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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Spécialité mathématiques: correction du contrôle (récurrence et suites)}}\end{center}



\subsection{\textcolor{blue}{Démonstration par récurrence\hfill (2 points)}}
%Montrer, par récurrence, que pour tout $n\geqslant 1$, \[S_n=1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2.\]
%\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : $S_n$ est la somme des $n$ premiers nombres impairs.
Soit $P(n)$ la propriété : $n\geqslant 1$, $S_n=1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$.\\
Démontrons-la par récurrence.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : pour $n=1$, $S_1=1$ car $S_1$ ne contient qu'un seul terme et $n^2=1^2=1=S_1$ donc $P(1) $est vraie.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : on suppose que $P(n)$ est vraie pour un entier $n$ quelconque.\\
donc $S_n=1+3+\cdots+(2n-1)=n^2$.\\
Alors : $S_{n+1}=1+3+\cdots+(2n-1)+(2(n+1)-1)=S_n+(2n+1)=n^2+2n+1=(2n+1)^2$ (identité remarquable) donc $P(n+1)$ est vraie.\\
La propriété est \textbf{\textcolor{blue}{héréditaire}}.

\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout $n\geqslant 1$.

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill (1,5 point)}}%https://arousselle.perso.math.cnrs.fr/2019CC1S2MathsFiTD3Sujet1Cor.pdf
Soit $\left(u_n\right)$ la suite arithmétique de premier terme $u_0 = 4$ et de raison $r = 6$.\\
%Calculer $u_5$ et $u_{30}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u_5=u_0+5r=4+5\times 6=34$ ; $\boxed{\textcolor{red}{u_5=34}}$

\item $u_{30}=u_0+30r=4+30\times 6=184$ ; $\boxed{\textcolor{red}{u_{30}=184}}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill (2 points)}}
Soit $\left(u_n\right)$ la suite arithmétique telle que $u_6 = 112$ et $u_{14} = 56$.

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la raison $r$ puis le terme initial $u_0$ de la suite.
$u_{14}=u_6+(14-6)r=u_6+8r$ donc $r=\dfrac{u_{14}-u_6}{8}=\dfrac{56-112}{8}=-\dfrac{56}{8}=-7$ ; $\boxed{\textcolor{red}{r=-7}}$.\\
$u_6=u_0+6r$ donc $u_0=u_6-6r=112-6\times (-7)=112+42=154$ ; $\boxed{\textcolor{red}{u_0=154}}$

\item %La suite $\left(u_n\right)$ est-elle croissante ? Décroissante ? Justifier.
$r=-7<0$ donc la suite est décroissante. (c'est du cours)
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{\hfill (2 points)}}
Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0=1$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{\textcolor{red}{\mathbf{n}}+1}=u_{\textcolor{red}{\mathbf{n}}}+\textcolor{red}{\mathbf{n}}^2+1$.\\
Le terme $n$ qu'on a dans $u_{n+1}$ est le même que ceui dans $u_n$ et dans $n^2$ !
\begin{enumerate}
\item %Calculer $u_1$ et $u_2$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u_1=u_0+0^2+1=1^2+0+1=\boxed{\textcolor{red}{2}}$

\item $u_2=u_1+1^2+1=2+1+1=\boxed{\textcolor{red}{4}}$.
\end{enumerate}

\item %Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}-u_n=n^2+1\geqslant 1>0$ donc $\left(u_n\right)$ est strictement croissante.\\
On ne peut pas se contenter de regarder les premiers termes !

Par exemple, $u_n=n(n-1)(n-2)(n-3)$ vaut 0 pour $n=0$, $n=1$, $n=2$ et $n=3$ ; on ne peut pas en déduire que la suite est constante et vaut 0 pour tout $n$ !
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill (2 points)}}
Soit $\left(u_n\right)$ la suite géométrique de terme initial $u_0 = 3$ et de raison $q = 1,1$.\\
On note : $S_n =u_0+u_1+u_2+\cdots+u_n=\sum_{k=0}^{k=n}u_k$.\\
%Calculer $S_{20}$.
D'après le cours, $S_n=u_0\times \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}=3\times \dfrac{1^{21}-1,1}{1,1-1}=\boxed{\textcolor{red}{30\left(1,1^{21}-1\right)}}$.\\
Remarque : il n'était pas demandé de valeur approchée ; si on veut une valeur approchée, il faut effectuer le caccul à la machine en une seule fois ! On trouve $S_{20}\approx \numprint{192.007498328}$



\subsection{\textcolor{blue}{bac ES centres étrangers juin 2000 \hfill (5 points)}}%
\begin{enumerate}
\item Une entreprise a fabriqué \numprint{20000} objets d'un modèle $\alpha$ en 1999.\\
Elle réduit progressivement cette production de \numprint{2500} pièces par an jusqu'à ce que la production devienne nulle.\\
On note $u_{0}$ la production du modèle $\alpha$ pour l'année 1999 et $u_{n}$  la production du modèle $\alpha$ pour l'année (1999 + $n$).

\begin{enumerate}
\item %Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u_1=u_0-\numprint{2500}=\numprint{20000}-\numprint{2500}=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{17500}}}$.

\item $u_2=u_1-\numprint{2500}=\numprint{17500}-\numprint{2500}=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{15000}}}$.
\end{enumerate}

\item %
Pour tout $n$, $\boxed{\textcolor{red}{u_{n+1}=u_n-2500}}$.
%Quelle est la nature de la suite $(u_{n})$ ?
La suite $\left(u_n\right)$ est arithmétique, de raison $\boxed{\textcolor{red}{r=\numprint{2500}}}$ et de premier terme $\boxed{\textcolor{red}{u_0=\numprint{20000}}}$.

\item %
Pour tout $n$, $u_n=u_0+nr=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{20000}-\numprint{2500}n}}$.

\item %Déterminer le nombre \textbf{total} d'objets de modèle $\alpha$ qui auront été produits du 1\ier{} janvier 1999 au 31 décembre 2007.
2007 correspond à $n=8$.\\
Le nombre total d'objets fabriqués est $u_0+u_1+\cdots+u_8=\dfrac{9\left(u_0+u_8\right)}{2}$.\\
$u_8=\numprint{20000}-8\times \numprint{2500}=\numprint{20000}-\numprint{20000}=0$.\\
Alors : $\dfrac{9\left(u_0+u_8\right)}{2}=\dfrac{9\times \numprint{20000}}{2}=9\times \numprint{10000}=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{90000}}}$.

\end{enumerate}

\item Dès 1999, cette entreprise lance un nouveau modèle $\beta$. \numprint{11000} objets du modèle $\beta$ ont été produits en 1999.\\
La production du modèle $\beta$ augmente de 8\:\% chaque année.\\
On note $v_{0}$ la production du modèle $\beta$ pour l'année 1999 et $v_{n}$ la production du modèle $\beta$ pour l'année (1999 + $n$). Les résultats numériques seront arrondis à l'unité près.

\begin{enumerate}
\item% Vérifier que $v_{1} = \numprint{11880}$ et calculer $v_{2}$.
La production augmente de 8\:\% par an, donc est multipliée par $1+8\:\%=1+\dfrac{8}{100}=1,08$.\\
Alors : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $v_1=1,08v_0=1,08\times \numprint{11000}=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{11880}}}$.

\item $v_2=1,08v_1=\numprint{12830,4}\approx \boxed{\textcolor{red}{\numprint{12830}}}$.
\end{enumerate}

\item %Exprimer $v_{n + 1}$ en fonction de $v_{n}$.\\
Pour tout $n$, $\boxed{\textcolor{red}{v_{n+1}=1,08v_n}}$.\\
%Quelle est la nature de la suite $(v_{n})$ ?
On en déduit que la suite $\left(v_n\right)$ est \text{\textcolor{red}{géométrique}}, de raison $\boxed{\textcolor{red}{q=1,08}}$ et de premier terme $\boxed{\textcolor{red}{v_0=\numprint{11000}}}$

\item %Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. 
Puisque $\left(_n\right)$ est géométrique, on a, pour tout $n$ : $v_n=v_0q^n=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{11000}\times 1,08^n}}$.

\item %Calculer la production de l'année 2007.
La production en 2007 est $v_8=\numprint{11000}\times 1,08^8\approx\boxed{\textcolor{red}{\numprint{20360}}}$.

\item %Déterminer le nombre \textbf{total} d'objets de modèle $\beta$ qui auront été produits du 1\ier{} janvier 1999 au 31 décembre 2007.
Le nombre \textbf{total} d'objets de modèle $\beta$ qui auront été produits du 1\ier{} janvier 1999 au 31 décembre 2007 est : \\
$v_0+v_1+\cdots+v_8=v_0\times \dfrac{q^{8}-1}{q-1}=\numprint{11000}\times \dfrac{1,08^9-1}{1,08-1}\approx \boxed{\textcolor{red}{\numprint{137363}}}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Bac S : Métropole juin 2013\hfill (5,5 points)}}
Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par : $u_0=2$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{2}{3}u_n+\dfrac{1}{3}n+1$.

\begin{enumerate}
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item On calcule les premiers termes, par exemple en utilisant le mode récurrence de la calculatrice, et on obtient :

				\begin{tabular}{@{}*{2}{p{5cm}}}
					$u_1 = 2+\dfrac13=\dfrac{7}{3} \approx\boxed{\textcolor{red}{2,33}}$
			&
			$u_2 = 2+\dfrac89 =\dfrac{26}{9}\approx\boxed{\textcolor{red}{2,89}}$
			\\
			$u_3 = 3+\dfrac{16}{27}=\dfrac{97}{27} \approx\boxed{\textcolor{red}{ 3,59}}$
			&
			$u_4 = 4+\dfrac{32}{81} =\dfrac{356}{81}\approx \boxed{\textcolor{red}{4,40}}$
				\end{tabular}
			
						
			\item On peut donc émettre la conjecture que la suite est croissante. On pourra en tout cas affirmer qu'elle n'est pas décroissante.
			
			\end{enumerate}
			
			\item 
			\begin{enumerate}
				\item Nous allons procéder par récurrence : 
				
				\emph{Identification de la propriété} : Pour tout entier naturel $n$, posons la propriété $\mathcal{P}_n$ suivante : $\boxed{\textcolor{red}{u_n \leqslant n+3}}$.
				
				\emph{\textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}}} : Puisque l'on a $u_0 =2$ et $0 + 3 = 3$, on vérifie bien :
				
				$u_0 \leqslant 0 + 3$ : \emph{la propriété }$\mathcal{P}_0$\emph{ est bien vraie.}
				
				\emph{\textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} :} Pour un entier $k$ naturel donné, on suppose la propriété $\mathcal{P}_k$ vraie.
				
				On a $u_{k+1} = \dfrac23 u_k + \dfrac13 k+1$.
				
				Par hypothèse de récurrence : $u_k \leqslant k+3$
				
				En multipliant par un nombre positif : $\dfrac23 u_k \leqslant \dfrac23 (k+3)$
				
				Soit $\dfrac23 u_k \leqslant \dfrac23 k + 2$
				
				Puis, en ajoutant un même nombre dans chaque membre :
				
				$\dfrac23 u_k + \dfrac13 k + 1\leqslant \dfrac23 k  +2+ \dfrac13 k + 1$
				
				Ce qui donne : $u_{k+1} \leqslant k + 3 \leqslant k+4$.
				Donc on a donc $\boxed{\textcolor{red}{u_{k+1} \leqslant (k+1) + 3}}$, c'est à dire que la propriété $\mathcal{P}_{k+1}$ est vraie.
				
				\emph{Nous avons donc démontré le caractère héréditaire de la véracité des propriétés }$\mathcal{P}_n$.
				
				\textbf{\textcolor{blue}{Conclusion}} : Puisque la propriété $\mathcal{P}_0$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire que pour tout entier naturel $n$, on a $\mathcal{P}_n$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $n$, on a bien $u_n \leqslant n+3$.
			
			
			\item $u_{n+1}-u_n = \dfrac23 u_n + \dfrac13 n +1 - u_n = -\dfrac13 u_n + \dfrac13 n + \dfrac33 $
			
			On a donc bien $u_{n+1}-u_n = \dfrac13 \times (- u_n + n +3) =\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac13(n+3 - u_n)}}$.\\
			
			Comme on l'a montré à la question précédente, pour tout $n$ naturel, on a $u_n \leqslant n+3$ ce qui équivaut à dire que la différence $n+3 - u_n$ est positive, et elle le reste en étant multipliée par $\dfrac13$, donc la différence entre deux termes consécutifs étant  positive, on confirme bien que notre conjecture était correcte : la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est bien croissante, dès le rang 0.
			
\bigskip
Remarque : on ne peut pas se baser que sur les premiers termes ; il faut montrer que $u_{n+1}\geqslant u_n$ pour toutes les valeurs de $n$.
			\end{enumerate}		
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item Exprimons, pour un entier $n$ naturel quelconque, $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$ :
			
			$v_{n+1} = u_{n+1} - (n+1) = \dfrac23 u_n + \dfrac13 n +1 - n - 1 = \dfrac23 u_n - \dfrac23 n = \dfrac23 (u_n - n) $
			
			Donc $\boxed{\textcolor{red}{v_{n+1} = \dfrac23 v_n}}$.
			
			La relation de récurrence obtenue confirme que la suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est bien \textbf{\textcolor{red}{géométrique}} de raison $q=\dfrac23$ et de premier terme $v_0 = u_0 - 0 = 2$.
			
			\item On peut donc en déduire une expression explicite du terme général de la suite $v$ : $v_n = v_0 \times q^n = \boxed{\textcolor{red}{2\left(\dfrac23\right)^n}}$.
			
			Enfin, puisque l'on a, pour tout $n$, $v_n = u_n - n$, on en déduit :
			
			$u_n = v_n + n$, et donc on aboutit bien à l'expression demandée : 
			
			$\boxed{\textcolor{red}{u_n = 2\left(\dfrac23\right)^n + n}}$.
			
%			\item Puisque la raison $q$ est strictement comprise entre $-1$ et $1$, on en déduit que la limite de la suite $v$ est 0, et donc par limite d'une somme de suites, la limite de la suite $u$ est donc $+\infty$, et la suite $u$ est donc divergente.
			
		\end{enumerate}
		
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item %$S_n$ est la somme de $n+1$ termes de la suite $u_n$. Mais, comme par ailleurs, on peut considérer que chaque terme $u_n$ est la somme de $v_n$ et de $n$, donc en réordonnant les termes, $S_n$ est la somme de deux \og sous-sommes \fg{} : celle des $n+1$ premiers termes de la suite $v$ et celle des $n+1$ premier entiers naturels.
$S_n=u_0+U_1+\cdots+u_n=\left(v_0+0\right)+\left(v_1+1\right)+\left(v_2+2\right)+\cdots+\left(v_n+n\right)=\left(u_0+u_1+\cdots+n\right)+(1+2+\cdots+n)$.
			
La première sous-somme est une somme des $n+1$ premiers termes d'une suite géométrique, et vaut donc : 
			
$v_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} = 2\dfrac{1 - \left(\dfrac23\right)^{n+1}}{1 - \left(\dfrac23\right)} = 6 \times \left(1 - \left(\dfrac23\right)^{n+1}\right)$.
			
La seconde sous-somme est la somme des $n+1$ premiers entiers naturels, c'est à dire la somme des $n+1$ premiers termes d'une suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 1, donc elle vaut : 
			
$\dfrac{0 + n}2 \times (n + 1) = \dfrac{n(n+1)}2$ (résultat classique).
			
Finalement, on a $\boxed{\textcolor{red}{S_n = 6 \times \left(1 - \left(\dfrac23\right)^{n+1}\right) + \dfrac{n(n+1)}2}}$.
			
\end{enumerate}
		
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}  
