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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents



\begin{center}
\textcolor{red}{\section*{Correction des exercices de calculs de produis scalaires}}
\end{center}

%http://xymaths.free.fr/Lycee/1STI/Cours-1STI2D/Cours-Produit-scalaire-1STI-Exercices.php?pdf



\subsection{}

\noindent $ABC$ est un triangle équilatéral de côté 4 cm. \\
$I$ est le milieu de $[BC]$. \begin{center}
\psset{xunit=1.cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(3,3)
  \pspolygon(0,0)(3,0)(1.5,2.7)
  \psline[linestyle=dashed](1.5,0)(1.5,2.7)
  \rput(-0.2,-0.1){$A$}
  \rput(3.2,-0.1){$B$}
  \rput(1.5,2.9){$C$}
  \rput(1.5,-0.3){$I$}
\end{pspicture}
\end{center}

\noindent Calculer les produits scalaires: 

\begin{enumerate}[a)]
\item  $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AI}=AB\times AI=4\times 2=\boxed{\textcolor{red}{8}}$ 

\item $AB\cdot\overrightarrow{AI}=AB\times 1I=\boxed{\textcolor{red}{8}}$

\item $\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{BI}=IA\times BI=2\times 2=\boxed{\textcolor{red}{4}}$  (vecteurs colinéaires de même sens)

\end{enumerate}



\subsection{}
$ABCD$ est un carré de côté 2 cm de centre $O$.
\begin{center}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(3,3.4)
  \pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3)
  \psline[linestyle=dashed](0,0)(3,3)
  \psline[linestyle=dashed](0,3)(3,0)
  \rput(-0.2,-0.1){$A$}
  \rput(3.2,-0.1){$B$}
  \rput(3.2,3.1){$C$}
  \rput(-0.2,3.1){$D$}
  \rput(1.5,1.1){$O$}
\end{pspicture}

\end{center}

Calculer les produits scalaires: 


\begin{enumerate}[a)]
\item $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=\boxed{\textcolor{red}{0}}$(vecteurs orthogonaux) 

\item $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}^2=AB^2=2^2=\boxed{\textcolor{red}{4}}$\\
On peut aussi utiliser la relation de Chasles : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}^2=AB^2\\
=2^2=\boxed{\textcolor{red}{4}}$.

\item $\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BC}^2=BC^2=4$ 

\item $\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{DC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DB}\cdot \overrightarrow{DC}=\dfrac{1}{2}\times \overrightarrow{DC}\cdot \overrightarrow{DC}=\dfrac{1}{2}DC^2=\boxed{\textcolor{red}{2}}$ .

\end{enumerate}



\subsection{}
Dans le triangle $ABC$ ci-dessous, 
$H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$. 

On donne de plus $AC=2$, $AB=4$, et 
$\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{3}$. 

\begin{center}
\psset{unit=1.3cm}
\begin{pspicture}(0,0)(4.5,3)
  \pspolygon(0,0)(4,0)(1.,1.732)
  \psline[linestyle=dashed](1.,0)(1,1.732)
  \psarc(0,0){0.5}{0}{60}\rput(0.6,0.3){$\frac{\pi}{3}$}
  \uput[d](0,0){$A$}
  \uput[d](4,0){$B$}
  \uput[ul](1,1.732){$C$}
  \uput[d](1,0){$H$}
  \uput[l](0.5,0.8){$2$}
\end{pspicture}

\end{center}

\begin{enumerate}[a)]
\item%Calculer $AH$. 
$AH=AC\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=2\times \dfrac{1}{2}=1$ : $\boxed{\textcolor{red}{AH=1}}$.

\item %Déterminer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}$. 
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}=4\times 1=4$

\item %Que remarque-t-on ?
Les deux produits scalaires sont égaux
\end{enumerate}



\subsection{}
$ABD$ est un triangle rectangle isocèle en $B$. \\
L'angle $\widehat{BCD}$ mesure $30\text{\degre}$ et $AB=3$. 
\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(1.5,0)(3,3)
  \pspolygon(0,0)(8,0)(3,3)
  \psline(3,0)(3,3)
  \rput(-0.1,-0.3){$A$}
  \rput(3.,-0.3){$B$}
  \rput(3,3.2){$D$}
  \rput(8,-0.3){$C$}
  \psline(2.8,0)(2.8,0.2)(3,0.2)
  \psarc(8,0){0.8}{150}{180}
  \uput[l](7,.4){30\degre}
  \uput[d](1.5,0){3}
\end{pspicture}

\begin{enumerate}

\item %Calculer les longueurs $AD$, $CD$ et $BC$. 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $ABD$ est isocèle rectangle donc $BD=BA=3$.\\
D'après le théorème de Pythagore, on a $AD=2=3^2+3^2=2\times 3^2$ donc $AD=\sqrt{3\times 2^2}=\boxed{\textcolor{red}{3\sqrt{2}}}$.

\item $CD=\dfrac{BD}{\sin\widehat{BCD}}=\dfrac{3}{\sin 30\text{\degre}}=\dfrac{3}{\frac12}=\boxed{\textcolor{red}{6}}$.

\item $\tan\widehat{BCD}=\dfrac{BD}{BC}$ donc $BC=\dfrac{BD}{\tan\widehat{BCD}}=\dfrac{3}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=\boxed{\textcolor{red}{3\sqrt{3}}}$

\end{enumerate}
\item Déterminer les produits scalaires suivants: 
  
  
\begin{enumerate}
\item $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB}=AB^2=3^2=\boxed{\textcolor{red}{9}}$ .

\item $\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CB}=CB^2=\left(3\sqrt{3}\right)^2=\boxed{\textcolor{red}{27}}$

\item $\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DC}=DA\times DC\times \cos\widehat{ADC}=3\sqrt{2}\times 6\times \cos(45+60)=\boxed{\textcolor{red}{18\sqrt{2}\cos(105\text{\degre})}}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{center}


\subsection{}
$ABC$ est un triangle isocèle de sommet $A$ tel que $AB=2,5$ cm et $BC=3$ cm.\\
$I$ est le milieu de $[BC]$. 
\begin{center}
\psset{unit=1.1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,0)(3,2.6)
  \pspolygon(0,0)(3,0)(1.5,2.7)
  \psline[linestyle=dashed](1.5,0)(1.5,2.7)
  \rput(-0.2,-0.1){$B$}
  \rput(3.2,-0.1){$C$}
  \rput(1.5,2.9){$A$}
  \rput(1.5,-0.2){$I$}
  \psline(1.3,0)(1.3,0.2)(1.5,0.2)
\end{pspicture}

\end{center}
\begin{enumerate}[a)]
\item %Exprimer le produit scalaire $\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BA}$ de deux manières différentes, 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BI}=BC\times BI=3\times 1,5=\boxed{\textcolor{red}{4,5}}$.

\item $\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BA}=BC\times BA\times \cos\widehat{ABC}=3\times 2,5\times \cos\widehat{ABC}=\boxed{\textcolor{red}{7,5\cos\widehat{ABC}}}$


\end{enumerate}
\item %En déduire la valeur de l'angle $\widehat{ABC}$ à $0,1$ degré près. 
On en déduit : $7,5\cos\widehat{ABC}=4,5$ donc $\cos\widehat{ABC}=\dfrac{4,5}{7,5}=\dfrac{45}{75}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{5}}}$ d'où $\widehat{ABC}\approx \boxed{\textcolor{red}{53,13\text{\degre}}}$

\end{enumerate}




\label{fin}
\end{document}
