
Paris&53&48&40&45&53&57&54&61&54&50&58&51\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Pour effectuer la comparaison, on va ranger chaque série par ordre croissant :\\
Nice : 21 ; 37 ; 38 ; 39 ; 67 ; 70 ; 71 ; 83 ; 83 ; 92 ; 109 ; 158\\
Paris 40 ; 45 ; 48 ; 50 ; 51 ; 53 ; 53 ; 54 ; 54 ; 57 ; 58 ; 61\\\\
Pour Nice, on a : Min =21 ; Max = 158 ; $Q_{1}=38$ ; $M_{1}=70,5$ et $Q_{3}=83$\\
Pour Paris, on a : Min =40 ; Max = 61 ; $Q_{1}=48$ ; $M_{1}=53$ et $Q_{3}=54$\\\\
\textbf{\textcolor{blue}{Diagrammes en boîtes :}}\\
\begin{center}
\psset{xunit=0.1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.1,-0.8)(158.1,3.4)
\def\xmin{0} \def\xmax{158} \def\ymin{0} \def\ymax{2.6}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-0.1,-0.8)(158.1,3.4)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psframe[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid](38,0.8)(83,1.6)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(70.5,0.8)(70.5,1.6)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(21,1.2)(38,1.2)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(83,1.2)(158,1.2)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(21,1.05)(21,1.35)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(158,1.05)(158,1.35)
\psframe[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid](48,2)(54,2.8)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(53,2)(53,2.8)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(40,2.4)(48,2.4)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(54,2.4)(61,2.4)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(40,2.25)(40,2.55)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(61,2.25)(61,2.55)

\psaxes[labels=all,labelsep=1pt,Dx=10,Ox=\xmin,Oy=\ymin]{-}(\xmin,0)(\xmin,0)(\xmax,0.1)

\uput[u](10,1){Nice}
\uput[u](30,2){Paris}
\end{pspicture*}
\end{center}
Les précipitations sont plus régulières tout au long de l'année à Paris (série moins dispersée). LA totalité des valeurs de la série des précipitations à Paris est comprise entre le premier quartile et la médiane de la série des précipitations à Nice.\\
Pour la ville de Nice, plus de la moitié des mois ont des précipitations supérieures au maximum de Paris.

\subsection{\textcolor{red}{Variance ; Écart type}}

\subsubsection{\textbf{}\textcolor{blue}{Variance}}
Considérons deux groupes d'élèves, l'un de dix élèves et l'autre de huit élèves ; leurs notes de mathématiques à un contrôle sont :\\
\textbf{\textcolor{blue}{Première série}} :\\
$\begin{array}{|*{6}{c|}}
\hline
\text{note }x_{i}&1&2&3&17&20\\
\hline
\text{effectif }n_{i}&3&1&1&1&4\\
\hline
\end{array}$\\

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Deuxième série}} :\\
$\begin{array}{|*{5}{c|}}
\hline
\text{note }x_{i}&8&10&11&12\\
\hline
\text{effectif }n_{i}&1&2&4&1\\
\hline
\end{array}$\\

\noindent La moyenne de la première série est : $\dfrac{n_{1}x_{1}+\cdots+n_{5}x_{5}}{n_{1}+\cdots+n_{5}}=\dfrac{105}{10}=10,5$.\\
La moyenne de la deuxième série est : $\dfrac{84}{8}=10,5$.\\
Les deux moyennes sont égales ; pourtant, la répartition des notes n'est pas du tout la même.\\\\
Il faut donc trouver un moyen de mesurer la dispersion des nombres autour de la moyenne.\\\\
Un premier moyen est l'étendue, mais ce n'est pas très fiable.\\\\
Nous allons voir un deuxième moyen, qui est l'écart type.\\

\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit une série statistique donnée par le tableau :
\begin{center}
$\begin{array}{|*{6}{c|}}
\hline
\text{Valeur du caractère}&x_{1}&x_{2}&\cdots&x_{p}&\text{Total}\\
\hline
\text{Effectif}&n_{1}&n_{2}&\cdots&n_{p}&N\\
\hline
\end{array}$
\end{center}
La moyenne de cette série est : $\overline{x}=\dfrac{n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+\cdots+n_{P}x_{p}}{N}$.\\
La \textbf{\textcolor{red}{variance}} est le nombre V défini par : \[\mathbf{\textcolor{red}{V=\dfrac{n_{1}(x_{1}-\overline{x})^2+n_{2}(x_{2}-\overline{x})^2+\cdots+n_{p}(x_{p}-\overline{x})^2}{N}}}\]
V est donc la \textbf{moyenne des carrés des écarts entre chaque valeur  $\mathbf{x_{i}}$ et la moyenne}.
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{blue}{Autre formulation de la variance :}}\\
Pour chaque indice $i$, on a : $(x_{i}-\overline{x})^2=x_{i}^2-2x_{i}\overline{x}+\overline{x}^2$.\\
En rempla\c cant dans le calcul de la variance chaque $(x_{i}-\overline{x})^2$ par ce que l'on vient de trouver, on obtient :\\
$V=\dfrac{1}{N}\left[n_{1}\left(x_{1}^2-2x_{1}\overline{x}+\overline{x}^2\right)+n_{2}\left(x_{2}^2-2x_{2}\overline{x}+\overline{x}^2\right)+\cdots+n_{p}\left(x_{p}^2-2x_{p}\overline{x}+\overline{x}^2\right)\right]\\
=\dfrac{1}{N}\left[\textcolor{red}{n_{1}x_{1}^2+n_{2}x_{2}^2+\cdots+n_{p}x_{p}^2}\textcolor{blue}{-2n_{1}x_{1}\overline{x}-2n_{2}x_{2}\overline{x}-\cdots-n_{p}x_{p}\overline{x}}+n_{1}\overline{x}^2+n_{2}\overline{x}^2+\cdots+n_{p}\overline{x}^2\right]\\
=\dfrac{1}{N}\left[\textcolor{red}{n_{1}x_{1}^2+n_{2}x_{2}^2+\cdots+n_{p}x_{p}^2}-\textcolor{blue}{2\overline{x}(n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+\cdots+n_{p}x_{p})}+\overline{x}^2\left(n_{1}+n_{2}+\cdots+n_{p}\right)\right]\\
=\dfrac{1}{N}\left[\textcolor{red}{n_{1}x_{1}^2+n_{2}x_{2}^2+\cdots+n_{p}x_{p}^2}-\textcolor{blue}{2\overline{x}\times N\overline{x}}+\overline{x}^2N\right]\\
=\dfrac{1}{N}\left[\textcolor{red}{n_{1}x_{1}^2+n_{2}x_{2}^2+\cdots+n_{p}x_{p}^2}-N\overline{x}^2\right]\\
=\dfrac{n_{1}x_{1}^2+n_{2}x_{2}^2+\cdots+n_{p}x_{p}^2}{N}-\overline{x}^2$.\\
donc : \[\boxed{\mathbf{\textcolor{red}{V=\dfrac{n_{1}x_{1}^2+n_{2}x_{2}^2+\cdots+n_{p}x_{p}^2}{N}-\overline{x}^2}}}\]
\textbf{\textcolor{red}{Exemple :}} pour la deuxième série de notes :\\
$\begin{array}{|*{5}{c|}}
\hline
\text{note }x_{i}&8&10&11&12\\
\hline
x_{i}^2&64&100&121&144\\
\hline
\text{effectif }n_{i}&1&2&4&1\\
\hline
\end{array}$\\\\

$V=\dfrac{(1\times 64)+(2\times 100)+(4\times 121)+(1\times 144)}{8}-10,5^2=\dfrac{892}{8}-10,5^2=111,5-110,25=1,25$.

\subsubsection{\textbf{\textcolor{blue}{Écart type}}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
La variance est homogène aux carrés des valeurs de la série. Pour avoir une grandeur homogène aux valeurs de la série, on définit \textbf{\textcolor{red}{l'écart type}} de la série par : $\textcolor{red}{\mathbf{\sigma=\sqrt{V}}}$.\\
L'écart type est la racine carrée de la variance.
\end{bclogo}

\fbox{\textbf{\textcolor{red}{Remarque : l'écart-type et la variance se calculent à la calculatrice}}}\\\\
\textbf{\textcolor{red}{Exemple :}} pour la première série de notes, on a : $V=\dfrac{1905}{10}-10,5^2=80,25$.\\
L'écart type de la première série est $\sigma=\sqrt{V}=\sqrt{80,25}\approx 8,96$.\\
Celui de la deuxième série est $\sigma=\sqrt{1,25}\approx 1,118$.\\\\
L'écart type de la première série est plus grand que celui de la deuxième série : les notes sont \textbf{\textcolor{blue}{plus dispersées}} dans le premier cas que dans le second.

\subsection{\textcolor{red}{Nuage de points, point moyen}}
On considère une série statistique à deux variables $(x_{i}~;~y_{i})$ telle que $\sigma_{x}\neq 0$ et $\sigma_{y}\neq 0$. ($\sigma_{x}= 0$ correspond au cas où toutes les valeurs $x_{i}$ seraient égales).

\subsubsection{\textbf{\textcolor{blue}{Nuage de points}}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définitio}n}
Dans un repère orthogonal, l'ensemble des points $A_{i}$ de coordonnées $(x_{I}~;~y_{i})$, $1\leqslant i\leqslant n$ est appelé \textbf{nuage de points} associé à cette série statistique.
\end{bclogo}

La forme du nuage de points peut sembler indiquer une liaison ou corrélation entre les deux variables $x$ et $y$.\\
On peut chercher une corrélation linéaire (les points sont à peu près alignés) ou une corrélation avec une courbe liée à une fonction connue (fonction inverse, logarithme, puissance...)\\

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exemples de nuages :}}
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(13,8)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-1,-1)(13,8)%grille
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1,0)(13,0)%axe horizontal
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1)(0,8)%axe vertical
\psdots[linecolor=blue](6.7,5.68)
\psdots[linecolor=blue](6.32,4.4)
\psdots[linecolor=blue](8.66,4.4)
\psdots[linecolor=blue](8,4)
\psdots[linecolor=blue](8.82,6)
\psdots[linecolor=blue](8.44,5.74)
\psdots[linecolor=blue](7.68,6.72)
\psdots[linecolor=blue](7.8,5.52)
\psdots[linecolor=blue](7.68,5.9)
\psdots[linecolor=blue](7.22,5.14)
\psdots[linecolor=blue](7.5,4.68)
\psdots[linecolor=blue](9.54,4.7)
\psdots[linecolor=blue](8.72,5.04)
\psdots[linecolor=blue](9.24,5.52)
\psdots[linecolor=blue](9.38,6.36)
\psdots[linecolor=blue](9.04,6.74)
\psdots[linecolor=blue](11.34,5.7)
\psdots[linecolor=blue](9.98,4.24)
\psdots[linecolor=blue](10,5)
\psdots[linecolor=blue](10.44,6.68)
\psdots[linecolor=blue](10.06,6.22)
\psdots[linecolor=blue](6.62,6.5)
\psdots[linecolor=blue](6.98,6.74)
\psdots[linecolor=blue](5.9,5.8)
\psdots[linecolor=blue](5.66,5.3)
\uput[d](6,0){Pas de tendance visible}
\end{pspicture*}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-1)(13,8)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-1,-1)(13,8)%grille
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1,0)(13,0)%axe horizontal
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1)(0,8)%axe vertical
\psdots[linecolor=blue](0.78,0.9)
\psdots[linecolor=blue](1.1,1.4)
\psdots[linecolor=blue](1.8,1.26)
\psdots[linecolor=blue](1.84,1.48)
\psdots[linecolor=blue](2.16,2.08)
\psdots[linecolor=blue](2.82,1.82)
\psdots[linecolor=blue](2.84,2.26)
\psdots[linecolor=blue](3.44,2.52)
\psdots[linecolor=blue](3.9,2.34)
\psdots[linecolor=blue](4.58,3.2)
\psdots[linecolor=blue](6,4)
\psdots[linecolor=blue](6.64,3.36)
\psdots[linecolor=blue](7.56,4.32)
\psdots[linecolor=blue](7.1,4.32)
\uput[d](6,0){Liaison linéaire envisageable}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(13,9)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-1,-1)(13,8)%grille
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1,0)(13,0)%axe horizontal
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1)(0,8)%axe vertical
\psdots[linecolor=blue](0,5)
\psdots[linecolor=blue](0.38,4.65)
\psdots[linecolor=blue](0.17,3.88)
\psdots[linecolor=blue](0.47,2.99)
\psdots[linecolor=blue](0.42,1.78)
\psdots[linecolor=blue](0.85,1.62)
\psdots[linecolor=blue](1.07,0.73)
\psdots[linecolor=blue](1.49,0.78)
\psdots[linecolor=blue](2.43,0.27)
\psdots[linecolor=blue](3.49,0.44)
\psdots[linecolor=blue](4.46,0.11)
\psdots[linecolor=blue](4.78,0.21)
\uput[d](6,0){Liaison, mais pas linéaire}
\end{pspicture*}
\end{center}

Dans le cas où les points sont sensiblement alignés, on cherche une droite d'équation $y=ax+b$, qui passe \og proche\fg des points du nuage.\\
On dit qu'on a réalisé un ajustement linéaire.

\subsubsection{\textbf{\textcolor{blue}{Ajustement affine graphique}}}

\begin{enumerate}
\item Ajustement à vue :\\
On trace une droite passant approximativement le plus près possible de tous les points.\\
C'est une méthode rapide, mais peu précise.

\item Ajustement à l'aide du point moyen.\\
On appelle  point moyen du nuage le point $G$ dont les coordonnées sont $(\overline{x}~;~\overline{y})$, c'est-à-dire les moyennes des abscisses et des ordonnées.\\
On fait alors passer la droite d'ajustement par le point $G$ et proche (le plus possible) de tous les points.
\end{enumerate}

\subsubsection{\textbf{\textcolor{blue}{Ajustement affine par la méthode des moindres carrés}}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item il s'agit de trouver la droite d'ajustement $\mathscr{D}$ ,d'équation $y=ax+b$, telle que la somme des carrés des écarts entre les points de même abscisses $M_{i}(x_{i}~;~y_{i})$ du nuage et $P_{i}(x_{i}~;~y'_{i})$ de $\mathscr{D}$ soit minimale.

\item Cette droite passe par le point moyen $G$

\item Les coefficients $a$ et $b$ sont obtenus à la calculatrice.
\end{enumerate}
\vspace{1cm}
\textbf{\textcolor{red}{Exemple :}}\\
La soci\'et\'e MERCURE vend des machines agricoles. Suite \`a une restructuration en 1998 elle a pu relancer sa production et ses b\'en\'efices annuels ont \'evolu\'e comme indiqu\'e dans le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|*{6}{c|}}\hline
Ann\'ee					&1999	&2000	&2001	&2002	&2003	& 2004\\ \hline
Rang de l'ann\'ee : $x_{i}$		&	0 	&1		&2 		&	3	&	4 	&	5\\ \hline
B\'en\'efice en k\euro{}: $y_{i}$	&	64	& 75		&	100	&	113	&	125 	&127\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Construire le nuage de points associ\'e \`a la s\'erie statistique $\left(x_{i}~ ;~y_{i}\right)$ dans un rep\`ere orthogonal.\\
Les unit\'es graphiques seront : 2 cm pour une unit\'e sur l'axe des abscisses ; $1$ cm pour 10 unit\'es sur l'axe des ordonn\'ees.
\item	Donner les coordonn\'ees du point moyen G du nuage (arrondir au dixi\`eme). Placer le point G dans le rep\`ere.

\item	On envisage de repr\'esenter le b\'en\'efice $y$ comme une fonction affine du rang $x$ de l'ann\'ee.

\item Donner une \'equation de la droite d'ajustement (D) obtenue par la m\'ethode des moindres carr\'es (arrondir les coefficients au centi\`eme).
\item	Tracer cette droite (D) dans le rep\`ere.
\item	Quelle pr\'evision ferait-on pour le b\'en\'efice en 2005 avec cette approximation ?
\end{enumerate}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\textbf{\textcolor{red}{Graphique complet :}}\\
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.08cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-10)(6,150)
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=10,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(0,0)(6,150)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](0,0)(6,150)%grille
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1,0)(6,0)%axe horizontal
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-10)(0,150)%axe vertical
%repère
\uput[dl](0,0){$O$}
\psdots[linecolor=blue](0,64)
\psdots[linecolor=blue](1,75)
\psdots[linecolor=blue](2,100)
\psdots[linecolor=blue](3,113)
\psdots[linecolor=blue](4,125)
\psdots[linecolor=blue](5,127)
\psdots[linecolor=red](2.5,100.667)
\uput[r](2.5,100.667){$G$}
\psplot[linecolor=red]{0}{6}{13.65714286*x+66.52380952}

\end{pspicture*}\\
Les coordonnées de $G$ sont $(2,5~;~100,667)$.\\
La droite d'ajustement a pour équation $y=ax+b$ avec $a\approx 13,657$ et $b\approx 66,523$\\
Pour 2005, on peut envisager un bénéfice de 147 k\euro.
\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  