\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\textcolor{red}{\fbox{Probabilités}}}
\date{}
\begin{document}

\maketitle

\textcolor{red}{\tableofcontents}
\subsection{\textcolor{blue}{ Vocabulaire des événements}}


\subsubsection{\textcolor{red}{Rappels :}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Dans une expérience aléatoire, on appelle \textbf{\textcolor{red}{univers}} l'ensemble de toutes les issues possibles. On note souvent cet ensemble $\Omega$
\end{bclogo}.\\

\noindent \textcolor{blue}{Exemples} : \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item on lance un dé cubique et on regarde la face supérieure : $\Omega=\{1~;~2~;~3~;~4~;~5~;~6\}$.

\item On suppose que le sexe d'un bébé à la naissance est d˚ au hasard. On s'intéresse aux familles de deux enfants et on regarde les sexes des enfants.\\
On note G et F les deux sexes.\\
Alors : $\Omega=\{GG~;~GF~;~FG~;~FF\}$
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item On appelle \textbf{\textcolor{red}{événement}} toute partie de l'univers.

\item Si cette partie n'a qu'un élément on parle d'\textbf{\textcolor{red}{événement élémentaire}}.

\item On appelle \textbf{\textcolor{red}{événement contraire}} de $A$ la partie de $\Omega$  composée de toutes les issues qui ne sont pas dans $A$. On le note $\overline{A}$.

\item On dit que deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles si $A\cap  B =\emptyset$.
\end{enumerate}
\end{bclogo}


\subsubsection{\textcolor{red}{Probabilités}}

\noindent La probabilité d'un événement $A$ mesure les \og chances \fg~ qu'a l'événement $A$ de se réaliser effectivement. On la note $p(A)$. C'est un nombre compris entre 0 et 1.\\


\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
La probabilité d'un événement $A$ est la somme des probabilités des événements élémentaires de $A$.\\

\noindent On a toujours $p(\Omega) = 1$ et $p(\emptyset) =0$.\\

\noindent Il y a équiprobabilité quand tous les événements élémentaires ont la même probabiité (exemple : $\dfrac{1}{6}$ pour chaque face d'un dé non truqué).\\
S'il y a équiprobabilité, la probabilité d'un événement est égale à $\dfrac{\text{Nombre de cas favorables à cet événement}}{\text{Nombre total de cas possibles}}$
\end{bclogo}

\vspace{1cm}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p(A \cup B)  =p(A) + p(B)-p(A \cap B)$.

\item Si deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles alors $p(A\cap B)  =p(A) + p(B)$.

\item $p(\overline{A})  = 1 - p(A)$

\end{enumerate}
\end{bclogo}


\noindent Enfin dans le cas général (c'est-à-dire pas forcément disjointe) d'une union de deux événements on a :
\[\boxed{\textcolor{red}{p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)}}.\]

\subsection{\textcolor{blue}{Probabilité conditionnelle ; indépendance}}


\subsubsection{\textcolor{red}{Probabilité conditionnelle}}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On appelle probabilité conditionnelle de $B$ sachant que l'événement $A$ est réalisé (on dit probabilité de $B$ sachant $A$) le nombre : $p_{A}(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$.\\
\textbf{On change d'ensemble de référence} : au lieu de prendre comme référence l'univers entier, on se restreint à $A$.
\end{bclogo}\\

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
On en déduit l'écriture : $p(A\cap B)=p_{A}(B)\times p(A)$.
\end{bclogo}


\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exemple :}} Une urne opaque contient 3 boules rouges et 2 boules vertes indiscernables au toucher.\\
On tire deux boules successivement sans remise.\\
on appelle $R_{1}$ l'événement \og Tirer en premier une boule rouge \fg~ et $R_{2}$ l'événement \og Tirer en deuxième une boule rouge\fg.\\
On a : $p(R_{1})=\dfrac{3}{5}$ ; $p_{R_{1}}(R_{2})=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$ ; $p(R_{1}\cap R_{2})=\dfrac{4}{5}\times \dfrac{2}{4}=\dfrac{3}{10}$.\\
On a bien : $\dfrac{p(R_{1}\cap R_{2})}{p(R_{1})}=\dfrac{\frac3{10}}{\frac35}=\dfrac{1}{2}$.

\subsubsection{\textcolor{red}{Indépendance}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On dit que deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$.
\end{bclogo} `

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Remarque :}} Dans le cas o˘ $p(A)\neq 0$, on peut réécrire cette définition : $p_{A}(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}=\dfrac{p(A)\times p(B)}{p(A)}=p(B)$ donc $p_{A}(B)=p(B)$. (Le fait que $A$ soit réalisé n'influe pas sur la réalisation de$B$)\\

\noindent Il y a deux faÁons d'avoir des événements indépendants :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  soit le \og{} bon sens\fg{} vous suggère que les événements le sont (deux lancers successifs d'une même pièce de monnaie),

\item  soit l'énoncé vous le dit d'une manière ou d'une autre.
\end{enumerate}
Les cas d'indépendance sont dans la pratique très courants.
Dès qu'on répète plusieurs fois une même expérience aléatoire, par exemple, les résultats de ces expériences sont indépendants les uns des autres.\\

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exemple :}} Reprenons notre exemple du tirage mais en supposant qu'une fois la première boule tirée, on la remette dans l'urne avant de tirer la seconde.\\
On a alors : $p(R_{1}\cap R_{2})=\left(p(R)\right)^2=\left(\dfrac{3}{5}\right)^2=\dfrac{9}{25}$.


\subsection{\textcolor{blue}{Exemple : exercice bac Réunion juin 2008}}
Une entreprise comprend $375$~salariés. Elle dispose d'un restaurant d'entreprise. \\Une enquête a été réalisée sur la fréquentation de ce restaurant par les salariés de cette entreprise.

Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous.

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{7.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
&Hommes& 	Femmes&	Total\\ \hline
Nombre de salariés qui mangent régulièrement au restaurant d'entreprise&	110&	55&	165\\ \hline
Nombre de salariés qui mangent occasionnellement au restaurant d'entreprise&	42&	33& 	75\\ \hline
Nombre de salariés qui ne mangent jamais au restaurant d'entreprise&58&	77& 	135\\ \hline
Nombre total de salariés&	210& 	165&	375\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

On choisit au hasard un salarié dans la liste des $375$~salariés de cette entreprise. Tous les salariés ont la même probabilité d'être choisis.\\

On considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item[] F :  \og Le salarié choisi est une femme \fg ;
\item[] R : \og Le salarié choisi mange régulièrement au restaurant d'entreprise \fg ;
\item[] O :  \og Le salarié choisi mange occasionnellement au restaurant d'entreprise \fg.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Traduire par une phrase l'évènement F~$\cap$~R, puis calculer sa probabilité (arrondir le résultat au millième).

\item 	Traduire par une phrase l'évènement R~$\cup$~O, puis calculer sa probabilité.

\item 	Calculer la probabilité que, sachant qu'il mange occasionnellement au restaurant d'entreprise, le salarié choisi soit une femme (donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible).

\item 	Les évènements F et O sont-ils indépendants ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{red}{Réponses :}}
\begin{enumerate}
\item $F\cap R$ est l'événement : \og La personne choisie est une femme qui manfé régulièrement au restaurant\fg.\\
$p(F\cap R)=\dfrac{55}{375}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{11}{75}\approx 0,147}}$

\item $R\cup O$ est l'événement : \og manger régulièrement ou occasionnellement au restaurant~\fg.\\
$p(R\cup O)=\dfrac{165+75}{375}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{16}{25}=0,64}}$

\item $p_{O}(F)=\dfrac{33}{375}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{11}{125}}}$ (directement) ou $p_{O}(F)=\dfrac{p(F\cap O)}{p(O)}=\dfrac{\frac{33}{375}}{\frac{75}{375}}=\dfrac{33}{375}=\dfrac{11}{125}$.

\item On applique la définition :\\
$p(F\cap O)=\dfrac{11}{125}$.\\
$p(F)\times p(O)=\dfrac{165}{375}\times \dfrac{75}{375}=\dfrac{11}{25}\times \dfrac{1}{5}=\dfrac{11}{125}$.\\
$p(F\cap O)=p(F)\times p(O)$ donc \fbox{\textcolor{red}{les événements $F$ et $O$ sont indépendants}}.


\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  