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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Géométrie dans l'espace (deuxième partie)}}\end{center}

\tableofcontents

\subsection{\textcolor{red}{Rappels sur le produit scalaire dans le plan}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Produit scalaire de deux vecteurs colinéaires :}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs colinéaires, alors le produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, noté $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ est le nombre réel (scalaire) défini par : 

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs de même sens, alors $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=OA\times OB$.

\item si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs de  sens opposés, alors $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-OA\times OB$.

\end{enumerate}
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : \\
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}=OA^2$\\

Si l'un des deux vecteurs est nul, leur produit scalaire est nul.\\


\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On définit le carré scalaire du vecteur $\overrightarrow{u}$ par : $\overrightarrow{u}^2=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}=OA^2=||\overrightarrow{u}||^2$.
\end{bclogo}

\bigskip


\textbf{\textcolor{blue}{Exemple :} }\\
On munit une droite $\mathscr{D}$ d'un repère $\left(O~;~\overrightarrow{i}\right)$. On considère les points $A(4)$, $B(7)$, $C(8)$, $D(-3)$.\\
Calculer $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{OD}.\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{CB}$, $\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BC}$.

\subsubsection{\textcolor{blue}{Produit scalaire de deux vecteurs quelconques :}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Le projeté orthogonal d'un point $B$ sur une droite $\mathscr{D}$ $\left(B\notin\mathscr{D}\right)$, est le point $H$ de $\mathscr{D}$ tel que les droites $\mathscr{D}$ et $(BH)$ soient perpendiculaires.\\
Si $B\in \mathscr{D}$, son projeté orthogonal sur $\mathscr{D}$ est lui-même.
\end{bclogo}

\makeatletter
\define@key[psset]{}{transpalpha}{\pst@checknum{#1}\pstranspalpha}
\psset{transpalpha=1}
\def\psfs@transp{%
  \addto@pscode{/Normal .setblendmode \pstranspalpha .setshapealpha }%
  \psfs@solid}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-1)(6.5,4)
\pspolygon(5.82,0.42)(5.4,0.42)(5.4,0)(5.82,0)
\psline{->}(0,0)(2.7,0)
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\psplot{1}{6}{(-0-0*x)/2.7}
\psline(5.82,2.88)(5.82,0)
\psdots[linecolor=blue](0,0)
\rput[bl](0.08,0.12){\blue{$O$}}
\psdots[linecolor=xdxdff](2.7,0)
\rput[bl](2.78,0.12){\xdxdff{$A$}}
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\rput[bl](5.9,0.12){\darkgray{$H$}}
\uput[d](-1,0){$\mathscr{D}$}
\end{pspicture*}
%%%
\makeatletter
\define@key[psset]{}{transpalpha}{\pst@checknum{#1}\pstranspalpha}
\psset{transpalpha=1}
\def\psfs@transp{%
  \addto@pscode{/Normal .setblendmode \pstranspalpha .setshapealpha }%
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\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.3,-1)(3.5,4)
\pspolygon(-1.32,0)(-1.32,0.42)(-1.74,0.42)(-1.74,0)
\psline{->}(0,0)(2.7,0)
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\psplot{-4.3}{3.5}{(-0-0*x)/2.7}
\psline(-1.74,2.72)(-1.74,0)
\psdots[linecolor=blue](0,0)
\rput[bl](0.08,0.12){\blue{$O$}}
\psdots[linecolor=xdxdff](2.7,0)
\rput[bl](2.78,0.12){\xdxdff{$A$}}
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\rput[bl](-1.66,2.84){\blue{$B$}}
\psdots[linecolor=darkgray](-1.74,0)
\uput[dl](-1.66,0.12){\darkgray{$H$}}
\uput[d](-3,0){$\mathscr{D}$}
\end{pspicture*}
%%%%%%%%%
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(4,4)
\psline{->}(0,0)(2.7,0)
\psline{->}(0,0)(0,2.56)
\psplot{1}{4}{(-0-0*x)/2.7}
\psline(0,2.56)(0,0)
\psdots[linecolor=blue](0,0)
\rput[bl](0.08,0.12){\blue{$O=H$}}
\psdots[linecolor=xdxdff](2.7,0)
\rput[bl](2.78,0.12){\xdxdff{$A$}}
\psdots[linecolor=blue](0,2.56)
\rput[bl](0.08,2.68){\blue{$B$}}
\psdots[linecolor=darkgray](0,0)
\uput[d](2,0){$\mathscr{D}$}
\end{pspicture*}\\

\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs non nuls, on définit leur produit scalaire par : $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OH}$, où $H$ est le projeté orthogonal du point $B$ sur la droite $(OA)$.
\end{bclogo}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Vecteurs orthogonaux}}
\begin{minipage}{16cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcfleur]{\textcolor{red}{Propriété}}
Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ est nul.
\end{bclogo}
\end{minipage}\\
%
\textcolor{red}{Conséquences :}\\

\bigskip

\parbox{8cm}{\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-7)(7,1)
\psline{->}(0.06,-2.24)(3.6,-2.22)
\psline{->}(0.06,-2.24)(5.64,0.28)
\psline{->}(0.06,-2.24)(5.64,-4)
\psline(5.64,0.28)(5.64,-4)
\psline(3.6,-2.22)(5.64,-2.21)
\psdots[linecolor=blue](0.06,-2.24)
\rput[bl](0.14,-2.12){\blue{$A$}}
\psdots[linecolor=blue](3.6,-2.22)
\rput[bl](3.68,-2.1){\blue{$B$}}
\psdots[linecolor=blue](5.64,0.28)
\rput[bl](5.72,0.4){\blue{$C$}}
\psdots[linecolor=darkgray](5.64,-4)
\rput[bl](5.72,-3.88){\darkgray{$C_1$}}
\psdots[linecolor=darkgray](5.64,-2.21)
\rput[bl](5.72,-2.08){\darkgray{$H$}}
\end{pspicture*}}\hfill
\parbox{10cm}{$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC_{1}}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}$}

%%%%%%
\parbox{8cm}{\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(1,-7)(16,3)
\psplot{1}{15}{(--9.78-0.02*x)/-3.78}
\psline{->}(5.04,-2.56)(1.26,-2.58)
\psplot{1}{15}{(--33.71-3.78*x)/0.02}
\psplot{1}{15}{(--55.12-3.78*x)/0.02}
\psline{->}(8.92,-0.46)(14.58,0.52)
\psplot{1}{15}{(-15.03--0.02*x)/3.78}
\psline{->}(8.94,-3.93)(14.62,-6.46)
\psline{->}(8.94,-3.93)(14.58,1.6)
\psdots[linecolor=blue](5.04,-2.56)
\rput[bl](5.12,-2.44){\blue{$A$}}
\psdots[linecolor=blue](1.26,-2.58)
\rput[bl](1.34,-2.46){\blue{$B$}}
\psdots[linecolor=blue](8.92,-0.46)
\rput[bl](9,-0.34){\blue{$C$}}
\rput[bl](9.04,6){$b$}
\psdots[linecolor=blue](14.58,0.52)
\rput[bl](14.66,0.64){\blue{$D$}}
\rput[bl](-4.2,-3.82){$d$}
\psdots[linecolor=darkgray](8.94,-3.93)
\rput[bl](9.02,-3.8){\darkgray{$C_{1}$}}
\psdots[linecolor=xdxdff](14.62,-6.46)
\rput[bl](14.7,-6.34){\xdxdff{$D_{1}$}}
\psdots[linecolor=xdxdff](14.57,1.6)
\rput[bl](14.66,1.72){\xdxdff{$D_{2}$}}
\end{pspicture*}}\hfill
\parbox{10cm}{$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{C_{1}D_{1}}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{C_{2}D_{2}}$.}
%
\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcfleur]{\textcolor{red}{Propriété}}
%Soit $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$ un repère orthonormé. On considère les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\vert\vert \overrightarrow{u} \vert\vert\times \vert\vert \overrightarrow{v} \vert\vert\cos\left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.

\item Si $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}$, on a $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\bigskip
\noindent \textbf{\textcolor{red}{Démonstration}} : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Cela vient de la définition initiale.

\item $\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{v}=x'\overrightarrow{i}+y'\overrightarrow{j}$.

On en déduit :

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left(x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}\right).\left(x'\overrightarrow{i}+y'\overrightarrow{j}\right)=x\overrightarrow{i}\times x\overrightarrow{i}+x\overrightarrow{i}\times y'\overrightarrow{j}+y\overrightarrow{j}\times x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}\times y'\overrightarrow{j}=xx'+yy'$ car $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{i}=\vert\vert \overrightarrow{i} \vert\vert^2=1$, $\overrightarrow{j}.\overrightarrow{j}=\vert\vert \overrightarrow{j} \vert\vert^2=1$ et $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=\overrightarrow{j}.\overrightarrow{i}=0$
\end{enumerate}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Vecteur directeur d'une droite}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $\mathscr{D}$ une droite .

\noindent Un vecteur $\overrightarrow{u}$ non nul est un vecteur directeur de $\mathscr{D}$ si, et seulement si, tout vecteur $\overrightarrow{v}$ de $\mathscr{D}$ est colinéaire à $\overrightarrow{u}$.
\end{bclogo}

\bigskip

Conséquence : soit $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ non nul et soit $A\left(x_1~;~y_A\right)$ un point.

\noindent $M(x~;~y)$ appartient à la droite passant par A et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ si, et seulement si, $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{AM}$ sont colinéaires.

\noindent $\overrightarrow{u\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$ et $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}x-x_1\\y-y_A\end{pmatrix}$.

\noindent On en déduit $a\left(y-y_A\right)-b\left(x-x_A\right)=0$ (équation cartésienne de $\mathscr{D}$).

\subsubsection{\textcolor{blue}{Vecteur normal à une droite}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $\mathscr{D}$ une droite .

\noindent Un vecteur $\overrightarrow{u}$ non nul est un vecteur normal à $\mathscr{D}$ si, et seulement si, tout vecteur $\overrightarrow{v}$ de $\mathscr{D}$ est orthogonal à $\overrightarrow{u}$.
\end{bclogo}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Équation cartésienne d'une droite $\mathscr{D}$}}
Soit $A\left(x_A~;~y_A\right)$ un point et soit $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ un vecteur non nul.

\noindent Une équation cartésienne de $\mathscr{D}$ est $a\left(x-x_A\right)+b\left(y-y_A\right)=0$
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration}} :

\noindent Soit $M(x~;~y)$ un point quelconque. $M(x~;~y)$ appartient à $\mathscr{D}$ si, et seulement si, $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{u}$ sont orthogonaux.

$\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ ; $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}x-x_1\\y-y_A\end{pmatrix}$.

\noindent $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AM}=0\Leftrightarrow a\left(x-x_A\right)+b\left(y-y_A\right)=0$ (c.q.f.d)





\subsection{\textcolor{red}{Produit scalaire dans l'espace}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Produit scalaire}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs de l'espace.\\
$A$, $B$ et $C$ sont trois points de l'espace tels que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$.\\
Il existe au moins un plan $\mathscr{P}$ contenant ces trois points $A$, $B$ et $C$ (unique si les points ne sont pas alignés).\\
Le produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ est le produit scalaire $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ calculé dans le plan $\mathscr{P}$.\\
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque :}} il ne dépend pas du choix des points : en effet, dans $\mathscr{P}$, on a : $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}(AB^2+AC^2-BC^2)$. Si l'on choisit trois autres points $A'$, $B'$ et $C'$ tels que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{A'B'}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{A'C'}$, alors : \\
$\overrightarrow{A'B'}.\overrightarrow{A'C'}=\dfrac{1}{2}(A'B'^2+A'C'^2-B'C'^2)=\dfrac{1}{2}(AB^2+AC^2-BC^2)=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$.\\
Autrement dit : $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\dfrac{1}{2}\left(||\overrightarrow{u||}^2+||\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}||^2\right)}}$

%\newpage


\subsubsection{\textcolor{blue}{Différentes façons de calculer le produit scalaire}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcfleur]{\textcolor{red}{Propriétés}}
\begin{enumerate}
\item $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=||\overrightarrow{u}||||\overrightarrow{v}||\cos (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.

\item Si $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$, alors $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}$ où $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$.

\item Un repère orthonormal dans l'espace étant choisi, si $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ ; $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}a'\\b'\\c'\end{pmatrix}$, alors : \\
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=aa'+bb'+cc'$.
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\bigskip

Les propriétés du produit scalaire de deux vecteurs de l'espace sont les mêmes que celles de deux vecteurs du plan.
En particulier : $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0\Leftrightarrow \overrightarrow{u}\perp\overrightarrow{v}$.

\newpage


\subsubsection{\textcolor{blue}{Vecteur normal à un plan, équation cartésienne d'un plan}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Un vecteur $\overrightarrow{n}$ est orthogonal à un plan $\mathscr{P}$ si $\overrightarrow{n}$ est orthogonal à tout vecteur du plan.
\end{bclogo}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcfleur]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a\\b\\c\end{pmatrix}$ un vecteur et $A(x_A;y_A;z_A)$ un point. 

Une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ passant par $A$ et ayant $\overrightarrow{n}$ comme vecteur normal est : $a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0$\\

\textbf{ \textcolor{red}{Réciproquement}} : $ax+by+cz+d=0$ est une équation cartésienne d'un plan ayant pour vecteur normal $\overrightarrow{n}(a;b;c)$.
\end{bclogo}
 
\bigskip

\textcolor{red}{Démonstration} : $M(x;y;s)\in\mathscr{P}\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0$\\
il suffit de calculer le produit scalaire.





\subsubsection{\textcolor{blue}{Plans sécants}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcfleur]{\textcolor{red}{Propriété}}
Pour montrer que deux plans sont sécants, donc non parallèles, il suffit de montrer que ces deux plans ont des vecteurs normaux non colinéaires.
\end{bclogo}




\subsubsection{\textcolor{blue}{Droite}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une droite est l'intersection de deux plans.\\
Les coordonnées d'un point d'une droite vérifient les équations de deux plans et vérifient donc un système de deux équations.\\
Une droite peut donc être représentée par un système de deux équations cartésiennes de plans
\end{bclogo}

%\subsubsection{\textcolor{blue}{Équation paramétrique d'une droite}}
%\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcfleur]{\textcolor{red}{Propriété}}
%Soit une droite $d$ passant par $A(x_A;y_A,z_A)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$. 
%
%Les coordonnées $(x;y;z)$ de tout point $M$ de $d$ sont de la forme :\\
%$\begin{cases}x=x_A+ka\\y=y_A+kb\\z=z_A+kc\end{cases}$.\\
%C'est ce qu'on appelle  représentation paramétrique de $d$.
%
%\textbf{\textcolor{red}{Réciproque}} : évidente
%\end{bclogo}
%
%\bigskip
%\textbf{\textcolor{red}{Démonstration}} :  $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires, d'où $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{u}$. on en déduit le résultat en considérant les coordonnées.

\subsection{\textcolor{red}{Représentation paramétrique d'un plan}}
(plus au programme)

\bigskip

On suppose que l'espace est muni d'un repère $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$.

Soit $\mathscr{P}$ un plan défini par un point $A\left(x_A~;~y_A~;~z_A\right)$ et deux vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}a'\\b'\\c'\end{pmatrix}$ non colinéaires.

Soit $M(x~;~y~;~z)$ un point quelconque du plan $\mathscr{P}$.

Il existe deux réels $t$ et $t'$ tels que $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{u}+t'\overrightarrow{v}$.

En terme de coordonnées :

$\begin{cases}x-x_A=at+a't'\\y-y_A=bt+b't'\\z-z_A=ct+c't'\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=x_A+at+a't'\\y=y_A+bt+b't'\\z=z_A+ct+c't'\end{cases}$ qu'on appelle représentation paramétrique du plan $\mathscr{P}$.

\label{fin}
\end{document}  