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\newcommand{\ROD}{\mbox{$\left(\text{O},   \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$}}%rep\`ere orthon.direct
%plan
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\lhead{\small \textcolor{red}{Baccalauréat S}}%tapez un titre
\lfoot{\small{\textcolor{red}{Lycée Maurice Genevoix-Bac blanc}}}
\rfoot{\small{\textcolor{red}{mars 2012 - Durée : 4 heures}}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
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\def\montitre{BACCALAUR\'EAT BLANC}
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%pied de page gauche
% pour le pied de page central
\cfoot{\fbox{\textcolor{blue}{Page \thepage/\pageref{fin}}}}
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 

\begin{document}
\sf{ }
\begin{center}
\begin {tabular}{|c|}
\hline\\
 \huge \montitre   \\
 \\
\hline
\end{tabular}\\
\vspace{2cm}
\large {mars 2012}\vspace{1.5cm}\\
\textbf{\Large{MATH\'EMATIQUES} }\vspace{1.5cm}\\
\large{Série : \textbf{S}}\vspace{1.5cm}\\

\large{DUR\'EE DE L'\'EPREUVE : \textbf{4 heures}} \vspace{2cm}\\

\textbf{Ce sujet comporte \textcolor{red}{à compléter} pages, numérotées de 1 à \pageref{fin}}\\
%La page 5 comporte des annexes et est à rendre avec la copie}}\vspace{1cm}\\


\textit{L'utilisation d'une calculatrice est autorisée}\vspace{1.5cm}\\
\begin{tabular}{|c|}\hline\\
%Le candidat doit traiter les exercices 1, 2, 3, \textbf{ainsi que l'exercice 4 correspondant à sa spécialité.}\\
\\
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements\\entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.\\
\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\newpage


%\pagestyle{fancy}
%% pour le pied de page central
%\lhead{\textcolor{blue}{Terminale S}  }
%\rhead{\textcolor{red}{4 février 2012}}
%\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
%\rfoot{\textcolor{blue}{\small{Année 2011-2012 \\
%Lycée Maurice Genevoix}}}







\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(5 points)}}%Métropole juin 2010 
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$, on considère le point A d'affixe 2 et le cercle $\mathcal{C}$ de centre O passant par A.
 
Dans tout l'exercice on note $\alpha$ le nombre complexe $\alpha = 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $\overline{\alpha}$ le nombre complexe conjugué du nombre complexe $\alpha$. 
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\alpha^2 - 4\alpha   = 2\overline{\alpha} - 8$. 
		\item Démontrer que les points B et C d'affixes respectives $\alpha$ et $\overline{\alpha}$ appartiennent au cercle $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate} 
\item Soit D un point du cercle $\mathcal{C}$ d'affixe $2\text{e}^{\text{i}\theta}$  où $\theta$ est un nombre réel de l'intervalle $]- \pi~;~\pi]$. 
	\begin{enumerate}
		\item Construire sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie) le point E image du point D par la rotation $r$ de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$.  
		\item Justifier que le point E a pour affixe $z_{\text{E}} = \alpha \text{e}^{\text{i}\theta}$.
	\end{enumerate} 
\item Soient F et G les milieux respectifs des segments [BD] et [CE]. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que le point F a pour affixe $z_{\text{F}} = \dfrac{\alpha}{2} + \text{e}^{\text{i}\theta}$.  
		\item On admet que le point G a pour affixe $z_{\text{G}} = \dfrac{\alpha\text{e}^{\text{i}\theta} + \overline{\alpha}}{2}$.
		 
Démontrer que $\dfrac{z_{\text{G}} - 2}{z_{\text{F}} - 2} = \dfrac{\alpha}{2}$. On pourra utiliser la question 1. a. 

En déduire que le triangle AFG est équilatéral.
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, on conjecture qu'il existe une position du point D, défini à la question 2, pour laquelle la longueur du coté AF du triangle AFG est minimale.
 
On admet que AF$^2 = 4 - 3 \cos \theta + \sqrt{3}\sin \theta$.
 
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-\pi~;~+\pi]$ par $f(x) = 4 - 3 \cos x + \sqrt{3} \sin x$.
 
Le tableau ci-dessous donne les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-\pi~;~+\pi]$. Compléter ce tableau de variations. Permet-il de valider la conjecture ? Justifier. 

\begin{center}
\begin{variations}
x&-\pi&&-\dfrac{\pi}{6}&&\dfrac{5\pi}{6}&&\pi\\
\filet
\m{f}&&\d&&\c&&\d\\
\end{variations}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(8.5,3)
%\psframe(8.5,3) \psline(0,2)(8.5,2)\psline(1,0)(1,3)
%\uput[u](0.5,2){$x$} \uput[u](1.2,2){$-\pi$} \uput[u](6,2){$\dfrac{5\pi}{6}$} \uput[u](3.5,2){$-\dfrac{\pi}{6}$} \uput[u](8.3,2){$\pi$}
%\rput(0.5,1){$f$}
%\psline{->}(1.5,1.8)(3.3,0.4)\psline{->}(3.8,0.4)(5.7,1.8)\psline{->}(6.3,1.8)(8.2,0.4) 
%\end{pspicture}
\end{center}

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}%Amérique du Nord mai 2011 
\begin{center}	 	 
\textbf{Partie A}
\end{center}
 
On considère la fonction $g$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[g(x) = \text{e}^x - x - 1.\]
 
\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $g$. 
\item Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$. 
\item En déduire que pour tout $x$ de $[0~;~+ \infty[,\: \text{e}^x - x > 1$. 
\end{enumerate}

\begin{center}	 	 
\textbf{Partie B }
\end{center}
On considère la fonction $f$ définie sur [0~;~1] par 

\[f(x) = \dfrac{\text{e}^x - 1}{\text{e}^x - x}.\] 
 
La courbe $(\mathcal{C})$ représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal est donnée en annexe.
 
Cette annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve.

On admet que $f$ est strictement croissante sur [0~;~1]. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $x$ de [0~;~1], $f(x) \in [0~;~1]$. 
\item Soit (D) la droite d'équation $y = x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout $x$ de [0~;~1], $f(x) - x = \dfrac{(1 - x)g(x)}{\text{e}^x - x}$. 
		\item Étudier la position relative de la droite (D) et de la courbe $(\mathcal{C})$ sur [0~;~1].
	\end{enumerate} 
\item
%	\begin{enumerate}
%		\item Déterminer une primitive de $f$ sur [0~;~1]. 
%		\item Calculer l'aire, en unités d'aire, du domaine du plan délimité par la courbe $(\mathcal{C})$, la droite (D) et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$.
%	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\begin{center}	 	 
\textbf{Partie C}
\end{center}

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_{0}&=&\dfrac{1}{2}\\
u_{n+1}&=&f\left(u_{n}\right), \quad \text{pour tout entier naturel}\,n.
\end{array}\right.\]
 
\begin{enumerate}
\item Construire sur l'axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite en laissant apparents les traits de construction. 
\item Montrer que pour tout entier naturel $n,\, \dfrac{1}{2} \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 1$. 
\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite. 
\end{enumerate}

\end{multicols}


\newpage
\normalsize
\subsection{\textcolor{blue}{(6 points)}}%Liban juin 2010 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soit $u$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par

\[u(x) = x^2 - 2 + \ln x.\]
 
\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $u$ sur $]0~;~+\infty[$ et préciser ses limites en $0$ et en $+ \infty$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $u(x) = 0$ admet une solution unique sur $]0~;~+\infty[$. 
		
On note $\alpha$ cette solution. 
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer le signe de $u(x)$ suivant les valeurs de $x$. 
\item Montrer l'égalité : $\ln \alpha = 2 - \alpha^2$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $]0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) =  x^2 + (2 - \ln x)^2.\]
 
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $]0~;~+\infty[$. 
\begin{enumerate}
\item Exprimer, pour tout $x$ de $]0~;~+\infty[,~f'(x)$ en fonction de $u(x)$. 
\item En déduire les variations de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip  
  
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$, on note :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction $\ln$ (logarithme népérien) ; 
\item[$\bullet~$] A le point de coordonnées $(0~;~2)$ ; 
\item[$\bullet~$] $M$ le point de $\Gamma$ d'abscisse $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$. 
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Montrer que la distance A$M$ est donnée par A$M = \sqrt{f(x)}$.
\item Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $g(x) = \sqrt{f(x}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les fonctions $f$ et $g$ ont les mêmes variations sur $]0~;~+\infty[$. 
		\item Montrer que la distance A$M$ est minimale en un point de $\Gamma$, noté P, dont on précisera les coordonnées. 
		\item Montrer que AP $= \alpha \sqrt{1 + \alpha^2}$.
	\end{enumerate}
\item \emph{Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
La droite (AP) est-elle perpendiculaire à la tangente à $\Gamma$ en P ? 
\end{enumerate}



\newpage
\subsection*{\textcolor{blue}{IV Exercice pour les élèves ayant suivi l'enseignement de spécialité (5 points)}}
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).\\
Pour chaque question, une seule réponse est exacte.\\
Le candidat portera sur sa copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie.
\begin{alterqcm}[lq=7cm,numprop = true,sep]
\AQquestion{L'équation $\mathrm{e}^{x^2-\frac12}=\dfrac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}$ a pour solutions}{{\ 1},{\ $\dfrac{1}{2}$},{\ -1},{\ $-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\text{ et }\dfrac{1}{\sqrt{2}}$},{\ -1 et 1}}

\AQquestion{L'inéquation $\ln(x)-\ln\left(\dfrac{1}{x}\right)$ a pour solution :}{{\ $\mathscr{S} = ]\mathrm{e}~;~+\infty[$},{\ $\mathscr{S}= ]0~;~1[$},{\ $\mathscr{S}=]1~;~\mathrm{e}[$},{\ $\mathscr{S} = ]-\mathrm{e}~;~- 1[\cup]1~;~\mathrm{e}[$}}

\AQquestion{La fonction $f$ définie par $f(x) =\ln(x^2 + 5x +\dfrac{25}{4})$ est définie sur :}{{\ $\mathbb{R}$},{\ $\mathbb{R}^+$},{\ $]-\infty~;~5[\cup]5~;~+\infty[$},{\ $\mathbb{R}\setminus \{0\}$},{\ $]5~;~+\infty[$}}

\AQquestion{Le signe de l'expression   $f(x) =\ln\left(\dfrac{x^2}{x^2+1}\right)$ est}{{\ toujours positif},{\ toujours négatif},{\ dépend du signe de $x$},{\ dépend  du signe de $x + 1$}}

\AQquestion{La fonction g définie par $g(x) =\ln\left(\dfrac{3-2x}{3+2x}\right)$ est : }{{\ paire},{\ impaire},{ \ ni l'un ni l'autre}}

\AQquestion{La suite définie par récurrence par $u_{n+1} = f\left(u_n\right)~(n\geqslant 0)$ et $u_0 > 0$, avec $f(x) = x^2$, est :}{{\ \begin{minipage}{7cm}
toujours croissante quelle que soit la valeur strictement positive de $u_0$
\end{minipage}},{\ \begin{minipage}{7cm}
toujours décroissante quelle que soit la valeur strictement positive de $u_0$
\end{minipage}},{\ croissante si et seulement si $u_0 > 1$},{\ décroissante si et seulement si $u_0 > 1$}}
\end{alterqcm}





\newpage
\subsection*{\textcolor{blue}{\textcolor{blue}{IV Exercice pour les élèves ayant suivi l'enseignement de spécialité (5 points)}}}
%(\textcolor{blue}{Nouvelle Calédonie, novembre 2009 (5 points)

\noindent Soit $n$ un entier naturel non nul.
 
\begin{enumerate}
\item  On considère l'équation notée $(E)$ :
 
\[3x + 7 y = 10^{2n}~ \text{où}~ x~ \text{et}~ y~ \text{sont des entiers relatifs.}\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer un couple $(u~;~v)$ d'entiers relatifs tels que $3 u + 7v = 1$.
		 
En déduire une solution particulière $\left(x_{0}~;~y_{0}\right)$ de l'équation $(E)$. 
		\item Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs $(x~; ~y)$ solutions de $(E)$.
	\end{enumerate} 
\item On considère l'équation notée $(G)$
  
\[3x^2 + 7 y^2 = 10^{2n}~ \text{où}~ x~ \text{et}~ y~ \text{sont des entiers relatifs.}\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $100 \equiv 2~ (\text{modulo}~ 7)$.
		 
Démontrer que si $(x~;~y)$ est solution de $(G)$ alors $3x^2 \equiv 2^n~ (\text{modulo}~7)$. 
		\item Reproduire et compléter le tableau suivant :
		
		\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Reste de la division euclidienne de $x$ par 7& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 \\ \hline%
Reste de la division euclidienne de $3x^2$ par $7$.&&&&&&& \\ \hline% 
\end{tabularx}

\medskip
 
		\item Démontrer que $2^n$ est congru à 1, 2 ou 4 modulo 7.
		 
En déduire que l'équation $(G)$ n'admet pas de solution.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}


\newpage
\begin{center}\textbf{ANNEXE de l'exercice II}

\vspace{1cm}
 
\psset{unit=8cm}
\begin{pspicture}(-0.05,-0.05)(1.25,1.15)
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](1.2,0){$x$}\uput[l](0,1.1){$y$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.71828 x exp 1 sub 2.71828 x exp x sub div}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=20,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(1.25,1.15)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.05,-0.05)(1.25,1.15)
\end{pspicture}

\end{center}


\label{fin}
\end{document}  