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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Spé maths : DM \no  1}}\end{center}


\bigskip

\begin{center}
\emph{\og{}Tout l'univers repose sur l'ensemble des entiers naturels.\fg{} \\(Pythagore (569 avant J.C. -vers 500 avant J.C.))}
\end{center}

\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Résoudre les équations et inéquations suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $9x^2+4x+5=0$

\bigskip

\item $2x^2+28x=15$

\bigskip

\item $x^2+2x+3<0$

\bigskip

\item $x^2+x-1\leqslant 0$

\bigskip

\item $x^4-6x^2+8=0$
\end{enumerate}

\subsection{}
$\left(u_n\right)$ est la suite arithmétique de raison $r=3$ et telle que $u_3=5$.\\
Trouver la valeur de $u_0$ et de $u_{24}$.

\subsection{}[a)]
$\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q$ et telle que $u_2=54$ et $u_4=162$.\\

\begin{enumerate}
\item Y a-t-il plusieurs valeurs possibles pour $q$ ?

\item Calculer $u_0$.
\end{enumerate}

\subsection{}

$\left(u_n\right)$ est la suite arithmétique de raison 6 telle que $u_0 = 7$.\\
$\left(v_n\right)$ est la suite définie pour tout nombre $n$ de $\mathbb{N}$. par $v_n = 5u_n - 1$.\\
Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est arithmétique. 

\subsection{}

$\left(u_n\right)$ est la suite de nombres réels strictement positifs définie par $u_0 = 2$ et pour tout nombre $n\in\mathbb{N}$, 
\[u_{n+1}=\dfrac{u_n}{u_n+1}.\]
$\left(v_n\right)$ est la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $v_n =\dfrac{1}{u_n}$.

\begin{enumerate}[a)]

\item Démontrer, par récurrence, que tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont strictement positifs.\\
Expliquer alors pourquoi les termes $u_n$ sont définis pour tout $n$.

\item Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$ puis $v_1$, $v_2$, $v_3$, $v_4$.

\item Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite arithmétique. 

\item Pour tout nombre $n\in\mathbb{N}$. exprimer : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $v_n$ en fonction de $n$ ;

\item $u_n$ en fonction de $n$. 

\end{enumerate}
\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{Évaporation }}
En période de sécheresse, une piscine perd chaque semaine un vingtième de son contenu par évaporation. En début de période, elle contient 60 \si{m^3} d'eau. On suppose que la sécheresse dure 8 semaines et que l'on n'ajoute pas d'eau.\\
On note $V_0 = 60$ le volume de départ puis $V_1$, $V_2$, \dots $V_n$ les volumes d'eau de la piscine au bout respectivement, d'une semaine, de deux semaines, \dots , de $n$ semaines. 

\begin{enumerate}[a)]
\item Catculer $V_1$ et$V_2$.

\item Comment calcule-t-on $V_{n+1}$ à partir de $V_n$ ? 

\item Quelle est la nature de la suite $\left(V_n\right)$ ?

\item Quel sera le volume d'eau dans la piscine à la fin de la huitième semaine?

\end{enumerate}


\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  