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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Spécialité :correction du devoir sur feuille \no 2 }}\end{center}



\subsection{}
Une personne loue un local à partir du 1\ier{} janvier 2007. Elle a le choix entre deux formules de contrat. Dans les deux cas, le loyer annuel initial (c’est-à-dire le loyer payé en 2007) est \numprint{24000} \euro{} et le locataire s’engage à occuper le local pendant neuf années complètes.

\begin{enumerate}
\item \textbf{\textcolor{red}{Contrat 1}} : Le loyer annuel augmente de 4\:\% par an.
On note $u_0$ le loyer payé la première année, c'est-à-dire le loyer payé en 2007 et $u_n$ le loyer payé en l’année $(2007 + n)$.\\
Le loyer annuel augmente de 4\:\% par an.

\begin{enumerate}
\item %Calculer $u_1$ le loyer payé lors de la deuxième année.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Le coefficient multiplicateur associé à une hausse de 4\:\% est $C=1+\dfrac{4}{100}=1,04$ donc \\$u_1=1,04u_0=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{24960}\text{ \euro}}}$.

\item Autre méthode (équivalente) : $u_1=u_0+\dfrac{4}{100}u_0=\numprint{24000}+\dfrac{4}{100}\times \numprint{24000}=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{24960}\text{ \euro}}}$.
\end{enumerate}

\item %Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ . En déduire la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et donner ses caractéristiques.
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $\boxed{\textcolor{red}{u_{n+1}=1,04u_n}}$ donc la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique, de raison $\boxed{\textcolor{red}{q=1,04}}$ et de premier terme $\boxed{\textcolor{red}{u_0=\numprint{24000}}}$.

\item %Donner l’expression de $u_n$ en fonction de $n$. En déduire $u_8$ à $10^{-2}$ près.
Puisque $\left(u_n\right)$ est géométrique, on a, pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $u_n=u_0q^n$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u_n=\numprint{24000}\times 1,04^n}}$.\\
On obtient alors $u_8=\numprint{24000}\times 1,04^8\approx \numprint{32845,66}$.

\item %Calculer la somme totale payée à l’issue des neuf années de contrat. Arrondir à $10- {-2}$ près.
Notons $S_n$ la somme payée au bout de $n$ année de contrat.\\
$S_n=u_0+u_1+\cdots+u_{n}=u_0\times \dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}$.\\
La somme payée au bout de 9 années de contrat est $S_8=\numprint{24000}\times \dfrac{1,04^9-1}{1,04-1}\approx \boxed{\textcolor{red}{\numprint{253987,09}\text{ \euro}}}$.

\item %Déterminer à partir de quelle année le loyer annuel dépassera \numprint{36000} euros.
À la calculatrice, on trouve que $u_n\geqslant \numprint{36000}$ pour $\boxed{\textcolor{red}{n\geqslant 11}}$, donc à partir de la 12\ieme{} année.

\end{enumerate}

\item \textbf{\textcolor{red}{Contrat 2}} : Le loyer annuel augmente de \numprint{1500} \euro{} par an.\\
On note $v_0$ le loyer payé la première année, c'est-à-dire le loyer payé en 2007 et $v_n$ le loyer payé en l’année $(2007 + n)$.\\
Le loyer annuel augmente de \numprint{1500} \euro{} par an.

\begin{enumerate}
\item %Calculer $v_1$ le loyer payé lors de la deuxième année.
$v_1 = \numprint{24000} + \numprint{1500} = \numprint{25500}\text{ \euro}$ la 2\ieme{} année.

\item %Exprimer $v{n+1}$ en fonction de $v_n$ . En déduire la nature de la suite $\left(v_n\right)$ et donner ses caractéristiques.
Pour tout $n$, $v_{n+1}=v_n+\numprint{1500}$ donc $\left(v_n\right)$ est une suite arithmétique, de raison $\boxed{\textcolor{red}{r=\numprint{1500}}}$ et de premier terme $\boxed{\textcolor{red}{v_0=\numprint{24000}}}$.

\item %Donner l’expression de $v_n$ en fonction de $n$. En déduire $v_8$.
On en déduit : $v_n=v_0+nr$ donc $v_8=\numprint{24000}+8\times \numprint{1500}=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{36000}}}$.

\item %Calculer la somme totale payée à l’issue des neuf années de contrat.
Notons $S'_n$ la somme payée au bout de $n$ anées ; $S_n=v_0+v_1+\cdots+v_n=(n+1)\times \dfrac{v_0+v_n}{2}$.\\
Par conséquent : La somme payée au bout de 8 années est :\\
$S'_8=9\times \dfrac{\numprint{24000}+\numprint{36000}}{2}=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{270000}\text{ \euro}}}$.\\


\item %Déterminer à partir de quelle année le loyer annuel double.
On résout $v_n=2v_0\Leftrightarrow v_0+nr=2v_0\Leftrightarrow nr=v_0\Leftrightarrow n=\dfrac{v_0}{r}=\dfrac{\numprint{24000}}{\numprint{1500}}=\boxed{\textcolor{red}{16}}$.\\
Le loyer double au bout la dix-septième année.

\end{enumerate}

\item \textbf{\textcolor{blue}{Bilan}} : %quel est le contrat le plus intéressant ?
Pour 9 années, on voit que le contrat \no 1 est plus avantageux.\\
À la calculatrice, on voit que $u_n<v_n$ jusqu'à $n=22$, mais que $u_n>v_n$ pour $n\geqslant 23$.

\end{enumerate}

%\subsection{}
%Dans chacun des cas suivants, étudier les variations de la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 =1$ et
%
%\begin{enumerate}
%\item Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1} =-2u_n$
%
%\item Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1} =u_n\left(1-2u_n\right)$.
%\end{enumerate}
%
\subsection{}%Métropole juin 2013
Soit la suite numérique $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\textbf{N}$ par : 

$u_{0} = 2$ et, pour tout entier naturel $n$, \[u_{n+1} = \dfrac{2}{3}u_{n} + \dfrac{1}{3}n + 1.
\] 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ et $u_{4}$. On pourra en donner des valeurs approchées à $10^{- 2}$ près. 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u_1=\dfrac{2}{3}u_0+0+1=\dfrac{4}{3}+1=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{7}{3}\approx 2,33}}$.

\item $u_2=\dfrac{2}{3}u_1+\dfrac{1}{3}+1=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{7}{3}+\dfrac{4}{3}=\dfrac{14}{9}+\dfrac{12}{9}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{26}{9}\approx 2;89}}$.

\item $u_3=\dfrac{2}{3}u_2+\dfrac{1}{3}\times 2+1=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{26}{9}+\dfrac{2}{3}+1=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{97}{27}\approx 3,59}}$

\item $u_4=\dfrac{2}{3}u_3+\dfrac{1}{3}\times 3+1=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{97}{27}+2=\dfrac{194}{81}+2=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{356}{81}\approx 4,40}}$
\end{enumerate}

		\item %Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.
		Il semble que cette suite soit croissante.
	\end{enumerate} 

\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que pour tout entier naturel $n$, \[u_{n} \leqslant n + 3.\]
Soit $\mathscr{P}_n$ la propriété : \og{}$u_n\leqslant n+3$\fg{}.\\
Effectuons une démonstration par récurrence :
 \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : pour $n=0$, $u_0=2$ et $n+3=3$, donc $\mathscr{P}_0$ est vraie.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : on suppose $\mathscr{P}_n$ vraie pour un entier $n$ quelconque, donc $\boxed{\textcolor{red}{u_n\leqslant n+3}}$ (hypothèse de récurrence).\\
$u_n\leqslant n+3\Rightarrow \dfrac{2}{3}u_n\leqslant \dfrac{2}{3}(n+3)\Rightarrow \dfrac{2}{3}u_n+\dfrac{1}{3}n+1\leqslant \dfrac{2}{3}(n+3)+\dfrac{1}{3}n+1=n+3\leqslant n+4=(n+1)+3$.\\
Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{u_{n+1}\leqslant (n+1)+3}}$.
\end{enumerate}
La propriété est héréditaire.\\
D'après l'axiome de récurrence, elle est vraie pour tout $n$.

		\item %Démontrer que pour tout entier naturel $n$, \[u_{n+1} - u_{n} = \dfrac{1}{3} \left(n + 3 - u_{n}\right).\]
Pour tout $n\in\mathbb{N}$		, $u_{n+1}-u_n=\dfrac{2}{3}u_n+\dfrac{1}{3}n+1-u_n=-\dfrac{1}{3}u_n+\dfrac{1}{3}n+1=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{3}\left(n+3-u_n\right)}}$.
 
		\item %En déduire une validation de la conjecture précédente.\\
Comme $u_n\geqslant n+3$, $n+3-u_n\geqslant 0$, donc $u_{n+1}-u_n\geqslant 0$ et la suite $\left(u_n\right)$ est bien \textbf{\textcolor{red}{croissante}}.
	\end{enumerate} 
	
\item On désigne par $\left(v_{n}\right)$ la suite d\'efinie sur $\textbf{N}$ par $v_{n} = u_{n} - n$. 

	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite g\'eom\'etrique de raison $\dfrac{2}{3}$. 
		Pour tout $n$, $v_{n+1}=u_{n+1}-(n+1)=\dfrac{2}{3}u_n+\dfrac{1}{3}n+1-n-1=\dfrac{2}{3}u_n-\dfrac{2}{3}n=\dfrac{2}{3}\left(u_n-n\right)=\dfrac{2}{3}v_n$, donc $\boxed{\textcolor{red}{v_{n+1}=\dfrac{2}{3}v_n}}$.\\
		$\left(v_n\right)$ est donc une suite géométrique, de raison $\boxed{\textcolor{red}{q=\dfrac{2}{3}}}$ et de raison $\boxed{\textcolor{red}{v_0=u_0-0=2}}$
		\item %En déduire que pour tout entier naturel $n$, \[u_{n} = 2\left(\dfrac{2}{3} \right)^n + n\]\\
		On en déduit : $v_n=v_0q^n=2\left(\dfrac{2}{3}\right)^n$.\\
		$v_n=u_n-n$ dpnc $u_n=v_n+n$ d'où : $\boxed{\textcolor{red}{u_n=2\left(\dfrac{2}{3} \right)^n + n}}$
		 
		\item %Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.\\
		$-1<\dfrac{2}{3}<1$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{2}{3}\right)^n=0$.\\
		$\lim_{n\rightarrow +\infty}n=+\infty$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty}}$
	\end{enumerate} 
	
\item Pour tout entier naturel non nul $n$, on pose: 
 
\[S_{n} = \sum_{k=0}^n u_{k} = u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n}\quad \text{et}  
\quad T_{n} = \dfrac{S_{n}}{n^2}.\]

	\begin{enumerate}
		\item %Exprimer $S_{n}$ en fonction de $n$. 
		$S_n$ est la somme de $n+1$ termes de la suite $u_n$. Mais, comme par ailleurs, on peut considérer que chaque terme $u_n$ est la somme de $v_n$ et de $n$, donc en réordonnant les termes, $S_n$ est la somme de deux \og sous-sommes \fg{} : celle des $n+1$ premiers termes de la suite $v$ et celle des $n+1$ premier entiers naturels.
			
			La première sous-somme est une somme des $n+1$ premiers termes d'une suite géométrique, et vaut donc : 
			
			$v_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} = 2\dfrac{1 - \left(\dfrac23\right)^{n+1}}{1 - \left(\dfrac23\right)} = 6 \times \left(1 - \left(\dfrac23\right)^{n+1}\right)$.
			
			La seconde sous-somme est la somme des $n+1$ premiers entiers naturels, c'est à dire la somme des $n+1$ premiers termes d'une suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 1, donc elle vaut : 
			
			$\dfrac{0 + n}2 \times (n + 1) = \dfrac{n(n+1)}2$ (résultat classique).
			
			Finalement, on a $\boxed{\textcolor{red}{S_n = 6 \times \left(1 - \left(\dfrac23\right)^{n+1}\right) + \dfrac{n(n+1)}2}}$.
			
		\item %
		On en déduit : 
			$T_n = \dfrac{6 \times \left(1 - \left(\dfrac23\right)^{n+1}\right) + \dfrac{n(n+1)}2}{n^2}$
			
			$T_n = \dfrac{6 \times \left(1 - \left(\dfrac23\right)^{n+1}\right) }{n^2}+\dfrac{\dfrac{n(n+1)}2}{n^2}$
			
			$T_n =\dfrac{6 \times \left(1 - \left(\dfrac23\right)^{n+1}\right) }{n^2}+\dfrac{n^2 + n}{2n^2} =  \dfrac{6 \times \left(1 - \left(\dfrac23\right)^{n+1}\right) }{n^2}+\dfrac12 + \dfrac{1}{2n}$.
		
		Puisque, une fois encore, $q$ est entre $-1$ et 1, on a : $\lim\limits_{n \to +\infty}{\left(\dfrac23\right)^{n+1} } = 0$.
		
		Donc par limite d'une somme de suites, puis d'un produit de suites : $\lim\limits_{n \to +\infty}{6\times \left(1 -\left(\dfrac23\right)^{n+1}\right) } = 6$.
		
		Par ailleurs, $\lim\limits_{n \to +\infty}{n^2} = +\infty$, donc par limite d'un quotient de suites, $\lim\limits_{n \to +\infty}{\dfrac{6\times \left(1 -\left(\dfrac23\right)^{n+1}\right) } {n^2}}= 0$.
		
		De plus $\lim\limits_{n \to +\infty}{\dfrac12 } = \dfrac12$ et $\lim\limits_{n \to +\infty}{\dfrac1{2n} } = 0$, et donc finalement, par limite d'une somme de suites, on arrive à conclure que la suite $T$ converge vers $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac12}}$.
			\end{enumerate} 
\end{enumerate}



\subsection{}

\begin{enumerate}
\item %Montrer que, pour tout entier naturel $k\geqslant 2$, $\dfrac{1}{k^2}\leqslant \dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}$.
$\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}=\dfrac{k-(k-1)}{k(k-1)}=\dfrac{1}{k(k-1)}$.\\
$k\geqslant k-1$ donc, en multipliant par $k>0$, $k^2\geqslant k(k-1)$ et en prenant les inverses, $\dfrac{1}{k^2}\leqslant \dfrac{1}{k(k-1)}$ d'où : $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{k^2}\leqslant \dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}}}$.

\item Montrer que, pour tout entier naturel $n\geqslant 2$, on a \\
%:
$\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}=\leqslant \left(1-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\right)=1-\dfrac{1}{n}$ après simplification.\\
Or $1-\dfrac{1}{n}\leqslant n$ d'où : $\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}\leqslant 1$.

\item %En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ définie par \\
Soit $u_n=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^3}+\dfrac{1}{4^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}=\sum_{k=2}^{k=n}\dfrac{1}{k^2}$.\\
Il est évident que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante puisque $u_{n+1}=u_n+\dfrac{1}{(n+1)^2}$.\\
$\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par 1, donc elle est convergente vers un réel $\ell\leqslant 1$.\\
Remarque : sa limite $\ell$, non évidente, vaut $\boxed{\textcolor{red}{\ell=\dfrac{\pi^2}{6}-1}}$. (non démontrable en Terminale)
 
\end{enumerate}


\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $]-1~;~+\infty[$ par : \[f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x+1}.\]
\begin{enumerate}
\item %Étudier les variations de la fonction $f$.
$f=\dfrac{u}{v}$ avec $\begin{cases}u(x)=\mathrm{e}^{x}\\v(x)=x+1\end{cases}$.\\
$f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $\begin{cases}u'(x)=\mathrm{e}^{x}\\v'(x)=1\end{cases}$.\\
Par conséquent : $f'(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}(x+1)-\mathrm{e}^{x}}{(x+1)^2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{x\mathrm{e}^{x}}{(x+1)^2}}}$.

\item %En déduire que, pour tout x>-1, on a : $\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x+1}\geqslant 1$.
$f'(x)$ est du signe de $x$ puisque $\mathrm{e}^{x}>0$. Donc $f'(x)<0$ sur $]-1~;~0[$ et $f'(x)>0$ pour $x>0$.\\
Tableau de variation :
\begin{center}
\begin{variations}
x&&-1&&0&&\pI\\
\hline
f'(x)&\bb&&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\bb&&\d&1&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
Le minimum de $f$ sur $]-1~;~=\infty[$ est $f(0)=1$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f(x)\geqslant 1}}$ pour tout $x>-1$
\end{enumerate}




\subsection{}
\textbf{\textcolor{blue}{A. Étude de fonction}}\\
Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~30]$ par : \[f(x) = 0,4x +1+\mathrm{e}^{-0,4 x+1}.\]
\begin{enumerate}
\item %Montrer que, pour tout $x$ dans [0~;~30], on a : $f'(x)=0,4(1-\mathrm{e}^{-04x+1})$. (rappel : si $u$ est dérivable, $\left(\mathrm{e}^{u}\right)'=u\mathrm{e}^{u}$)
$f=u+\mathrm{e}^{v}$ avec $\begin{cases}u(x)=0,4x+1\\v(x)=-0,4x+1\end{cases}$.\\
$f'=u'+\left(\mathrm{e}^{v}\right)'=u'+v'\mathrm{e}^{v}$ avec $\begin{cases}u'(x)=0,4\\v'(x)=-0,4\end{cases}$.\\
Alors : $f'(x)=0,4-0,4\mathrm{e}^{-0,4x+1}=\boxed{\textcolor{red}{0,4\left(1-\mathrm{e}^{-0,4x+1}\right)}}$

\item %Résoudre dans [0~;~30] l’inéquation \[1-\mathrm{e}^{-0 4 x+1}>0.\]
$1-\mathrm{e}^{-0 4 x+1}>0\Leftrightarrow 1>\mathrm{e}^{-0 4 x+1}\Leftrightarrow 1>\mathrm{e}^{-0 4 x+1}\Leftrightarrow 0>-0,4x+1$ (car la foonction $\exp$ est croissante).\\
On en déduit : $-1>-0,4x\Leftrightarrow \dfrac{1}{0,4}<x\Leftrightarrow x>\dfrac{5}{2}$ ; \\`
Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]\dfrac{5}{2}~;~30\right]}}$

\item %En déduire les variations de $f$ sur [0~;~ 30].\\
$f'(x)$ est du signe de $1-\mathrm{e}^{-0,4x+1}$ donc $f'(x)>0$ sur $\left]\dfrac{5}{2}~;~30\right]$, nul en $\dfrac{5}{2}$ et $f'(x)<0$ sur $\left[0~;~\dfrac{5}{2}\right[$.\\
%On donnera l’arrondi à $10^{-2}$ de $f (0)$ et de $f (30)$.
$f(0)=1+\mathrm{e}\approx \boxed{\textcolor{red}{3,72}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{f(30)\approx 30}}$.\\
Tableau de variation :
\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&\dfrac{5}{2}&&30\\
\hline
f'(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&&\d&1+\mathrm{e}\approx 3,72&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{B. Application économique}}\\
Une entreprise fabrique des paquets de cartes à l’effigie de joueurs de football. On note $x$ le nombre de paquets fabriqués,
en centaine, avec $0\leqslant x\leqslant 30$, et on suppose que le coût de fabrication est égal, en centaine d’euros, à $f (x)$, où $f$ est
la fonction définie dans la partie A.
\begin{enumerate}
\item  %Calculer le coût de fabrication de 100 paquets, puis de \numprint{2000} paquets, à l’euro près.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Le coût de fabrication de 100 paquets est $f(1)=\dfrac{7}{5}+\mathrm{e}^{\frac35}\approx 3,22$, soit environ 322 \euro.

\item Le coût de fabrication de \numprint{2000} paquets est $f(20)=9+\mathrm{e}^{-7}\approx 9$, soit environ 900 \euro.
\end{enumerate}

\item On suppose que chaque paquet est vendu 2 \euro.
\begin{enumerate}
\item Soit $x$ dans [0~;~30]. %Montrer que la différence $B(x)$ entre le chiffre d’affaires et le coût de fabrication est de la forme : \\
%$mx+p- \mathrm{e}^{-0,4x+1}$, où $m$ et $p$ sont des réels à préciser.
$B(x)=2x-f(x)=2x-\left(0,4x +1+\mathrm{e}^{-0,4 x+1}\right)=1,6x-1-\mathrm{e}^{-0,4x+1}$.

\item %Déterminer les variations de la fonction $B$ ainsi définie sur [0~;~30].
$f'(x)=1,6+0,4\mathrm{e}^{-0,4x+1}>0$ pour tout $x\in[0~;~30]$.\\
$B$ est donc croissante.

\item %À l’aide de la calculatrice, indiquer à partir de combien de paquets l’entreprise réalise un bénéfice, au paquet près.
$B(x)=0$ pour $x\approx 1,6161$, donc le bénéfice est positif à partir de 1616 paquets.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

%Barème : 6+6+4+4+5=25
\label{fin}
\end{document}  


