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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Spécialité : devoir sur feuille \no 2 }}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

%\subsection{}%https://cdn.website-editor.net/0017151f9ff140c59187af1a28e481fc/files/uploaded/Feuille%2520d%2527ex.%2520-%2520suites%2520arithm%2520et%2520ge%25CC%2581om.pdf
%
%Pour l’achat d’un terrain et la construction d’une maison, un couple souscrit un emprunt. Les futurs propriétaires sont informés que le capital emprunté et les intérêts dûs, lorsqu’ils seront remboursés, représenteront la somme de \numprint{80000} \euro.\\
%La première mensualité est fixée à 300 \euro{} et le contrat stipule que les mensualités augmenteront de 20 \euro{} chaque année.
%
%\begin{enumerate}
%\item On note $s_n$ le montant annuel remboursé au cours de la $n$\ieme{} année suivant le début du prêt et on note $n_0$ la dernière année de remboursement. On admet $n_0\geqslant 10$.
%
%\begin{enumerate}
%\item Calculer $s_1$, $s_2$ , $s_3$ et $s_4$.
%
%\item Expliquer pourquoi la suite $\left(s_n\right)$ se comporte comme une suite arithmétique pour $n\leqslant  n_0$.
%
%\item Exprimer $s_n$ en fonction de $n$ (pour $n\leqslant n_0$). En déduire $s_{10}$.
%
%\end{enumerate}
%
%\item On s’intéresse maintenant à la somme $S_n$ cumulée des montants annuels remboursés au cours des $n$ premières années :
%
%\begin{enumerate}
%\item Calculer $S_1$, $S_2$, $S_3$ et $S_4$.
%
%\item Exprimer $S_n$ en fonction de $n$ (pour $n \leqslant  n_0$ ).
%
%\item Au cours de quelle année le couple de propriétaires finira ses remboursements ?
%
%\end{enumerate}
%
%\end{enumerate}

\subsection{}
Une personne loue un local à partir du 1\ier{} janvier 2007. Elle a le choix entre deux formules de contrat. Dans les deux cas, le loyer annuel initial (c’est-à-dire le loyer payé en 2007) est \numprint{24000} \euro{} et le locataire s’engage à occuper le local pendant neuf années complètes.

\begin{enumerate}
\item 1. \textbf{\textcolor{red}{Contrat 1}} : Le loyer annuel augmente de 4\:\% par an.
On note $u_0$ le loyer payé la première année, c'est-à-dire le loyer payé en 2007 et $u_n$ le loyer payé en l’année $(2007 + n)$.\\
Le loyer annuel augmente de 4\:\% par an.

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ le loyer payé lors de la deuxième année.

\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ . En déduire la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et donner ses caractéristiques.

\item Donner l’expression de $u_n$ en fonction de $n$. En déduire $u_8$ à $10^{-2}$ près.

\item Calculer la somme totale payée à l’issue des neuf années de contrat. Arrondir à $10^{-2}$ près.

\item Déterminer à partir de quelle année le loyer annuel dépassera \numprint{36000} euros.

\end{enumerate}

\item \textbf{\textcolor{red}{Contrat 2}} : Le loyer annuel augmente de \numprint{1500} \euro{} par an.\\
On note $v_0$ le loyer payé la première année, c'est-à-dire le loyer payé en 2007 et $v_n$ le loyer payé en l’année $(2007 + n)$.\\
Le loyer annuel augmente de \numprint{1500} \euro{} par an.

\begin{enumerate}
\item Calculer $v_1$ le loyer payé lors de la deuxième année.

\item Exprimer $v{n+1}$ en fonction de $v_n$ . En déduire la nature de la suite $\left(v_n\right)$ et donner ses caractéristiques.

\item Donner l’expression de $v_n$ en fonction de $n$. En déduire $v_8$.

\item Calculer la somme totale payée à l’issue des neuf années de contrat.

\item Déterminer à partir de quelle année le loyer annuel double.

\end{enumerate}

\item \textbf{\textcolor{blue}{Bilan}} : quel est le contrat le plus intéressant ?

\end{enumerate}

%\subsection{}
%Dans chacun des cas suivants, étudier les variations de la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 =1$ et
%
%\begin{enumerate}
%\item Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1} =-2u_n$
%
%\item Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1} =u_n\left(1-2u_n\right)$.
%\end{enumerate}
%
\subsection{}%Métropole juin 2013
Soit la suite numérique $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\textbf{N}$ par : 

$u_{0} = 2$ et, pour tout entier naturel $n$, \[u_{n+1} = \dfrac{2}{3}u_{n} + \dfrac{1}{3}n + 1.
\] 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ et $u_{4}$. On pourra en donner des valeurs approchées à $10^{- 2}$ près. 
		\item Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.\\
	\end{enumerate} 

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, 

\[u_{n} \leqslant n + 3.\]
 
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, 
 
\[u_{n+1} - u_{n} = \dfrac{1}{3} \left(n + 3 - u_{n}\right).\]
 
		\item En déduire une validation de la conjecture précédente.\\
	\end{enumerate} 
	
\item On désigne par $\left(v_{n}\right)$ la suite d\'efinie sur $\textbf{N}$ par $v_{n} = u_{n} - n$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite g\'eom\'etrique de raison $\dfrac{2}{3}$. 
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$,
		
		\[u_{n} = 2\left(\dfrac{2}{3} \right)^n + n\]
		 
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.\\
	\end{enumerate} 
	
\item Pour tout entier naturel non nul $n$, on pose: 
 
\[S_{n} = \sum_{k=0}^n u_{k} = u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n}\quad \text{et}  
\quad T_{n} = \dfrac{S_{n}}{n^2}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $S_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(T_{n}\right)$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

%\subsection{}%Polynésie juin 2012
%\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}\\
%On considère l'algorithme suivant :\\
%Les variables sont le réel $U$ et les entiers naturels $k$ et $N$.\\
%\begin{center}
%\fbox{\begin{minipage}{7cm}
%\underline{\textbf{Entrée}}\\
%Saisir le nombre entier naturel non nul $N$.\\
%
%\noindent \underline{\textbf{Traitement}}\\
%Affecter à $U$ la valeur 0\\
%Pour $k$ allant de 0 à $N -1$\\
%
%\noindent Affecter à $U$ la valeur $3U - 2k + 3$\\
%Fin pour\\
%
%\noindent \underline{\textbf{Sortie}}\\
%\noindent Afficher $U$
%\end{minipage}}
%\end{center}
%\medskip
%\noindent Quel est l'affichage en sortie lorsque $N = 3$ ?\\
%
%\bigskip
%\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}\\
%
%\noindent On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=3u_n-2n+3$.
%\begin{enumerate}
%\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
%
%\item 
%\begin{enumerate}
%\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant n$.
%
%\item En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
%\end{enumerate}
%
%\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
%
%\item Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - n +1$.
%\begin{enumerate}
%\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.
%
%\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 3^n + n -1$.
%\end{enumerate}
%
%\item Soit $p$ un entier naturel non nul.
%\begin{enumerate}
%\item Pourquoi peut-on affirmer qu'il existe au moins un entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geqslant n_0$, $u_n\geqslant 10^p$ ?\\
%On s'intéresse maintenant au plus petit entier $n_0$.
%
%\item Justifier que $n_0\leqslant 3p$.
%
%\item Déterminer à l'aide de la calculatrice cet entier $n_0$ pour la valeur $p = 3$.
%
%\item Proposer un algorithme qui, pour une valeur de $p$ donnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geqslant n_0$ , on ait $u_n\geqslant 10^p$.
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout entier naturel $k\geqslant 2$, $\dfrac{1}{k^2}\leqslant \dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}$.

\item Montrer que, pour tout entier naturel $n\geqslant 2$, on a \\
$\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}=\sum_{k=2}^{k=n}\dfrac{1}{k^2}\leqslant 1$.

\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ définie par \\
$u_n=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^3}+\dfrac{1}{4^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}=\sum_{k=2}^{k=n}\dfrac{1}{k^2}$ est convergente.
 
\end{enumerate}

%\subsection{}
%On considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies pour tout entier nturel $n$ par :
%\[\begin{cases}u_0=1\\u_{n+1}=\dfrac{3u_n+2v_n}{5}\end{cases}\text{ et }\begin{cases}v_0=2\\v_{n+1}=\dfrac{2u_n+3v_n}{5}\end{cases}.\]
%
%\begin{enumerate}
%\item Calculer $u_1$ , $v_1$ , $u_2$ et $v_2$.
%
%\item On considère la suite $\left(d_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $d_n=v_n-u_n$.
%\begin{enumerate}
%\item Montrer que la suite $\left(d_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera sa raison et son premier terme.
%
%\item En déduire l’expression de $d_n$ en fonction de $n$.
%\end{enumerate}
%
%\item On considère la suite $\left(s_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $s_n=u_n+v_n$.
%\begin{enumerate}
%\item Calculer $s_0$ , $s_1$ et $s_2$ . Que peut-on conjecturer ?
%
%\item Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $s_{n+1}=s_n$. Qu’en déduit-on ?
%\end{enumerate}
%
%\item En déduire une expression de $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$.
%
%\item Déterminer, en fonction de $n\in\mathbb{N}$ :
%\begin{enumerate}
%\item $T_n=u_0+u_1+\cdots+u_n$.
%
%\item $W_n=v_0+v_1+\cdots+v_n$.
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}



%\subsection{\textcolor{blue}{Exercice du livre \no 75 page 151}}

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $]-1~;~+\infty[$ par : \[f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x+1}.\]
\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $f$.

\item En déduire que, pour tout x>-1, on a : $\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x+1}\geqslant 1$.
\end{enumerate}


\columnbreak

\subsection{}
\textbf{\textcolor{blue}{A. Étude de fonction}}\\
Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~30]$ par : \[f(x) = 0,4x +1+\mathrm{e}^{-0,4 x+1}.\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $x$ dans [0~;~30], on a : $f'(x)=0,4(1-\mathrm{e}^{-04x+1})$. (rappel : si $u$ est dérivable, $\left(\mathrm{e}^{u}\right)'=u\mathrm{e}^{u}$)

\item Résoudre dans [0~;~30] l’inéquation \[1-\mathrm{e}^{-0 4 x+1}>0.\]

\item En déduire les variations de $f$ sur [0~;~ 30].\\
On donnera l’arrondi à $10^{-2}$ de $f (0)$ et de $f (30)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{B. Application économique}}\\
Une entreprise fabrique des paquets de cartes à l’effigie de joueurs de football. On note $x$ le nombre de paquets fabriqués,
en centaine, avec $0\leqslant x\leqslant 30$, et on suppose que le coût de fabrication est égal, en centaine d’euros, à $f (x)$, où $f$ est
la fonction définie dans la partie A.
\begin{enumerate}
\item  Calculer le coût de fabrication de 100 paquets, puis de \numprint{2000} paquets, à l’euro près.

\item On suppose que chaque paquet est vendu 2 \euro.
\begin{enumerate}
\item Soit $x$ dans [0~;~30]. Montrer que la différence $B(x)$ entre le chiffre d’affaires et le coût de fabrication est de la forme : \\
$mx+p- \mathrm{e}^{-0,4x+1}$, où $m$ et $p$ sont des réels à préciser.

\item Déterminer les variations de la fonction $B$ ainsi définie sur [0~;~30].

\item À l’aide de la calculatrice, indiquer à partir de combien de paquets l’entreprise réalise un bénéfice, au paquet près.

\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  

