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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Sujet Liban mai 2016}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill 4 points}}

On considère un solide ADECBF constitué de deux pyramides identiques ayant pour base
commune le carré ABCD de centre J. Une représentation en perspective de ce solide est
donnée \textbf{en annexe (à rendre avec la copie)}. Toutes les arêtes sont de longueur $1$.

\bigskip
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-4,-5)(12,7)
\psline[linestyle=dotted](-4,0)(12,0)
\psline[linestyle=dotted](0,-5)(0,7)
\psline[linestyle=dotted](-4,-1.6)(12,4.8)
\pspolygon(0,0)(6.7,0)(10,1.3)(5,-4)%ABCFA
\psline(6.7,0)(5,-4)%BF
\psline[linestyle=dashed](0,0)(3.3,1.3)(10,1.3)%ADC
\psline[linestyle=dashed](5,-4)(3.3,1.3)(5,5.35)%FDE
\psline(0,0)(5,5.35)(6.7,0)%AEB
\psline(5,5.35)(10,1.3)%EC
\psdots(5,0.65)(0,6.7)%I
\uput[ul](0,0){A} \uput[ur](6.7,0){B} \uput[r](10,1.3){C} 
\uput[ul](3.3,1.3){D} \uput[u](5,5.35){E} \uput[d](5,-4){F} \uput[u](5,0.65){I} 
\uput[l](0,6.7){K}
\end{pspicture}

\bigskip

L'espace est rapporté au repère orthonormé $\left(\text{A}~;~ \overrightarrow{\text{AB}}~, \overrightarrow{\text{AD}},~ \overrightarrow{\text{AK}}\right)$.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que IE $= \dfrac{\sqrt{2}}{2}$. En déduire les coordonnées des points I, E et F.
		\item Montrer que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}0\\- 2\\\sqrt{2}\end{pmatrix}$ est normal au plan (ABE).
		\item Déterminer une équation cartésienne du plan (ABE).
	\end{enumerate}
\item On nomme M le milieu du segment [DF] et N celui du segment [AB].
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les plans (FDC) et (ABE) sont parallèles.
		\item Déterminer l'intersection des plans (EMN) et (FDC).
		\item Construire sur l'\textbf{annexe (à rendre avec la copie)} la section du solide ADECBF par
le plan (EMN).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{\hfill 4 points}}

Sur un court de tennis, un lance-balle permet à un joueur de s'entraîner seul. Cet appareil
envoie des balles une par une à une cadence régulière. Le joueur frappe alors la balle puis la
balle suivante arrive.

Suivant le manuel du constructeur, le lance-balle envoie au hasard la balle à droite ou à
gauche avec la même probabilité.

\medskip

\emph{Dans tout l'exercice, on arrondira les résultats à $10^{-3}$ près.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le joueur s'apprête à recevoir une série de 20 balles.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que le lance-balle envoie 10 balles à droite ?
\item Quelle est la probabilité que le lance-balle envoie entre 5 et 10 balles à droite ?
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Le lance-balle est équipé d'un réservoir pouvant contenir 100 balles. Sur une séquence de
100 lancers, 42 balles ont été lancées à droite. 

Le joueur doute alors du bon fonctionnement
de l'appareil. Ses doutes sont-ils justifiés ?

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Pour augmenter la difficulté le joueur paramètre le lance-balle de façon à donner un effet aux
balles lancées. Elles peuvent être soit \og liftées \fg{} soit \og coupées \fg. La probabilité que le lance-balle envoie une balle à droite est toujours égale à la probabilité que le lance-balle envoie
une balle à gauche.

Les réglages de l'appareil permettent d'affirmer que :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la probabilité que le lance-balle envoie une balle liftée à droite est $0,24$ ;
\item[$\bullet~~$] la probabilité que le lance-balle envoie une balle coupée à gauche est $0,235$.
\end{itemize}
\medskip

Si le lance-balle envoie une balle coupée, quelle est la probabilité qu'elle soit envoyée à
droite ?



\subsection{\textcolor{blue}{\hfill 4 points}}

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par :
\[f(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{1 - x}}.\]

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~1].
\item Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1], $f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + \text{e}}$ (on rappelle que $\text{e} = \text{e}^1$).
\item Montrer alors que $\displaystyle\int_0^1 f(x)\:\text{d}x = \ln (2) +  1 - \ln (1 + \text{e})$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $n$ un entier naturel. On considère les fonctions $f_n$ définies sur [0~;~1] par:

\[fn(x) = \dfrac{1}{1 + n\text{e}^{1 - x}}.\]

On note $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans le plan muni d'un repère orthonormé.

On considère la suite de terme général

\[u_n = \displaystyle\int_0^1 f_n\:\text{d}x.\]

\begin{enumerate}
\item On a tracé en annexe les courbes représentatives des fonctions $f_n$ pour $n$ variant de 1
à 5. Compléter le graphique en traçant la courbe $\mathcal{C}_0$ représentative de la fonction $f_0$.

\bigskip

\begin{center}
\psset{unit=5cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.2,-0.2)(1.25,1.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.2,Dy=0.2]{->}(0,0)(0,0)(1.25,1.2)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=5,griddots=5,gridwidth=1.5pt](0,0)(1.2,1)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 1 2.71828 1 x sub exp add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 1 2.71828 1 x sub exp 2 mul add div}\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 1 2.71828 1 x sub exp 3 mul add div}\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 1 2.71828 1 x sub exp 4 mul add div}\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 1 2.71828 1 x sub exp 5 mul add div}
\uput[r](1,0.5){$\mathcal{C}_1$}\uput[r](1,0.35){$\mathcal{C}_2$}
\uput[r](1,0.28){$\mathcal{C}_3$}\uput[r](1,0.22){$\mathcal{C}_4$}
\uput[r](1,0.13){$\mathcal{C}_5$}
\end{pspicture*}

\end{center}
\item Soit $n$ un entier naturel, interpréter graphiquement $u_n$ et préciser la valeur de $u_0$.
\item Quelle conjecture peut-on émettre quant au sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$ ? 

Démontrer cette conjecture.
\item La suite $\left(u_n\right)$ admet-elle une limite ?
\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{\hfill 5 points}}

\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.\\
Un point est attribué par réponse exacte justifiée. Une réponse non justifiée ne sera pas prise
en compte et l'absence de réponse n'est pas pénalisée.}

\medskip

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Sur le schéma ci-dessous on a représenté la courbe de densité d'une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu = 20$. La probabilité que la variable aléatoire $X$ soit
comprise entre $20$ et $21,6$ est égale à $0,34$.

\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=8cm,algebraic=true}
\def\xmin {13.8}   \def\xmax {26}
\def\ymin {-0.1} \def\ymax {0.31}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[labelFontSize=\small, ticksize=-0pt 0pt, Dx=2, Dy=0.1]%
(0,0)(\xmin,-0.1)(\xmax,0)
\def\m{20}% moyenne 
\def\s{1.5}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\psplot{13.8}{26}{\f}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
{\psplot{20}{21.6}{\f}
\psline(21.6,0)(20,0)
}
\psline(20,0)(20,0.268)
\rput(20.75,0.125){0,34}
\end{pspicture*}
\end{center}

\textbf{Affirmation 1 :} La probabilité que la variable aléatoire $X$ appartienne à l'intervalle $[23,2~;~ + \infty[$ vaut environ 0,046.

\medskip

\item[$\bullet~~$] Soit $z$ un nombre complexe différent de 2. On pose :

\[Z = \dfrac{\text{i}z}{z - 2}.\]

\textbf{Affirmation 2 :} L'ensemble des points du plan complexe d'affixe $z$ tels que $|Z| = 1$ est une
droite passant par le point A(1~;~0).

\textbf{Affirmation 3 :} $Z$ est un imaginaire pur si et seulement si $z$ est réel.

\medskip

\item[$\bullet~~$] Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

\[f(x) = \dfrac{3}{4 + 6\text{e}^{- 2x}}.\]

\textbf{Affirmation 4 :} L'équation $f(x) = 0,5$ admet une unique solution sur $\mathbb{R}$.

\textbf{Affirmation 5 :} L' algorithme suivant affiche en sortie la valeur $0,54$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|>{\bf{}}l|X|} \hline
Variables :		&$X$ et $Y$ sont des réels\\
Initialisation :&$X$ prend la valeur 0\\
				&$Y$ prend la valeur $\dfrac{3}{10}$\\
Traitement :	& Tant que $Y < 0,5$\\
				&\hspace{0.4cm}$X$ prend la valeur $X + 0,01$\\
				&\hspace{0.4cm}$Y$ prend la valeur $\dfrac{3}{4 + 6\text{e}^{- 2X}}$\\
				&Fin Tant que\\
Sortie :		& Afficher $X$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\end{itemize}





\subsection{\textcolor{blue}{\hfill 3 points}}

On considère la suite $\left(z_n\right)$ de nombres complexes définie pour tout entier naturel $n$ par :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
z_0		& =& 0\\
z_{n+ 1}& =& \dfrac{1}{2} \text{i} \times z_n + 5
\end{array}\right.\]

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on note $M_n$ le point d'affixe $z_n$.

On considère le nombre complexe $z_{\text{A}} = 4 + 2\text{i}$ et A le point du plan d'affixe $z_{\text{A}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = z_n - z_{\text{A}}$
.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = \dfrac{1}{2} \text{i} \times u_n$.
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ :
		
\[u_n = \left(\dfrac{1}{2} \text{i}\right)^n (- 4 - 2\text{i}).\]
		
	\end{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, les points A, $M_n$ et $M_{n+4}$ sont alignés.
\end{enumerate}


\end{multicols}



\label{fin}
\end{document}  