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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Spécialité mathématiques: contrôle (récurrence et suites)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

%\subsection{\textcolor{blue}{Démonstration par récurrence}}
%Soit une suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}$ pour tout entier naturel $n$.\\
%Démontrer, par récurrence sur $n$ que, pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $u_n=\dfrac{2}{2n+1}$.

\subsection{\textcolor{blue}{Démonstration par récurrence\hfill (2 points)}}
Montrer, par récurrence, que pour tout $n\geqslant 1$, \[S_n=1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2.\]
\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : $S_n$ est la somme des $n$ premiers nombres impairs.

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill (1,5 point)}}%https://arousselle.perso.math.cnrs.fr/2019CC1S2MathsFiTD3Sujet1Cor.pdf
Soit $\left(u_n\right)$ la suite arithmétique de premier terme $u_0 = 4$ et de raison $r = 6$.\\
Calculer $u_5$ et $u_{30}$.

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill (2 points)}}
Soit $\left(u_n\right)$ la suite arithmétique telle que $u_6 = 112$ et $u_{14} = 56$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la raison $r$ puis le terme initial $u_0$ de la suite.

\item La suite $\left(u_n\right)$ est-elle croissante ? Décroissante ? Justifier.
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{\hfill (2 points)}}
Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0=1$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=u_n+n^2+1$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$

\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill (2 points)}}
Soit $\left(u_n\right)$ la suite géométrique de terme initial $u_0 = 3$ et de raison $q = 1,1$.\\
On note : $S_n =u_0+u_1+u_2+\cdots+u_n=\sum_{k=0}^{k=n}u_k$.\\
Calculer $S_{20}$.



\subsection{\textcolor{blue}{\hfill (5 points)}}%bac ES centres étrangers juin 2000
\begin{enumerate}
\item Une entreprise a fabriqué \numprint{20000} objets d'un modèle $\alpha$ en 1999.\\
Elle réduit progressivement cette production de 2\:500 pièces par an jusqu'à ce que la production devienne nulle.\\
On note $u_{0}$ la production du modèle $\alpha$ pour l'année 1999 et $u_{n}$  la production du modèle $\alpha$ pour l'année (1999 + $n$).

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$.

\item Exprimer $u_{n+ 1}$ en fonction de $u_{n}$.\\
Quelle est la nature de la suite $(u_{n})$ ?

\item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.

\item Déterminer le nombre \textbf{total} d'objets de modèle $\alpha$ qui auront été produits du 1\ier{} janvier 1999 au 31 décembre 2007.
\end{enumerate}

\item Dès 1999, cette entreprise lance un nouveau modèle $\beta$. \numprint{11000} objets du modèle $\beta$ ont été produits en 1999.\\
La production du modèle $\beta$ augmente de 8\:\% chaque année.\\
On note $v_{0}$ la production du modèle $\beta$ pour l'année 1999 et $v_{n}$ la production du modèle $\beta$ pour l'année (1999 + $n$). Les résultats numériques seront arrondis à l'unité près.

\begin{enumerate}
\item Vérifier que $v_{1} = \numprint{11880}$ et calculer $v_{2}$.

\item Exprimer $v_{n + 1}$ en fonction de $v_{n}$.\\
Quelle est la nature de la suite $(v_{n})$ ?

\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. 

\item Calculer la production de l'année 2007.

\item Déterminer le nombre \textbf{total} d'objets de modèle $\beta$ qui auront été produits du 1\ier{} janvier 1999 au 31 décembre 2007.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{\hfill (5,5 points)}}%Métropole juin 2013
Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par : $u_0=2$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{2}{3}u_n+\dfrac{1}{3}n+1$.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$, et $u_4$. On pourra en donner des valeurs approchées à $10^{-2}$ près.

\item Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, \\
$u_n\leqslant n+3$.

\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{3}\left(n+3-u_n\right)$.

\item En déduire une validation de la conjecture précédente. (utiliser a))
\end{enumerate}

\item On désigne par $\left(v_n\right)$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par \\
$v_n=u_n-n$.

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q=\dfrac{2}{3}$.

\item En déduire que pour tout entier naturel n, \\
$u_n=2\left(\dfrac{2}{3}\right)^n+n$.
\end{enumerate}

\item Pour tout entier naturel non nul $n$, on pose \\
$S_n=\sum_{k=0}^{k=n}u_k=u_0+u_1+u_2+\cdots+u_n$.\\
Exprimer $S_n$ en fonction de $n$.

\end{enumerate}

\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  
