\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,numprint} \usepackage[dvips]{color} \usepackage[tikz]{bclogo} \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl,colortbl,longtable} \usepackage[francais]{babel} \everymath{\displaystyle} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset -1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt \renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}}} \renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} \pagestyle{fancy} % pour le pied de page central \cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}} \begin{document} \begin{center}\section*{\textcolor{red}{Équations différentielles}}\end{center} \tableofcontents \subsection*{\textcolor{blue}{Activité A page 286}} \begin{enumerate} \item Soit $f(x)=3\mathrm{e}^{2x}$.\\ Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f'(x)=3\times 2\mathrm{e}^{2x}=6\mathrm{e}^{2x}$.\\ Par conséquent : $f'(x)-2f(x)=6\mathrm{e}^{2x}-6\mathrm{e}^{2x}=0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'-2f=0}}$. \item Soit l'équation $y'=4y-6$. \begin{enumerate} \item $f(x)=3\mathrm{e}^{4x}+\dfrac{3}{2}$ ; $f'(x)=12\mathrm{e}^{4x}$ et $4f(x)-6=12\mathrm{e}^{4x}+6-6=12\mathrm{e}^{4x}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'=4f-6}}$.\\ $f$ vérifie cette équation. \item $g(x)=4\mathrm{e}^{x}-6$\\ $g'(x)=4\mathrm{e}^{x}$ ; $4g(x)-6=16\mathrm{e}^{x}-24-6=16\mathrm{e}^{x}-30$ donc $\boxed{\textcolor{red}{g'\neq 4g-6}}$ ; $g$ ne vérifie pas cette équation. \item $h(x)=5\mathrm{e}^{4x}+\dfrac{3}{2}$\\ $h'(x)=5\times 4\mathrm{e}^{4x}=20\mathrm{e}^{4x}$ ; $4h(x)-6=20\mathrm{e}^{4x}+6-6=20\mathrm{e}^{4x}$.\\ $\boxed{\textcolor{red}{h'=4h-6}}$ donc $h$ est solution de cette équation. \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{\textcolor{red}{Équations différentielles}} \subsection*{\textcolor{blue}{Définition}} \begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}} Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction et où interviennent des dérivées de cette fonction. \end{bclogo} \bigskip \textbf{\textcolor{red}{Exemples}} : \begin{enumerate}[1)] \item Soit l'équation $y'=y$ ; une solution est la fonction $\exp$. \item \end{enumerate} \newpage \subsection{\textcolor{red}{Résolution de l'équation différentielle $\mathbf{y'=ay}$, $a\neq 0$}} \begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}} L'équation différentielle $y'=ay$ qui s'écrit aussi $y'-ay=0$ où $a$ et $b$ sont des réels est appelée équation différentielle linéaire homogène de premier ordre à coefficients constants. \end{bclogo} \bigskip \begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}} Les solutions de l'équation différentielle (E) $y'=ay$ sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $y(x)=k\mathrm{e}^{ax}$, où $k$ est un réel quelconque.\\ Pour tous réels $x_0$ et $y_0$, il existe une unique solution $y$ telle que $y\left(x_0\right)=y_0$ \end{bclogo} \bigskip \textbf{\textcolor{blue}{Démonstration}}. \begin{enumerate}[$\bullet$] \item Soient $k$ un réel et $y$ la fonction définie par $y=k\mathrm{e}^{ax}$.\\ Alors $y'(x)=k\times a\mathrm{e}^{ax}=a\times y(x)$ donc $y'=ay$.\\ $y$ est bien une solution de cette équation (E) \item \textbf{\textcolor{red}{Réciproquement}} : \\ Soit $y$ une solution de (E) donc $y'=ay$.\\ On considère la fonction $g$ définie par $g(x)=y(x)\mathrm{e}^{-ax}$.\\ $g$ est dérivable et $g'(x)=y'(x)\mathrm{e}^{-ax}+y(x)\times \left(-a\mathrm{e}^{-ax}\right)=ay(x)\mathrm{e}^{-ax}-ay(x)\mathrm{e}^{-ax}=0$.\\ Pour tout $x$, $g'=0$ donc $g$ est une fonction constante.\\ Il existe $k\in\mathbb{R}$ tel que $g=k$ donc $g(x)=k$ pour tout $x$.\\ Or $g(x)=y(x)\mathrm{e}^{-ax}$, donc $y(x)\mathrm{e}^{-ax}=k$.\\ On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{y(x)=k\mathrm{e}^{ax}}}$. \end{enumerate} \bigskip \begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}} Soient $y_1$ et $y_2$ deux solutions de (E) et $k$ un réel.\\ Alors $y_1+y_2$ et $ky_1$ sont aussi solutions de (E). \end{bclogo} \subsection{\textcolor{red}{Résolution de $\mathbf{y'=ay+b}$, $a\neq 0$}} \begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}} L'équation différentielle (E) : $y'=ay+b$ ou $y'-ay=b$ est appelée équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants. \end{bclogo} \bigskip \begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}} Les solutions de (E) : $y'=ay+b$ ou $y'-ay=b$ sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $x\mapsto k\mathrm{e}^{ax}-\dfrac{b}{a}$. \end{bclogo} \noindent \textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : les solutions s'obtiennent en ajoutant une solution particulière constante aux solutions de l'équation homogère $y'=ay$ associée. \bigskip \textbf{\textcolor{red}{Démonstration}} : \noindent Soit (E) l'équation différentielle $y'=ay+b$ ($\neq 0$). \begin{enumerate}[$\bullet$] \item On commence par chercher une fonction constante $\varphi$ solution de cette équation.\\ $\varphi(x)=k$~;~$\varphi'(x)=0$ donc $\varphi$ est solution. de (E)si, et seulement si, pour tout $x$, $0=a\varphi(x)+b\Leftrightarrow 0=ak+b$ donc $k=-\dfrac{b}{a}$. \item Soit $y$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$.\\ $y$ est solution de (E) si, et seulement si, $y'=ay+b$ donc, pour tout $x$, $y(x)=ay(x)+b$.\\ $y-\varphi$ est dérivable et $\left(y-\varphi\right)'=y'-\varphi'=(ay+b)-(a\varphi+b)=ay+b-a\varphi-b=a(y-\varphi)$.\\ On. en déduit que $y-\varphi$ est sulution de l'équation différentielle $\left(E_0\right)$ : $y'-ay=0$.\\ D'après le paragraphe précédent, on obtient : $(y-\varphi)(x)=k\mathrm{e}^{ax}$ donc $y(x)=k\mathrm{e}^{ax}+\varphi(x)$, c'est-à-dire : $\boxed{\textcolor{red}{y(x)=k\mathrm{e}^{ax}-\dfrac{b}{a}}}$. \item Les solutions de (E) sont donc les fonctions définies par $\boxed{\textcolor{red}{y(x)=k\mathrm{e}^{ax}-\dfrac{b}{a},~k\in\mathbb{R}}}$ \end{enumerate} \bigskip Exemple : soit (E) : $y'=3y-2$.\\ $y'=ay+b$ avec $a=3$ et $b=2$.\\ Les solutions de cette équation. différentielle sont les fonctions : $\boxed{\textcolor{red}{y\mapsto y(x)=k\mathrm{e}^{3x}-\dfrac{2}{3}}}$. \subsection{\textcolor{red}{Équation différentielle $\mathbf{y'=f}$}} $f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$. \subsubsection{\textcolor{blue}{Primitive d'une fonction continue}} \begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}} Soit $F$ une fonction définie sur $I$. On dit que $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et $F'=f$.\\ On dit alors que $F$ est une solution de l'équation différentielle $y'=f$. \end{bclogo} \bigskip \textbf{\textcolor{blue}{Exemples}} : \begin{enumerate}[a] \item Soit l'équation différentielle $y'=x^2$. (remarque, on commet un abus de langage, car $x^2$ est un nombre, pas une fonction).\\ Soit $F(x)=\dfrac{1}{3}x^3$ ; $F'(x)=\dfrac{1}{3}\times 3x^2=x^2$ donc $F$ est solution de l'équation différnetielle $y'=x^2$. \bigskip On peut remarque que $G_k(x)=F(x)=k$, où $k\in\mathbb{R}$, vérifie aussi $F'=x^2$, donc $G_k$ est aussi une solution, quelle que soit la valeur de $k$, ce qui montre qu'il n'y a pas unicité d'une primitive. \item Soit l'équation différentielle $y'=\dfrac{1}{x}$ sur $\left]0~;~+\infty\right[$ ; \\ $F$ définie par $F(x)=\ln x$ est solution de cette équation différentielle car $\ln'(x)=\dfrac{1}{x}$. \end{enumerate} \bigskip \begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème (admis)}} Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur cet intervalle. \end{bclogo} \bigskip \begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}} Deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une constante. \end{bclogo} \bigskip \textbf{\textcolor{blue}{Démonstration}}.\\ Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$.\\ \begin{enumerate}[$\bullet$] \item Soit $F$ une primitive de $f$ donc $F'=f$.\\ Soit $k\in\mathbb{R}$ une constante. $(F+k)'=F'+0=f$ donc $F+k$ est aussi une primitive de $f$. \item Soient $F$ et $G$ deux primitives de $f$ sur $I$.\\ Alors $F'=f$ et $G'=f$.\\ $G-F$ est dérivable ; $(G-F)'=G'-F'=f-f=0$ donc $(G-F)'=0$.\\ $G-F$ est donc constant ; $G-F=k$ d'où $G=F+k$, $k\in\mathbb{R}$. \end{enumerate} \bigskip \begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}} On considère l'équation différentielle $y'=f$.\\ Soient $x_0$ et $y_0$ deux réels.\\ Il existe une unique solution de cette équation différentielle, donc une unique primitive $F$ de $f$, telle que $F\left(x_0\right)=y_0$ \end{bclogo} \bigskip \textbf{\textcolor{blue}{Démonstration}} :\\ $f$ est continue, donc admet une primitive $F$. Les autres primitives de $f$ sont de la forme $F+k$.\\ On doit avoir $F\left(x_0\right)=y_0$ donc $k=y_0-F\left(x_0\right)$ ~;~ $k$ est donc unique et la primitive aussi. \bigskip \noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} : soit $f(x)=\mathrm{e}^{3x}$.\\ Une primitive de $f$ est $F(x)=\dfrac{1}{3}\mathrm{e}^{3x}$ car $F'(x)=3\mathrm{e}^{3x}$.\\ Il y a une seule primitive $G$ de $f$ vérifiant $G(0)=-1$.\\ $G(x)=F(x)+k=\dfrac{1}{3}\mathrm{e}^{3x}+k$ ; $G(0)=-1\Leftrightarrow k=-\dfrac{1}{3}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{G(x)=\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{3}}}$ \newpage \subsubsection{\textcolor{blue}{Primitives des fonctions usuelles}} \noindent Par lecture inverse du tableau des dérivées des fonctions usuelles, on obtient les résultats suivants:\\ \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.8} \begin{longtable}{|c|c|c|}\hline \rowcolor{blue!20} \textcolor{red}{{\text{Fonction}}}&\textcolor{red}{{\text{une primitive}}}&\textcolor{red}{{\text{validité sur}}}\endfirsthead\hline \textcolor{red}{{\text{Fonction}}}&\textcolor{red}{{\text{une primitive}}}&\textcolor{red}{{\text{validité}}}\endhead\hline $f(x)=a\in\mathbb{R}$&$F(x)=ax$&$\mathbb{R}$\\ \hline $f(x)=x^n(n\in\mathbb{N}^*)$&$F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}$&$\mathbb{R}$\\ \hline $f(x)=\dfrac{1}{x}$&$F(x)=\ln(x)$&$ ]0~;~+\infty[$\\ \hline $f(x)=\dfrac{1}{x^2}$&$F(x)=-\dfrac{1}{x}$&$\mathbb{R}^*$\\ \hline $f(x)=\dfrac{1}{x^n},~n\in\mathbb{N},~n>1$&$F(x)=-\dfrac{1}{(n-1)x^{n-1}}$&$\mathbb{R}^*$\\ \hline $f(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$&$F(x)=\sqrt{x}$&$]0 ;+\infty[$\\ \hline $f(x)=\mathrm{e}^{x}$&$F(x)=\mathrm{e}^{x}$&$\mathbb{R}$\\ \hline $f(x)=\cos x$&$F(x)=\sin x$&$\mathbb{R}$\\ \hline $f(x)=\sin x$&$F(x)=-\cos x$&$\mathbb{R}$\\ \hline \textbf{\textcolor{red}{Hors-programme} }: $f(x)=1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos ^2 x}$&$F(x)=\tan x$&$\left](2k-1)\frac{\pi}{2} ; (2k+1)\frac{\pi}{2} \right[\mbox{ , }k\in\mathbb{Z}$\\ \hline \end{longtable} \end{center} \subsubsection{\textcolor{blue}{Primitives et opérations :}} \noindent Soient $u$ et $v$ deux fonctions admettant des primitives respectives $U$ et $V$ sur un intervalle $I$ et $g$ une fonction admettant une primitive $G$ sur un intervalle $J$ contenant l'intervalle $u(I)$.\\ On note $u'$ la dérivée de $u$. \begin{center} $\begin{array}{|c|c|c|} \hline \rowcolor{blue!20}\textcolor{red}{{\text{Fonction}}}&\textcolor{red}{{\text{une primitive}}}&\textcolor{red}{{\text{validité}}}\\ \hline f=\alpha u+\beta v((\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2)&F=\alpha U+\beta V&I\\ \hline f=u'\times g\circ u&F=G\circ u&I\\ \hline f=u'u^n(n\in\mathbb{N}^*&\frac{u^{n+1}}{n+1}&I\\ \hline f=\frac{u'}{u}&\ln|u|&\mbox{ u ne s'annule pas sur }I\\ \hline f=\dfrac{u'}{u^n},~n\in\mathbb{N},~n>1&F=-\dfrac{1}{(n-1)u^{n-1}}&u\text{ ne s'annule pas sur }I\\ \hline f=\frac{u'}{2\sqrt{u}}&F=\sqrt{u}&u>0\mbox{ sur }I\\ \hline f=u'\mathrm{e}^{u}&F=\mathrm{e}^{u}&\\ \hline f=u'\cos(u)&\sin(u)&I\\ \hline f=u'\sin(u)&-\cos(u)&I\\ \hline \end{array}$ \end{center} Cela vient des formules de dérivation. \bigskip \textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} :\\ Résoudre l'équation différentielle $y'=\dfrac{x}{\left(x^2+1\right)^2}$ (E).\\ Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{x}{\left(x^2+1\right)^2}$.\\ $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ donc $f$ admet des primitives sur $\mathbb{R}$.\\ On remarque que $f(x)=x\times \dfrac{1}{\left(x^2+1\right)^2}$.\\ Posons $u(x)=x^2+1$ ; alors $u'(x)=2x$.\\ On voit que $f=\dfrac{1}{2}u'(x)\times \dfrac{1}{u^2}$ dont une primitive est $F=\dfrac{1}{2}\times \left(-\dfrac{1}{u}\right)$.\\ Par conséquent : $F(x)=-\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{x^2+1}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{1}{2\left(x^2+1\right)}}}$ \bigskip \textbf{\textcolor{blue}{Exemple}}\\ Soit $h$ la fonction définie par : $h(x) = (x - 1)\text{e}^{-2x} + 1$.\\ Montrer que $H$ définie par $H(x) = \dfrac{1}{4}(1 - 2x)\text{e}^{-2x} + x$ est une primitive de $h$. \bigskip $H'(x)=\dfrac{1}{4}\left[-2\mathrm{e}^{-2x}-2(1-2x)\mathrm{e}^{-2x}\right]+1=\dfrac{1}{4}\left[-2-2+4x\right]\mathrm{e}^{-2x}+1=(x-1)\mathrm{e}^{-2x}+1=h(x)$.\\ Pour tout $x$, $H'(x)=h(x)$ donc $H$ est bien une primitive de $h$. \subsection{\textcolor{blue}{Résolution de $\mathbf{y'=ay+f}$, $a\neq 0$}} \begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}} L'équation différentielle (E) : $y'=ay+f$ ou $y'-ay=f$ est appelée équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants avec second membre. \end{bclogo} \bigskip \begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}} Soit $\varphi$ une solution particulière de (E).\\ Alors $y$ est une solution de (E)si, et seulement si, $y-\varphi$ est une solution de l'équation différentielle homogène associée $y'=ay$. \end{bclogo} \bigskip \noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} : \\ Soit l'équation différentielle $2y'+3y=6x+1$.\\ On note $\varphi$ une fonction affine qui est une solution particulière de (E).\\ À l'aide de $\varphi$, résoudre (E). \bigskip \begin{enumerate} \item On pose $\varphi(x)=mx+p$ (fonction affine).\\ $\varphi$ est solution de (E)$\Leftrightarrow 2m+3(mx+p)=6x+1\Leftrightarrow \begin{cases}3m=6\\2m+p=1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m=2\\p=-1\end{cases}$.\\ Òn en déduit $\varphi(x)=2x-1$. \item L'équation homogène associée est $2y'+3y=0\Leftrightarrow y'=-\dfrac{3}{2}y$.\\ Les solutions sont $x\mapsto k\mathrm{e}^{-\frac32x}$, $k\in\mathbb{R}$.\\ Les solutions de l'équation (E) sont donc $\boxed{\textcolor{red}{x\mapsto k\mathrm{e}^{-\frac32x}+2x-1}}$ \end{enumerate} \label{fin} \end{document}