\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,cancel,siunitx}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Spécialité : correction du devoir sur feuille \no 3}}\end{center}








\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f (x)=\dfrac{8x+ 4}{x^2+2}$.\\
On appelle $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative.

\begin{enumerate}
\item %Pourquoi la fonction $f$ est-elle définie sur $\mathbb{R}$ ?
Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $x^2+2>0$ donc le dénominateur ne s'annule pas : $f$ est définie sur $\mathbb{R}$.

\item %Calculer la dérivée $f'$ de $f$ et montrer que \[f'(x)=\dfrac{8\left(-x^2-x+2\right)}{\left(x^2+2\right)^2}.\]
$f(x)=4\times \dfrac{2x+1}{x^2+2}$. $f=4\times \dfrac{u}{v}$ avec $\begin{cases}u(x)=2x+1\\v(x)=x^2+2\end{cases}$.\\
$f'=4\times \left(\dfrac{u}{v}\right)'=4\times \dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $\begin{cases}u'(x)=2\\v'(x)=2x\end{cases}$.\\
$f'(x)=4\times \dfrac{2\left(x^2+2\right)-2x\times (2x+1)}{\left(x^2+2\right)^2}\\
=4\times \dfrac{2x^2+4-4x^2-2x}{\left(x^2+2\right)^2}=4\times \dfrac{-2x^2-2x+4}{\left(x^2+2\right)^2}\\
=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{8\left(-x^2-x+2\right)}{\left(x^2+2\right)^2}}}$.

\item %Résoudre l'équation $f'(x)=0$, étudier le signe de $f'(x)$ puis dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $x^2+2>0$ et $8\neq 0$ donc \\
$f'(x)=0\Leftrightarrow -x^2-x+2=0$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item 1 est une racine évidente ; le produit des racines vaut -2 donc l'autre solution est -2.\\
$f'(x)=0$ pour $x=-2$ ou $x=1$.\\
(On peut aussi calculer le discriminant !)

\item $f'(x)$ est du signe de $-x^2-x+2$, donc négatif à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines et positif entre les racines.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variation :}}
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-2&&1&&\pI\\
\hline
f'(x)&&-&\z&+&\z&&-&\\
\hline
\m{f(x)}&\h{0}&\d&-2&\c&\h{4}&\d&0\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\end{enumerate}
\item %On admet que $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=0$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0$.\\
%Placer ces limites dans le tableau de variation.
Les limites sont placées dans le tableau

\item %Déterminer l'équation de la tangente $(T) $à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d’abscisse 0.
Équation de la tangente en 0 :\\
Cette équation est $y=f'(0)(x-0)+f(0)\\
\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{y=4x+2}}$

\item %Donner un encadrement de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$.
D'après le tableau de variation, on a : \[\boxed{\textcolor{red}{-2\leqslant f(x)\leqslant 4}}\text{ pour tout }x\in\mathbb{R}.\]

\item %Tracer soigneusement la courbe $\mathscr{C}_f$ ainsi que la tangente $(T)$.\\
%On indiquera sur le graphique les tangentes \textbf{\textcolor{red}{horizontales}} de la courbe Cf

\columnbreak
\textbf{\textcolor{blue}{Courbe :}}
\begin{center}
\psset{unit=0.5,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-9,-3)(9,5)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-9,-3)(9,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-9,-3)(9,5)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-9}{9}{(8*x+4)/(x^2+2)}
\psplotTangent[linewidth=2pt,linecolor=blue,arrows=<->]{0}{3}{(8*x+4)/(x^2+2)}
\end{pspicture}

\end{center}
\end{enumerate}

%\subsection{}
%Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x)=\dfrac{1}{3}x^3-3x^2+9x.\]
%\begin{enumerate}
%\item Déterminer le sens de variation de $f$.
%
%\item Déterminer l'équation de la tangente $T$ à la  courbe $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse 0.
%
%\item En étudiant le signe de la différence de $f(x)$ et de l'expression de la tangente $T$, étudier la position relative de $\mathscr{C}_f$ et de $T$.
%\end{enumerate}
%


\subsection{}
Soit l'arc de parabole représentée par la fonction $f$ définie sur [-3~;~3] par :
\[f(x)=-\dfrac{4}{9}\left(x^2-9\right)\]
On repère sur cette parabole le point $A$ d’abscisse positive $x$. À partir du point A, on forme le rectangle hachuré comme indiqué sur le figure.\\
Le but est de déterminer l’abscisse $x$ pour que l’aire du rectangle soit maximale.

\begin{enumerate}
\item %Sur quel intervalle $I$ varie l’abscisse de A ?
L'abscisse de $A$ varie sur $I=[0~;~3]$.

\item %Déterminer l’aire $S (x)$ du rectangle en fonction de $x$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Un côté du rectangle mesure $2x$.

\item L'autre côté mesure $f(x)=-\dfrac{4}{9}\left(x^2-9\right)$.

\item L'aire du rectangle vaut alors : \\
$S(x)=2xf(x)=-\dfrac{8}{9}\left(x^3-9x\right)$
\end{enumerate}

\item %Déterminer la dérivée $S'$ de la fonction $S$.
$S'(x)=-\dfrac{8}{9}\left(3x^2-9\right)=-\dfrac{8}{9}\times 3\left(x^2-3\right)\\
=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{8}{3}\left(x+\sqrt{3}\right)\left(x-\sqrt{3}\right)}}$.

\item %Après avoir étudié les variations de $S$ sur l’intervalle I, déterminer l’abscisse $x$ qui rend l’aire du rectangle maximale. Que vaut alors cette aire ?
$S'(x)$ s'annule de manière évidente en $-\sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$ et est du signe opposé à celui de $x^2-3$ sur $I$, donc négatif en dehors de l'intervalle formé par les racines et positif entre les racines, avec $x\in[0~;~3]$\\
\textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variation :}}
\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&\sqrt{3}&&3\\
\hline
S'(x)&&+&\z&-&\\
\hline
\m{S(x)}&0&\c&\h{\dfrac{16\sqrt{3}}{3}}&\d&0\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.7,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3.5,-1)(3.5,4.5)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3,-1)(3,4)
%\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0]()()
\psplot{-3}{3}{-4*(x^2-9)/9}
\psframe[fillstyle=vlines](-2.5,0)(2.5,1.22222)
\psdots(2.5,1.2222)
\uput[u](2.5,1.2222){A}
\uput[d](2.5,0){$x$}
\end{pspicture}
\end{center}
L'aire de ce rectangle est maximum pour $\boxed{\textcolor{red}{x=\sqrt{3}}}$ et vaut alors $\dfrac{16\sqrt{3}}{3}$ u.a..


\subsection{}
Lors d’une enquête réalisée auprès de familles d’une région, concernant leur habitation principale, on apprend que 55\:\% des familles interrogées sont propriétaires de leur logement, 40\:\% en sont locataires et enfin 5\:\% occupent leur logement gratuitement (ces familles seront
appelées dans la suite de l’exercice \og{}occupants à titre gratuit\fg{}).\\
Toutes les familles interrogées habitent soit une maison individuelle, soit un appartement ; toute habitation ne contient qu’une seule famille.\\
60\:\% des propriétaires habitent une maison individuelle, 80\:\% des locataires habitent un appartement et enfin 10\:\% des occupants à titre gratuit habitent une maison individuelle.\\
On interroge au hasard une famille de la région et on note :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $A$ l’événement : \og{}la famille habite un appartement \fg{},

\item $L$ l’événement : \og{}la famille est locataire\fg{},

\item $P$ l’événement : \og{}la famille est propriétaire\fg{},

\item $G$ l’événement : \og{}la famille occupe à titre gratuit\fg{}.

\end{enumerate}
Les probabilités seront données sous forme décimale, arrondies au millième.

\begin{enumerate}[1)]
\item 
\begin{enumerate}
\item %Construire un arbre pondéré résumant la situation.
\phantom{espace}
\begin{center}
\psset{treemode=R, nodesep=0mm, levelsep=35mm,treesep=5mm}
\pstree{\Tdot}
   {
   \pstree{\Tdot~[tnpos=a]{$L$}\taput{$0,4$}}
       {
        \Tdot~[tnpos=a]{$ A$}\taput{$0,8$} 
        \Tdot~[tnpos=a]{$\overline{A}$}\tbput{$0,2$} 

        } 
   \pstree{\Tdot~[tnpos=a]{$P$}\taput{$0,55$}}
        {
        \Tdot~[tnpos=a]{$ A$}\taput{$0,4$} 
        \Tdot~[tnpos=a]{$\overline{A}$}\tbput{$0,6$} 

        }      
   \pstree{\Tdot~[tnpos=b]{$G$}\tbput{$0,05$}}
        {
        \Tdot~[tnpos=a]{$ A$}\taput{$0,9$} 
        \Tdot~[tnpos=a]{$\overline{A}$}\tbput{$0,1$} 

        }
   }\end{center}

\bigskip

\item %Préciser à l’aide de l’énoncé les probabilités suivantes :
%$p_P \left(\overline{A}\right)$, $p_L(A)$ et $p_G (A)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p_P \left(\overline{A}\right)=0,6$

\item $p_L(A)=0,8$

\item $p_G (A)$=0,9.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\item %Calculer la probabilité de l’événement : \og{}la famille est propriétaire et habite un appartement\fg{}.
La probabilité de l’événement : \og{}la famille est propriétaire et habite un appartement\fg{} est :\\
$p(P \cap A)=p_P(A)\times p(P)=0,4\times 0,55=\boxed{\textcolor{red}{0,22}}$.

\item %Montrer que la probabilité de l’événement $A$ est égale à 0,585.
On applique la formule des probabilités totales :\\
$p(A)=0,8\times 0,4+0,4\times 0,55+0,9\times 0,05=0,32+0,22+0,045=\boxed{\textcolor{red}{0,585}}$

\item %On interroge au hasard une famille habitant un appartement. Calculer la probabilité pour qu’elle en soit propriétaire.
$p_A(P)=\dfrac{p(A \cap P)}{p(P)}=\dfrac{0,22}{0,585}=\dfrac{220}{585}=\dfrac{44}{117}\approx \boxed{\textcolor{red}{0,376}}$

\end{enumerate}



\subsection{}%http://xmaths.free.fr/corrections/OS3Nd6GTs2.pdf
Une entreprise confie à une société de sondage par téléphone une enquête sur la qualité de ses produits. Chaque enquêteur a une liste de personnes à contacter.\\
Lors du premier appel téléphonique, la probabilité pour que le correspondant soit absent est 0,4.\\
Sachant que le correspondant est présent, la probabilité pour qu'il accepte de répondre au questionnaire est 0,2. 
\begin{enumerate}[a)]
\item On note : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  $A_{1}$ l'événement \og{}La personne est absente lors du premier appel\fg ; 

\item $R_{1}$ l'événement \og{} La personne accepte de répondre au questionnaire lors du premier appel \fg. 

\end{enumerate}
%Quelle est la probabilité de $R_{1}$ ? 
Résumons la situation par un arbre :
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$A_1$}\taput{ $0,4$}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{A_1}$}\tbput{ $0,6$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$R_1$}\taput{ $0,2$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{R_1}$}\tbput{ $0,8$}}}


\end{center}
$p\left(R_1\right)=p\left(R_1\cap \overline{A_1}\right)=p_{\overline{A_1}}\left(R_1\right)\times p\left(\overline{A_1}\right)=0,2\times 0,6\\
=\boxed{\textcolor{red}{0,12}}$

\item Lorsqu'une personne est absente lors du premier appel, on lui téléphone une seconde fois, à une heure différente et alors, la probabilité pour qu'elle soit absente est 0,3. Et, sachant qu'elle est présente lors du second  appel, la probabilité pour qu'elle accepte de répondre au questionnaire est encore 0,2.\\
Si une personne est absente lors du second appel, on ne tente plus de la contacter.\\
On note :\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item   $A_{2}$ l'événement \og{} La personne est absente lors du second appel\fg ;

\item $R_{2}$ l'événement \og{} La personne accepte de répondre au questionnaire lors du second appel ; 

\item  $R$ l'événement \og{} La personne accepte de répondre au questionnaire\fg.
\end{enumerate} 


\columnbreak
\textbf{\textcolor{blue}{Arbre correspondant :}}
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$A_1$}\taput{ $0,4$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$A_2$}\taput{ $0,3$}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{A_2}$}\tbput{ $0,7$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$R_2$}\taput{ $0,2$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{R_2}$}\tbput{ $0,8$}
}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{A_1}$}\tbput{ $0,6$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$R_1$}\taput{ $0,2$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{R_1}$}\tbput{ $0,8$}
}
}


\end{center}
%Montrer que la probabilité de $R$ est 0,176 (on pourra utiliser un arbre). 
$p(R)=p\left(R_1\right)+p\left(R_2\right)=0,12+0,2\times 0,7\times 0,4\\
=0,12+0,056=\boxed{\textcolor{red}{0,176}}$

\item %Sachant qu'une personne a accepté de répondre au questionnaire, quelle est la probabilité pour que la réponse ait eu lieu lors du premier appel ?
$p_R\left(R_1\right)=\dfrac{0,12}{0,176}\approx \boxed{\textcolor{red}{0,68}}$.

%\item On suppose que les sondages auprès des personnes d'une même liste sont indépendants. Un enquêteur a une liste de 20 personnes à contacter.\\
%Quelle est la probabilité pour qu'une au moins des personnes de la liste accepte de répondre au questionnaire ? 
%On note $X$ le ombre de personnes ayant accepté de répondre.
%
%\noindent On a répétition de 20 épreuves identiques indépendantes à deux issues.
%
%\noindent $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres 20 et 0,176 ; $X\hookrightarrow\mathscr{B(20~;~0,176)}$.
%
%Pour tout $k\leqslant 20$, $p(X=k)=\binom{20}{k}0,176^k\times (1-0,176)^{20-k}$
%
%\noindent $p(X\geqslant 1)=1-p(X=0)=1-(1-0,176)^{20}\approx \boxed{\textcolor{red}{0,98}}$

\end{enumerate}

\subsection{}%Pondichéry avril 2013
Dans une entreprise, on s'intéresse à la probabilité qu'un salarié
soit absent durant une période d'épidémie de grippe.

\medskip
\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Un salarié malade est absent
\item[$\bullet~~$] La première semaine de travail, le salarié n'est pas
malade.
\item[$\bullet~~$] Si la semaine $n$ le salarié n'est pas malade, il
tombe malade la semaine $n + 1$ avec une probabilité égale à $0,04$.
\item[$\bullet~~$] Si la semaine $n$ le salarié est malade, il reste
malade la semaine $n + 1$ avec une probabilité égale à $0,24$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On désigne, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, par
$E_{n}$ l'évènement \og le salarié est absent pour cause de maladie la
$n$-ième semaine \fg. On note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement
$E_{n}$.

On a ainsi : $p_{1} = 0$ et, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou
égal à 1 : $0 \leqslant  p_{n} < 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur de $p_{3}$ à l'aide d'un arbre de
probabilité.

\begin{center}
%\begin{pdfdisplay}

\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{ \TR{$E_1$}\taput{0}
\pstree{\TR{$\overline E_1$}\tbput{1}}
{
		\pstree{\TR{$E_{2}$}\taput{$0,04$}}
		  {
			  \TR{$E_{3}$}\taput{0,24}
			  \TR{$\overline{E_{3}}$}\tbput{0,76}	
		  }
		\pstree{\TR{$\overline{E_{2}}$}\tbput{0,96}}
		  {
			  \TR{$E_{3}$}\taput{0,04}
			  \TR{$\overline{E_{3}}$}\tbput{0,96}		
		  }
}
}
%\end{pdfdisplay}
\end{center}
On applique la formule des probabilités totales : \\
$E_3 = E_2\cap E_3 \;  \cup \;
\overline{E_2}\cap E_3 $ (union d'événements disjoints) \\
 $p_3=P(E_3)=0,04\times 0,24+0,96\times 0,04=\boxed{\textcolor{red}{0,048}}$.
		
		\item Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la
troisième semaine, déterminer la probabilité qu'il ait été aussi
absent pour cause de maladie la deuxième semaine.
		\[\text{P}_{E_3}(E_2)=\dfrac{\text{P}(E_2\cap
E_3)}{\text{P}(E_3)}=\dfrac{0,04\times 0,24}{0,048}= \dfrac{1}{5} = \boxed{\textcolor{red}{0,2}}\]
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Complétons l'arbre\\
		
\begin{center}
%\begin{pdfdisplay}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$E_{n}$}\taput{$p_{n}$}}
	  {
		  \TR{$E_{n+1}$}\taput{0,24}
		  \TR{$\overline{E_{n+1}}$}\tbput{0,76}	
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{E_{n}}$}\tbput{$1-p_n$}}
	  {
		  \TR{$E_{n+1}$}\taput{0,04}
		  \TR{$\overline{E_{n+1}}$}\tbput{0,96}		
	  }
}
%\end{pdfdisplay}
\end{center}

		\item En appliquant le théorème des probabilités totales :
         \[ \begin{aligned}&E_{n+1} = E_n\cap E_{n+1} \;  \cup \;
\overline{E_n}\cap E_{n+1}  \\
		     & p_{n+ 1} = 0,24p_{n} +
0,04(1-p_n)\\
&=(0,24-0,04)p_n+0,04=\boxed{\textcolor{red}{0,2p_n+0,04}} \end{aligned}\]

		\item Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$,		
$u_{n+1} = p_{n+1} -
0,05\\
=0,2p_n+0,04-0,05\\
=0,2p_n-0,01=0,2(p_n-0,05)=0,2u_n$
		donc $(u_n)$ est la suite géométrique de premier terme $u_1=-0,05$ et
la raison $r=0,2$.\\
		
Par propriété, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ :  \; \\
$u_{n}=u_1\times r^{n - 1}=\boxed{\textcolor{red}{-0,05\times 0,2^{n-1}}}$  \\
et donc :  $ \boxed{\textcolor{red}{p_{n}=u_n+0,05=0,05(1-0,2^{n-1})}}$ .

		\item Limite de la suite $\left(p_{n}\right)$. \\
		Comme $|0,2|<1$ alors  : $\lim_{n \to + \infty} \; (0,2)^{n-1}=0$ et donc
$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} p_n=0,05$.\\
		
		\item Le nombre $J$ qui est affiché en sortie d'algorithme est le rang
du premier terme de la suite $(p_n)$ qui s'approche de la limite 0,05 à
$10^{-K}$ près, où $K$ est un entier fixé au départ.\\
		
La convergence de l'algorithme est assurée par l'existence de la limite
vue en (d)\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  